平行四邊形的性質(zhì)與判定
平行四邊形的①兩組對邊分別平行②兩組對邊分別相等
平行四邊形的①對角相等②鄰角互補
平行四邊形的對角線互相平分
夾在兩條平行線間的平行線段相等
①兩組對邊分別平行的四邊形②兩組對邊分別相等的四邊形③一組對邊平行且相等的四邊形
兩組對角分別相等的四邊形
你能將任意一個三角形分成四個全等的三角形嗎?
連接每兩邊的中點,看看得到了什么樣的圖形?
請你設(shè)法驗證上面的結(jié)論,你敢應(yīng)戰(zhàn)嗎?
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
猜一猜,三角形中位線有什么性質(zhì)?
定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.
已知:如圖,DE是△ABC的中位線.
分析:要證明線段的倍分關(guān)系到,可將DE加倍后證明與BC相等.從而轉(zhuǎn)化為證明平行四邊形的對邊的關(guān)系,于是可作輔助線,利用全等三角形來證明相應(yīng)的邊相等.
證明:如圖,延長DE至F,使EF=DE,連接CF.
∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴AD=CF,∠ADE=∠F.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴DF∥BC,DF=BC.
(一組對邊平等且相等的四邊形是平行四邊形)
三角形中位線性質(zhì)的運用
利用定理“三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半”,請你證明下面分割出的四個小三角形全等.
已知:如圖,D,E,F分別是△ABC各邊的中點.
求證: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
∵ D,E,F分別是△ABC各邊的中點.
(三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半).
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
分析:利用三角形中位線性質(zhì),可轉(zhuǎn)化用(SSS)來證明三角形全等.
已知:如圖,A,B兩地被池塘隔開,在沒有任何測量工具的情況下,有通過學(xué)習(xí)方法估測出了A,B兩地之間的距離:先在AB外選一點C,然后步測出AC,BC的中點M,N,并測出MN的長,由此他就知道了A,B間的距離.你能說出其中的道理嗎?
測量兩點之間不能到達的距離的方法---中位線法
其中的道理是:連結(jié)A、B,∵MN是△ABC的的中位線,∴AB=2MN.
運用中位線的 “模型”
如圖,四邊形ABCD四邊的中點分別為E,F,G,H,四邊形EFGH是怎樣四邊形?你的結(jié)論對所有的四邊形ABCD都成立嗎?
猜想:四邊形EFGH是平行四邊形.這個結(jié)論對所有的四邊形ABCD都成立.
求證:四邊形EFGH是平行四邊形.
已知:如圖,在四邊形ABCD中, E,F,G,H分別為各邊的中點.
分析:將四邊形ABCD分割為三角形,利用三角形的中位線可轉(zhuǎn)化兩組對邊分別平行或一組對邊平行且相等來證明.
∵E,F,G,H分別為各邊的中點,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
這個定理提供了證明線段平行,和線段成倍分關(guān)系的根據(jù).
∵DE是△ABC的中位,
應(yīng)用模型:連接任意四邊形各邊中點所成的四邊形是平行四邊形.
要重視這個模型的證明過程反映出來的規(guī)律:對角線的關(guān)系是關(guān)鍵.改變四邊形的形狀后,對角線具有的關(guān)系(對角線相等,對角線垂直,對角線相等且垂直)決定了各中點所成四邊形的形狀.

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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級下冊電子課本

3 三角形的中位線

版本： 北師大版

年級： 八年級下冊

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