它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和
x1x2＋y1y2＝0
[知識點撥]1.公式a·b＝|a||b|csa，b與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cs求解；若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b與a⊥b的坐標(biāo)表示如下：a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.兩個結(jié)論不能混淆，可以對比學(xué)習(xí)，分別簡記為：縱橫交錯積相等，橫橫縱縱積相反．
已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．[解析]　解法一：因為a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.
命題方向1　?數(shù)量積的坐標(biāo)表示
解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.
『規(guī)律總結(jié)』　進(jìn)行向量的數(shù)量積運算時，需要牢記有關(guān)的運算法則和運算性質(zhì)．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，然后直接進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運算；二是先利用向量的數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知條件計算．
〔跟蹤練習(xí)1〕向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　)A．－1　　 B．0　　C．1　　D．2[解析]　a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9,12)，c＝(4，－3)，(1)求|b|與|c|；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夾角的大?。甗思路分析]　(1)根據(jù)模長公式求解；(2)根據(jù)兩向量的夾角公式求解．
命題方向2　?利用坐標(biāo)運算解決模與夾角的問題
〔跟蹤練習(xí)2〕設(shè)a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb與b的夾角為45°，求實數(shù)t的值．
借助兩向量平行和垂直的條件求解某參數(shù)的值，是向量運算的重要應(yīng)用之一，具體做法就是借助a∥b?a＝λb(λ∈R，b≠0)?x1y2－x2y1＝0或a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))列關(guān)于某參數(shù)的方程(或方程組)，然后解之即可．
利用平行、垂直求參數(shù)
[思路分析]　找出相互垂直的向量，利用向量垂直的坐標(biāo)表示公式列方程求k即可．
『規(guī)律總結(jié)』　解決本題的關(guān)鍵是要判斷△ABC中哪個內(nèi)角為直角，故應(yīng)進(jìn)行分類討論，不能只認(rèn)為某個角就是直角，結(jié)果只考慮一種情況而導(dǎo)致漏解．
已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a與b的夾角θ為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是(　　　)
2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是(　　)A．{2,3}B．{－1,6}C．{2}D．{6}[解析]　考查向量垂直的坐標(biāo)表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，則由x的值構(gòu)成的集合是{2}．

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修4電子課本

2.4 平面向量的數(shù)量積

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級： 必修4

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