第9課時 三、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角 教學目的： ⑴要求學生掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示 ⑵掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點間的距離公式. ⑶能用所學知識解決有關綜合問題. 教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示 教學難點：平面向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. C 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積. 4．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0 3? 當a與b同向時，a?b = |a||b|；當a與b反向時，a?b = ?|a||b|. 特別的a?a = |a|2或 4? cos? = ；5?|a?b| ≤ |a||b| 5．平面向量數(shù)量積的運算律 交換律：a ? b = b ? a 數(shù)乘結(jié)合律：(a)?b =(a?b) = a?(b) 分配律：(a + b)?c = a?c + b?c 二、講解新課： ⒈ 平面兩向量數(shù)量積的坐標表示 已知兩個非零向量，，試用和的坐標表示. 設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么， 所以 又，，，所以 這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.即 2. 平面內(nèi)兩點間的距離公式 設，則或. （2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式) 向量垂直的判定 設，，則 兩向量夾角的余弦（） cos? = 講解范例： 設a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b間的夾角θ(精確到1o) 例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明. 例3 已知a = (3， ?1)，b = (1， 2)，求滿足x?a = 9與x?b = ?4的向量x. 解：設x = (t， s)， 由 ∴x = (2， ?3) 例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），則a與b的夾角是多少? 分析：為求a與b夾角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再結(jié)合夾角θ的范圍確定其值. 解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１） 有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２． 記a與b的夾角為θ，則ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定. 例5 如圖，以原點和A(5， 2)為頂點作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求點B和向量的坐標. 解：設B點坐標(x， y)，則= (x， y)，= (x?5， y?2) ∵? ∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴B點坐標或；=或 例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角， 求k值. 解：當A = 90?時，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 當B = 90?時，?= 0，=?= (1?2， k?3) = (?1， k?3) ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k = 當C = 90?時，?= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k = 課堂練習： 1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，則3|a|２－４a·b＝（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，則△ABC為（ ） A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不等邊三角形 3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的單位向量，則b等于（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 4.a=(2，3)，b=(-2，4)，則(a+b)·(a-b)= . 5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若點P(x，-)在線段AB的中垂線上，則x= . 6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，則a與b的夾角為 . 小結(jié)（略） 課后作業(yè)（略） 板書設計（略） 課后記：

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高中數(shù)學人教版新課標A必修4電子課本

2.4 平面向量的數(shù)量積

版本： 人教版新課標A

年級： 必修4

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