2020-2021學(xué)年天津市六校高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出集合和的范圍，直接求交集即可得解.【詳解】，，所以，故選：B.2．已知命題：，總有，則為（    ）A．，使得 B．，使得C．，總有 D．，使得【答案】B【分析】本題可直接利用全稱命題的否定是特稱命題來(lái)得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，命題：，總有，所以：，使得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題.3．設(shè)，則“，”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)可得：或（），利用集合語(yǔ)言和命題語(yǔ)言的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可得解.【詳解】由可得：或，可得?或，所以“，”是“”的充分不必要條件，故選：A.4．函數(shù)（且）的圖象可能為（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.【解析】1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象. 5．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與、的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，即，，，因此，.故選：B.6．已知在區(qū)間上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由題意，得到在區(qū)間上為增函數(shù)，且在上恒成立；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，列出不等式求解，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>在區(qū)間上為減函數(shù)，所以有在區(qū)間上為增函數(shù)，且在上恒成立；因此，只需，解得.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查由復(fù)函數(shù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的問(wèn)題，熟記對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性即可，屬于?？碱}型.7．若，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，所以先由已知條件求出，的值，從而可求出答案【詳解】，因?yàn)?/span>，，所以，，因?yàn)?/span>，，所以，，則．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，考查兩角差的余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（    ）①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱③函數(shù)在單調(diào)遞減④該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】A【分析】根據(jù)的圖象及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，解得函數(shù)的解析式，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐一判定即可.【詳解】由函數(shù)的圖象可得，周期所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，即，所以，則，又，得 ，故函數(shù)，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于③，令得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以不正確；對(duì)于④，向右平移個(gè)單位，，所以不正確；故選：A.【點(diǎn)睛】求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法:（1）代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)處理后的整體當(dāng)作一個(gè)角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）圖象法:函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖象上是從左到右，圖象上升趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，圖象下降趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象易求它的單調(diào)區(qū)間.9．設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出函數(shù)的圖象，不妨令，則．結(jié)合圖象可得，從而可得結(jié)果．【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示．不妨令，則，則．結(jié)合圖象可得，故．∴．故選：D．【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來(lái)，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．  二、填空題10．已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的弧長(zhǎng)為____________.【答案】【分析】利用扇形的面積求出扇形的半徑，再帶入弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：由于扇形的圓心角為，扇形的面積為，則扇形的面積，解得：，此扇形所含的弧長(zhǎng).故答案為：.11．已知函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)A，且點(diǎn)A在角的終邊上，則的值為__________.【答案】3【分析】求出函數(shù)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，再由即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)A，則A點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)A在角的終邊上，可得，故答案為：.12．設(shè)函數(shù)，若，，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________.【答案】2【分析】根據(jù)，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得，再將的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，解得，又，解得，所以，令，即，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知，函數(shù)的圖象交點(diǎn)有2個(gè)，所以的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)，故答案為：213．對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】 ，所以 點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.14．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.【答案】【分析】求出f（t）和g（s）的值域，根據(jù)存在性和恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求出a的范圍．【詳解】對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，由﹣3≤t≤0，可得f（t）∈[﹣4，3]，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，由0＜t≤3，可得f（t）∈[0，4]，∴對(duì)任意t∈[﹣3，3]，f（t）∈[﹣4，4]，對(duì)于函數(shù)g（x）sinx+cosx+4＝2sin（x）+4，∵s∈[0，]，∴s∈[，π]，∴g（s）∈[5，6]，∴對(duì)于s∈[0，]，使得g（s）∈[5，6]，∵對(duì)任意t∈[﹣3，3]，總存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）成立，故 ∴a+4≤6，解得a≤2，故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ． 三、解答題15．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>A，集合.（1）求集合A，B，并求；（2）若集合，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，由二次不等式可得，再由集合的交集、補(bǔ)集的概念即可得解；（2）轉(zhuǎn)化條件為，按照、分類，運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，又，或，所以；（2）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則；綜上：a的取值范圍是.16．已知.（1）化簡(jiǎn)，并求；（2）若，求的值；（3）求函數(shù)的值域.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得；（2）由平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為，即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由題意可得，故；（2）∵，故；（3）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的值域?yàn)?/span>.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系對(duì)原式進(jìn)行合理變形.17．某工廠準(zhǔn)備引進(jìn)一種新型儀器的生產(chǎn)流水線，已知投資該生產(chǎn)流水線需要固定成本1000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x百臺(tái)這種儀器，需另投入成本f(x)萬(wàn)元，假設(shè)生產(chǎn)的儀器能全部銷售完，且售價(jià)為每臺(tái)3萬(wàn)元.（1）求利潤(rùn)g(x)（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，該工廠所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】（1）；（2）產(chǎn)量為5000臺(tái)時(shí)，該工廠獲得利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為1900萬(wàn)元.【分析】（1）依題意求出各段的函數(shù)解析式，再寫成分段函數(shù)即可；（2）根據(jù)解析式求出各段函數(shù)的最大值，再取最大的即可；【詳解】解：（1）由題意可知，當(dāng)0＜x＜40，100x∈N時(shí)，g(x)＝300x-5x2-50x-500-1000＝-5x2+250x-1500；當(dāng)x≥40，100x∈N時(shí)，綜上，（2）當(dāng)0＜x＜40，100x∈N時(shí)，g(x)＝-5x2+250x-1500＝-5(x-25)2+1625，且當(dāng)x＝25時(shí)，g(x)取得最大值1625；當(dāng)x≥40，100x∈N時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝50時(shí)，g(x)取得最大值1900.綜上，當(dāng)x＝50，即產(chǎn)量為5000臺(tái)時(shí)，該工廠獲得利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為1900萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】(1)很多實(shí)際問(wèn)題中，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型.(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法．在求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值．18．已知函數(shù)周期是.（1）求的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位，最后將整個(gè)函數(shù)圖像向上平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若時(shí)，恒成立，求m得取值范圍.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦和余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)可得，由，解得，帶入正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，化簡(jiǎn)即可得解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移和伸縮變換可得，根據(jù)題意只需要，分別在范圍內(nèi)求出的最值即可得解.【詳解】（1）由，解得所以，∵∴∴∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）依題意得因?yàn)?/span>，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立所以只需轉(zhuǎn)化為求的最大值與最小值當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)所以，，從而，，即所以m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了三角函數(shù)的輔助角公式和平移伸縮變換，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題.本題關(guān)鍵點(diǎn)有：（1）三角函數(shù)基本量的理解應(yīng)用；（2）三角函數(shù)圖像平移伸縮變換的方法；（3）恒成立思想的理解及轉(zhuǎn)化.19．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求整數(shù)k的值；（3）設(shè)，若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）的取值為2或3；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得的值，即可求解；（2）由（1）可得，得到，設(shè)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有零點(diǎn)，列出不等式組，即可求解；（3）求得的最大值，得出，得到，設(shè)，結(jié)合單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）可知，，令，得，設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在上有零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?/span>，所以的取值為2或3.（3）因?yàn)?/span>且，所以且，因?yàn)?/span>，所以的最大值可能是或，因?yàn)?/span>所以，只需，即，設(shè)，在上單調(diào)遞增，又，∴，即，所以，所以m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的常用方法：1、分離參數(shù)法：一般命題的情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離出參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，求得新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題的情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各校范圍并在一起，即為所求的范圍. 

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