高三數(shù)學(xué)本試卷共 4 頁. 滿分 150 分. 考試時(shí)間 120 分鐘.注意事項(xiàng):答題前, 考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.回答選擇題時(shí), 選出每小題答案后, 用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂 黑. 如需改動(dòng), 用橡皮擦干凈后, 再選涂其它答案標(biāo)號(hào). 回答非選擇題時(shí), 將 答案寫在答題卡上. 寫在本試卷上無效.考試結(jié)束, 考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題: 本大題共 8 小題, 每小題 5 分, 共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.已知集合 , 則
A.
B.
C.
D. 我們稱可同時(shí)存在于一個(gè)指數(shù)函數(shù)與一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象上的點(diǎn)為 “和諧點(diǎn)”, 則四個(gè) 點(diǎn) 中“和諧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4已知 , 則
A.
B.
C.
D. 函數(shù) 的圖象大致為為慶祝中國共產(chǎn)黨成立 100 周年,某學(xué)校組織“紅心向黨”歌詠比賽, 前三名被甲、乙、丙 獲得. 下面三個(gè)結(jié)論: “甲為第一名,乙不是第一名,丙不是第三名”中只有一個(gè)正確, 由 此可推得獲得第一、二、三名的依次是
A. 甲、乙、丙
B. 乙、丙、甲
C. 丙、甲、乙
D. 乙、甲、丙若函數(shù) 在 上無極值, 則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A.
B.
C.
D. 已知 , 則 的最小值為
A.
B. 12
C.
D. 16“迪拜世博會(huì)”于 2021 年 10 月 1 日至 2022 年 3 月 31 日在迪拜舉行, 中國館建筑名為“華夏之光”, 外觀取型中國傳 統(tǒng)燈籠,寓意希望和光明. 它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱, 某愛好者制作了一個(gè)中國館的實(shí)心模型, 已知模型內(nèi) 的球面上. 此模型的體積為
A.
B.
C.
D.
二、多項(xiàng)選擇題: 本大題共 4 個(gè)小題, 每小題 5 分, 共 20 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 有多項(xiàng)符合題目要求, 全部選對(duì)的得 5 分, 選對(duì)但不全的得 2 分, 有選錯(cuò)的得 0 分.某位同學(xué) 10 次考試的物理成績 與數(shù)學(xué)成績 如下表所示:數(shù)學(xué)成績 76827287937889668176物理成績 8087751007993688577 參考數(shù)據(jù): .
已知 與 線性相關(guān),且 關(guān)于 的回歸直線方程為 , 則下列說法正確的是
A.
B. 與 正相關(guān)
C. 與 的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)
D. 若數(shù)學(xué)成績每提高 5 分, 則物理成績估計(jì)能提高 分下列四個(gè)函數(shù)中, 以 為周期且在 上單調(diào)遞增的偶函數(shù)有
A.
B.
C.
D.
11. 已知正方體 的棱長為 1 , 下列結(jié)論正確的有
A. 異面直線 與 所成角的大小為
B. 若 是直線 上的動(dòng)點(diǎn), 則 平面
C. 與此正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)的截面的面積最小值是
D. 若此正方體的每條棱所在直線與平面 所成的角都相等, 則 截正方體所得截面面積 的最大值是
12. 下列結(jié)論正確的有
A. 若 , 則
B. 若 , 則
C. 若 , 則
D. 若 均為正整數(shù), , 則 三、填空題:本大題共4小題，每小題5分,共20分.已知 , 且 , 則 的方差為________.為迎接 2022 年北京冬奧會(huì), 將 4 名志愿者分配到花樣滑冰、速度滑冰 2 個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培 訓(xùn),每名志愿者分配到 1 個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配到 1 名志愿者,則不同的分配方案 共有________ 種. (用數(shù)字作答)若函數(shù) , 則 .學(xué)生小雨欲制作一個(gè)有蓋的圓柱形容器,滿足以下三個(gè)條件: (1)可將八個(gè)半徑為 的乒乓球分兩層放置在里面; (2)每個(gè)乒乓球都和其相鄰的四個(gè)球相切; (3)每個(gè)乒乓球 與該容器的底面 (或上蓋) 及側(cè)面都相切,則該容器的高為________ .
四、解答題: 本大題共 6 小題, 共 70 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.  (10 分)
已知函數(shù) 為常數(shù), 是 上的奇函數(shù).
(1) 求實(shí)數(shù) 的值;
(2) 若函數(shù) 在區(qū)間 上的值域?yàn)?/span> , 求 的值.(12 分)
已知命題 , 關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根” 是 假命題.
(1) 求實(shí)數(shù) 的取值集合 ;
(2) 在 的條件下, 設(shè)不等式 的解集為 , 其中 . 若 是 的充分條件, 求實(shí)數(shù) 的取值范圍.(12 分)
在①;② 的面積 ;③ 這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上,并解決該問題.
問題: 在 中, 它的內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 為銳角, ,
(1) 求 的最小值;
(2) 若 為 上一點(diǎn), 且滿足 , 判斷 的形狀. 注: 如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.(12 分)
如圖,在三棱柱 中,點(diǎn) 在底面 內(nèi)的射影恰好是點(diǎn) 是 的中點(diǎn), 且滿足 .
(1) 求證: 平面 ;
(2) 已知 , 直線 與底面 所成角的大小 為 , 求二面角 的大小.(12 分)2021 年 7 月 18 日第 30 屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行. 為做 好本次考試的評(píng)價(jià)工作, 將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制, 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了 50 名學(xué)生的成績, 經(jīng)統(tǒng)計(jì),這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?/span> 40 至 100 之間, 將數(shù)據(jù)按照 , 70), 分成 6 組, 制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1) 求頻率分布直方圖中 的值, 并估計(jì)這50 名學(xué)生成績的中位數(shù);
(2) 在這 50 名學(xué)生中用分層抽樣的方法從 成績?cè)?/span> 的三組中 抽取了 11 人, 再從這 11 人中隨機(jī)抽取 3 人,記 為 3 人中成績?cè)?/span> 的人數(shù), 求 的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3) 轉(zhuǎn)化為百分制后, 規(guī)定成績?cè)?/span> 的為 等級(jí), 成績?cè)?/span> 的為 等級(jí), 其它為 等級(jí). 以樣本估計(jì)總體, 用頻率代替概率, 從所有參加生物學(xué)競賽的同學(xué)中隨機(jī) 抽取 100 人, 其中獲得 等級(jí)的人數(shù)設(shè)為 , 記 等級(jí)的人數(shù)為 的概率為 , 寫 出 的表達(dá)式, 并求出當(dāng) 為何值時(shí), 最大?(12 分)
已知 , 函數(shù) .
(1) 討論 的單調(diào)性;
(2) 過原點(diǎn)分別作曲線 和 的切線 和 , 求證:存在 , 使得切線 和 的斜率互為倒數(shù);
(3) 若函數(shù) 的圖象與 軸交于兩點(diǎn) , 且 . 設(shè) , 其中常數(shù) 滿足條件 , 試判斷函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線斜率的正負(fù), 并說明理由.

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