考試說明：本試卷分第 = 1 \* ROMAN I卷（選擇題）和第 = 2 \* ROMAN II卷（非選擇題）兩部分，
滿分150分，考試時間120分鐘．
（1）答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚；
（2）選擇題必須使用2B鉛筆填涂, 非選擇題必須使用0.5毫米黑色的簽字筆書寫, 字跡清楚；
（3）請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙上答題無效；
（4）保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的
1.若集合，那么（ ）
A．B．C．D．
2.復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．1B．C．D．
3.已知為等比數(shù)列，若，且與的等差中項為，則（ ）
A．35B．33C．16D．29
4.函數(shù)的圖象大致為（ ）
A B C D
5.“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6.明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》是中國數(shù)學(xué)史上的一座豐碑．其中有一段著述“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一．”注：“倍加增”意為“從塔頂?shù)剿?，相比于上一層，每一層燈的盞數(shù)成倍增加”，則該塔從塔底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
7．下圖是2020年我國居民消費價格月度漲跌幅度圖（來源于國家統(tǒng)計局網(wǎng)站），現(xiàn)從12個月中任選3個月，則其中恰有兩個月月度環(huán)比為正且月度同比不低于的概率為（ ）
A．B．
C．D．
8.用1，2，3，4，5，6六個數(shù)字組成六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰且1、2必須相鄰，則滿足要求的六位數(shù)共有（ ）個
A．72B．96C．120D．288
9.已知為奇函數(shù)且對任意，，若當(dāng)時，，則（ ）
A．B．0C．1D．2
10.若函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
11．?dāng)?shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是公比為2的等比數(shù)列B．
C．既無最大值也無最小值D．
12．已知，則（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案寫在答題卡上相應(yīng)的位置
13. 設(shè)向量，且，則_________________
14．已知，則的值為_______________
15．已知，若數(shù)列的前項和，則____________
16．已知函數(shù)（）圖象的一條對稱軸和一個對稱中心的最小距離為，則下列說法正確的序號是_______________
①函數(shù)的最小正周期為
②將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關(guān)于原點對稱
③若存在，使得，則
④設(shè)，則在內(nèi)有20個極值點
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟
17．（本小題滿分10分）
在直角坐標(biāo)系中，已知曲線：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線與直線交點的極坐標(biāo)（）．
18．（本小題滿分12分）
在等差數(shù)列中，，其前項和為，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且滿足，．
（1）求數(shù)列與的通項公式；
（2）若數(shù)列的前項和為，證明：．
19．（本小題滿分12分）
為了推進新高考改革，某中學(xué)組織教師開設(shè)了豐富多樣的校本選修課，同時為了增加學(xué)生對校本選修課的了解和興趣，該校還組織高二年級300名學(xué)生參加了一次知識競答活動，本次活動共進行兩輪比賽，第一輪是綜合知識小測驗，滿分100分，并規(guī)定得分從高到低排名在前20%的學(xué)生可進入第二輪答題，回答3個難度升級的題目，分別涉及“體育健康”、“天文地理”和“邏輯推理”三個方面，答對題得10分，答對題得20分，答對題得30分.以下是300名學(xué)生在第一輪比賽中的得分按照，，，，，進行分組繪制而成的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計學(xué)生在第一輪比賽中至少得到多少分才能進入第二輪比賽？
（2）若李華成功進入了第二輪比賽，并且他答對題的概率為，答對題的概率為，答對題的概率為，設(shè)他在第二輪比賽中的所得分?jǐn)?shù)為，求的的分布列及數(shù)學(xué)期望．
20．（本小題滿分12分）
已知銳角?的內(nèi)角的對邊分別為，若，且.在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.
（1）求角；
（2）若_____________，求?面積的取值范圍．
21．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列中，，．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項公式；
（2）數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項和，
求使恒成立的最小的整數(shù)．
22．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在點處的切線為，求的值；
（2）若，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）求證：對于一切正整數(shù)，恒有．
理科數(shù)學(xué)答案
14. 15.9 16.①②④．
17.（1）曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得：
故曲線化為普通方程為：，
由，得，結(jié)合
所以直線的直角坐標(biāo)方程為. 4分
（2）的普通方程可化為，聯(lián)立，
解得或，化為極坐標(biāo)可得，. 10分
18.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，的公比為q，
因為，，，所以，
解答，（負(fù)值舍去），
故，； 4分
（2）證明：由（1）得，
所以． 8分
所以數(shù)列的前n項和為，
所以． 12分
19.（1）設(shè)學(xué)生在第一輪比賽中至少得到分才能進入第二輪比賽，
則由頻率分布直方圖可得，解得，
故學(xué)生在第一輪比賽中至少得到76分才能進入第二輪比賽. 4分
（2）由題意可知的取值可能為0，10，20，30，40，50，60， 5分
，，
，，
，，
，
故的的分布列為
10分
12分
解：
（1）由，可得，即，
∵，∴ 4分
（2）若選①：∵，
∴，∴，∴. 6分
由正弦定理可得：，即，∴，
∴
, 8分
∵即∴,∴， 10分
∴，∴面積的取值范圍是. 12分
若選②：∵，∴，∴.
又由余弦定理可得：，即，
∴，又，∴ 6分
由正弦定理可得：，即，∴，
∴, 8分
∵即∴,∴， 10分
∴，∴面積的取值范圍是. 12分
21（1）由，得，
令，所以，解得，
所以， 2分
由等比數(shù)列的定義可知：
數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列，
所以，即， 4分
（2）由題意得， 6分
，
， 8分
兩式相減得：，10分
所以， 11分
所以，
所以使恒成立的最小的整數(shù)為. 12分
22.（1）
又即； 2分
（2）當(dāng)時，
恒成立即恒成立 3分
令
設(shè)方程的兩根為
則不妨設(shè)
若即時在，
又不成立 4分
若即時在
5分
綜上： 6分
由（2）知時， 7分
令得 9分
即
分別 累加即可得 12分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
B
D
C
B
A
C
C
D
A
0
10
20
30
40
50
60
P

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