?2021年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（在每一個小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，每小題3分，共30分）
1．（3分）計算：3+（﹣1），其結(jié)果等于（　?。?br /> A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2．（3分）一個幾何體如圖所示，它的左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
3．（3分）在慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年的“紅色記憶”校園歌詠比賽中，15個參賽班級按照成績（成績各不相同）取前7名進(jìn)入決賽，小紅知道了自己班級的比賽成績，如果要判斷自己的班級能否進(jìn)入決賽，還需要知道這15個參賽班級成績的（　?。?br /> A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差
4．（3分）不等式組的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．（3分）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，且x1＜0＜x2，則y1，y2的關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1+y2＝0 D．y1﹣y2＝0
6．（3分）小穎有兩頂帽子，分別為紅色和黑色，有三條圍巾，分別為紅色、黑色和白色，她隨機拿出一頂帽子和一條圍巾戴上，恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，若∠O＝70°，則∠C的度數(shù)是（　　）

A．40° B．35° C．30° D．25°
8．（3分）在育紅學(xué)校開展的課外閱讀活動中，學(xué)生人均閱讀量從七年級的每年100萬字增加到九年級的每年121萬字．設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，根據(jù)題意，所列方程正確的是（　?。?br /> A．100（1+x）2＝121
B．100×2（1+x）＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100（1+x）+100（1+x）2＝121
9．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點，則下列說法正確的是（　　）

A．a(chǎn)＜0
B．點A的坐標(biāo)為（﹣4，0）
C．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小
D．圖象的對稱軸為直線x＝﹣2
10．（3分）如圖，弧長為半圓的弓形在坐標(biāo)系中，圓心在（0，2）．將弓形沿x軸正方向無滑動滾動，當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為2021π時，圓心的橫坐標(biāo)是（　?。?br />
A．2020π B．1010π+2020 C．2021π D．1011π+2020
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．（3分）計算：﹣（）﹣1＝　 ?。?br /> 12．（3分）如圖，直線AB∥CD，一塊含有30°角的直角三角尺頂點E位于直線CD上，EG平分∠CEF，則∠1的度數(shù)為 　 　°．

13．（3分）如圖，已知每個小方格的邊長均為1，則△ABC與△CDE的周長比為 　 ?。?br />
14．（3分）如圖，甲樓高21m，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?5°，看乙樓底的俯角是30°，則乙樓高度約為 　 　m（結(jié)果精確到1m，≈1.7）．

15．（3分）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點B的對應(yīng)點E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB＝6，BC＝10．當(dāng)折痕GH最長時，線段BH的長為 　 ?。?br />
16．（3分）育紅學(xué)校七年級學(xué)生步行到郊外旅行．七（1）班出發(fā)1h后，七（2）班才出發(fā)，同時七（2）班派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩班隊伍之間進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，聯(lián)絡(luò)員和七（1）班的距離s（km）與七（2）班行進(jìn)時間t（h）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．若已知聯(lián)絡(luò)員用了h第一次返回到自己班級，則七（2）班需要 　 　h才能追上七（1）班．

三、解答題（17、18、19、20題每題8分，21、22題每題10分，共52分）
17．（8分）先化簡，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
18．（8分）下面是小明關(guān)于“對稱與旋轉(zhuǎn)的關(guān)系”的探究過程，請你補充完整．
（1）三角形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，簡稱G，G關(guān)于y軸的對稱圖形為G1，關(guān)于x軸的對稱圖形為G2．則將圖形G1繞 　 　點順時針旋轉(zhuǎn) 　 　度，可以得到圖形G2．
（2）在圖2中分別畫出G關(guān)于y軸和直線y＝x+1的對稱圖形G1，G2．將圖形G1繞 　 　點（用坐標(biāo)表示）順時針旋轉(zhuǎn) 　 　度，可以得到圖形G2．
（3）綜上，如圖3，直線l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夾銳角為α，如果圖形G關(guān)于直線l1的對稱圖形為G1，關(guān)于直線l2的對稱圖形為G2，那么將圖形G1繞 　 　點（用坐標(biāo)表示）順時針旋轉(zhuǎn) 　 　度（用α表示），可以得到圖形G2．
19．（8分）育紅學(xué)校為了了解學(xué)生家長對教育部《關(guān)于進(jìn)一步加強中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》（以下簡稱《通知》）的了解程度，隨機抽取了該校部分學(xué)生家長進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷分為A（十分了解），B（了解較多），C（了解較少），D（不了解）四個選項，要求每位被調(diào)查家長必選且只能選擇其中的一項．在對調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析時，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你依據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）參與這次學(xué)校調(diào)查的學(xué)生家長共 　 　人；
（2）通過計算將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）若該校共有2000名學(xué)生家長，請估計該校學(xué)生家長中對《通知》“十分了解”和“了解較多”的一共約有多少人？
20．（8分）為落實“數(shù)字中國”的建設(shè)工作，市政府計劃對全市中小學(xué)多媒體教室進(jìn)行安裝改造，現(xiàn)安排兩個安裝公司共同完成．已知甲公司安裝工效是乙公司安裝工效的1.5倍，乙公司安裝36間教室比甲公司安裝同樣數(shù)量的教室多用3天．
（1）求甲、乙兩個公司每天各安裝多少間教室？
（2）已知甲公司安裝費每天1000元，乙公司安裝費每天500元，現(xiàn)需安裝教室120間，若想盡快完成安裝工作且安裝總費用不超過18000元，則最多安排甲公司工作多少天？
21．（10分）在圖1中似乎包含了一些曲線，其實它們是由多條線段構(gòu)成的．它不但漂亮，還蘊含著很多美妙的數(shù)學(xué)結(jié)論．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是直線AB，BC上的點（E，F(xiàn)在直線AC的兩側(cè)），且AE＝CF．
（1）如圖2，求證：DE＝DF；
（2）若直線AC與EF相交于點G，
①如圖3，求證：DG⊥EF；
②設(shè)正方形ABCD的中心為O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度數(shù)（不必證明）．

22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），過點B的直線y＝x﹣2交拋物線于點C．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點P是直線BC下方拋物線上的一個動點（P不與點B，C重合），求△PBC面積的最大值；
（3）若點M在拋物線上，將線段OM繞點O旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，是否存在點M，使點N恰好落在直線BC上？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．


2021年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（在每一個小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，每小題3分，共30分）
1．（3分）計算：3+（﹣1），其結(jié)果等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的運算方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：3+（﹣1）＝2．
故選：A．
【點評】此題主要考查了有理數(shù)的加法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．（2）絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．
2．（3分）一個幾何體如圖所示，它的左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)簡單幾何體的三視圖的意義，畫出左視圖即可．
【解答】解：從左面看該幾何體，所得到的圖形如下：

故選：B．
【點評】本題考查簡單幾何體的左視圖，理解視圖的意義，掌握“能看見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示”是正確判斷的關(guān)鍵．
3．（3分）在慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年的“紅色記憶”校園歌詠比賽中，15個參賽班級按照成績（成績各不相同）取前7名進(jìn)入決賽，小紅知道了自己班級的比賽成績，如果要判斷自己的班級能否進(jìn)入決賽，還需要知道這15個參賽班級成績的（　?。?br /> A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差
【分析】由于比賽取前7名進(jìn)入決賽，共有15個參賽班級，根據(jù)中位數(shù)的意義分析即可．
【解答】解：15個不同的成績按從小到大排序后，中位數(shù)之后的共有7個數(shù)，
故只要知道自己的班級成績和中位數(shù)就可以知道自己的班級能否進(jìn)入決賽．
故選：B．
【點評】本題考查了中位數(shù)意義．解題的關(guān)鍵是正確理解中位數(shù)的意義．
4．（3分）不等式組的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，再根據(jù)“小于向左，大于向右；邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點”在數(shù)軸上表示解集即可．
【解答】解：解不等式2﹣2x≤4，得：x≥﹣1，
解不等式x+1＞3，得：x＞2，
則不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如下：

故選：C．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“小于向左，大于向右；邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點”在數(shù)軸上表示解集是解答此題的關(guān)鍵．
5．（3分）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，且x1＜0＜x2，則y1，y2的關(guān)系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1+y2＝0 D．y1﹣y2＝0
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)x1＜0＜x2確定A和B所在的象限，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝﹣中k＝﹣1＜0，
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
∵x1＜0＜x2，
∴A在第二象限，B在第四象限，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2．
故選：A．
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小；當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
6．（3分）小穎有兩頂帽子，分別為紅色和黑色，有三條圍巾，分別為紅色、黑色和白色，她隨機拿出一頂帽子和一條圍巾戴上，恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】畫樹狀圖，共有6個等可能的結(jié)果，恰好取到紅色帽子和紅色圍巾的結(jié)果有1個，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如圖：
，
共有6個等可能的結(jié)果，恰好取到紅色帽子和紅色圍巾的結(jié)果有1個，
∴恰好取到紅色帽子和紅色圍巾的概率為，
故選：C．
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，若∠O＝70°，則∠C的度數(shù)是（　?。?br />
A．40° B．35° C．30° D．25°
【分析】直接利用圓周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOB和∠C都對，
∴∠C＝∠AOB＝×70°＝35°．
故選：B．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
8．（3分）在育紅學(xué)校開展的課外閱讀活動中，學(xué)生人均閱讀量從七年級的每年100萬字增加到九年級的每年121萬字．設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，根據(jù)題意，所列方程正確的是（　?。?br /> A．100（1+x）2＝121
B．100×2（1+x）＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100（1+x）+100（1+x）2＝121
【分析】增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，根據(jù)題意即可列出方程求解．
【解答】解：設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，
根據(jù)題意即可列出方程：100（1+x）2＝121．
故選：A．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，為增長率問題，一般形式為a（1+x）2＝b，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量．
9．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點，則下列說法正確的是（　　）

A．a(chǎn)＜0
B．點A的坐標(biāo)為（﹣4，0）
C．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小
D．圖象的對稱軸為直線x＝﹣2
【分析】因為圖象開口方向向上，所以a＞0，故A錯誤，因為圖象對稱軸為直線x＝﹣2，且過B（﹣1，0），所以B點坐標(biāo)為（﹣3，0），故B錯誤，D正確，當(dāng)x＜0時，由圖象可知y隨x的增大先減小后增大，故C錯誤，即選D．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象開口方向向上，
∴a＞0，
故A錯誤，
∵圖象對稱軸為直線x＝﹣2，且過B（﹣1，0），
∴B點的坐標(biāo)為（﹣3，0），
故B錯誤，D正確，
由圖象知，當(dāng)x＜0時，由圖象可知y隨x的增大先減小后增大，
故C錯誤，
故選：D．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，弧長為半圓的弓形在坐標(biāo)系中，圓心在（0，2）．將弓形沿x軸正方向無滑動滾動，當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為2021π時，圓心的橫坐標(biāo)是（　?。?br />
A．2020π B．1010π+2020 C．2021π D．1011π+2020
【分析】由題知，圓心的運動軌跡是一段線段和四分之一圓弧循環(huán)出現(xiàn)組成的圖形，根據(jù)循環(huán)規(guī)律計算出橫坐標(biāo)即可．
【解答】解：由題知，圖形每旋轉(zhuǎn)一周，圓心的路徑循環(huán)一次，且路徑長度剛好為以2為半徑的圓的周長，
即4π，
2021π÷4π＝505（圈），
即當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為2021π時，圖形旋轉(zhuǎn)了505圈，
∵圖形每旋轉(zhuǎn)一圈橫坐標(biāo)增加2π+4，
∴當(dāng)圖形旋轉(zhuǎn)505圈時的橫坐標(biāo)為（2π+4）×505＝1010π+2020，
再轉(zhuǎn)圈橫坐標(biāo)增加×4π＝π，
∴當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為2021π時，圓心的橫坐標(biāo)是1010π+2020+π＝1011π+2020，
故選：D．
【點評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，掌握圓心運動路徑的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．（3分）計算：﹣（）﹣1＝　1?。?br /> 【分析】原式利用算術(shù)平方根定義，以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可求出值．
【解答】解：原式＝3﹣2＝1．
故答案為：1．
【點評】此題考查了實數(shù)的運算，以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，直線AB∥CD，一塊含有30°角的直角三角尺頂點E位于直線CD上，EG平分∠CEF，則∠1的度數(shù)為 　60　°．

【分析】根據(jù)兩直線平行，可以得出內(nèi)錯角相等，∠1＝∠FEC，由EG平分∠CEF，角平分線的性質(zhì)得，∠CEF＝2∠GEF，故可以得出∠1的度數(shù)．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FEC，
∵EG平分∠CEF，∠GEF＝30°，
∴∠CEF＝2∠GEF＝2×30°＝60°，
∴∠1＝60°，
故答案為60．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解本題要熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．
13．（3分）如圖，已知每個小方格的邊長均為1，則△ABC與△CDE的周長比為 　2：1?。?br />
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形并根據(jù)其各邊的長度證明△ABM∽△EDN，從而推出AB∥EN，再利用平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝∠EDC，進(jìn)而推出△ABC∽△CDE，則兩三角形的周長之比就是兩三角形的相似比．
【解答】解：如圖，

分別過點A、點E作AM⊥BD，EN⊥BD，垂足分別為點M、N，
則∠AMB＝∠END＝90°，
∵BM＝2，DN＝1，AM＝4，EN＝2，
∴，
∴△ABM∽△EDN，
∴∠ABM＝∠EDN，＝2，
∴AB∥EN，
∴∠BAC＝∠EDC，
又∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△CDE，
∴△ABC與△CDE的周長之比為2：1．
故答案為：2：1．
【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造直角三角形推出AB∥EN，再利用相似三角形的性質(zhì)求解．
14．（3分）如圖，甲樓高21m，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?5°，看乙樓底的俯角是30°，則乙樓高度約為 　57　m（結(jié)果精確到1m，≈1.7）．

【分析】在△ACE中，根據(jù)∠E＝90°，∠CAE＝30°，EC＝15米，求出AC、AE的長度，然后在△ADE中求出DE的長度，繼而可求出CD的高度．
【解答】解：如圖，過A作AE⊥CD于E，
則AB＝CE，
在△ACE中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，EC＝AB＝21米，
∴AC＝21×2＝42（米），
∴AE＝＝＝21≈35.7（米），
在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠DAE＝45°，
∴AE＝DE＝35.7米，
∴乙樓DC＝CE+ED＝21+35.7＝56.7≈57（米）．
答：乙樓的高約為57米．

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解．
15．（3分）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點B的對應(yīng)點E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB＝6，BC＝10．當(dāng)折痕GH最長時，線段BH的長為 　6.8　．

【分析】由題知，當(dāng)E點與D點重合時GH最長，設(shè)BH＝x，則CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，根據(jù)勾股定理計算出x的值即可．
【解答】解：由題知，當(dāng)E點與D點重合時GH最長，
設(shè)BH＝x，則CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，
由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，
即（10﹣x）2+62＝x2，
解得x＝6.8，
故答案為：6.8．
【點評】本題主要考查圖形的翻折，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的知識，確定當(dāng)D點與E點重合時GH最長時解題的關(guān)鍵．
16．（3分）育紅學(xué)校七年級學(xué)生步行到郊外旅行．七（1）班出發(fā)1h后，七（2）班才出發(fā)，同時七（2）班派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩班隊伍之間進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，聯(lián)絡(luò)員和七（1）班的距離s（km）與七（2）班行進(jìn)時間t（h）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．若已知聯(lián)絡(luò)員用了h第一次返回到自己班級，則七（2）班需要 　2　h才能追上七（1）班．

【分析】設(shè)七（2）班的速度為xkm/h，根據(jù)圖象求出七（1）班、七（2）班和聯(lián)絡(luò)員的速度，設(shè)七（2）班需要ah才能追上七（1）班，列出方程6a＝4（a+1）求解即可．
【解答】解：由圖可知：
七（1）班的速度為4÷1＝4（km/h），
聯(lián)絡(luò)員的速度為：4×（1+）÷＝12（km/h），
設(shè)七（2）班的速度為xkm/h，
則12×+x＝2×[4×﹣4×（﹣）]，
解得x＝6，即七（2）班的速度為6km/h，
設(shè)七（2）班需要ah才能追上七（1）班，
則6a＝4（a+1），
解得a＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出七（2）班的速度．
三、解答題（17、18、19、20題每題8分，21、22題每題10分，共52分）
17．（8分）先化簡，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算可得．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
當(dāng)時，
原式＝＝＝．
【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．
18．（8分）下面是小明關(guān)于“對稱與旋轉(zhuǎn)的關(guān)系”的探究過程，請你補充完整．
（1）三角形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，簡稱G，G關(guān)于y軸的對稱圖形為G1，關(guān)于x軸的對稱圖形為G2．則將圖形G1繞 　O　點順時針旋轉(zhuǎn) 　180　度，可以得到圖形G2．
（2）在圖2中分別畫出G關(guān)于y軸和直線y＝x+1的對稱圖形G1，G2．將圖形G1繞 　（0，1）　點（用坐標(biāo)表示）順時針旋轉(zhuǎn) 　90　度，可以得到圖形G2．
（3）綜上，如圖3，直線l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夾銳角為α，如果圖形G關(guān)于直線l1的對稱圖形為G1，關(guān)于直線l2的對稱圖形為G2，那么將圖形G1繞 ?。?，）　點（用坐標(biāo)表示）順時針旋轉(zhuǎn) 　2α　度（用α表示），可以得到圖形G2．
【分析】（1）由圖象即可知，將圖形G1繞O點順時針旋轉(zhuǎn)180度，可以得到圖形G2；
（2）根據(jù)題意畫出G1，G2，根據(jù)圖形寫出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度即可；
（3）圖形G關(guān)于直線l1的對稱圖形為G1，關(guān)于直線l2的對稱圖形為G2，則直線l1直線l2的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)度數(shù)為夾角的2倍．
【解答】解：（1）由圖象即可知，將圖形G1繞O點順時針旋轉(zhuǎn)180度，可以得到圖形G2，
故答案為：O，180；
（2）G關(guān)于y軸和直線y＝x+1的對稱圖形G1，G2，如圖2所示，
∵圖形G1，G2對應(yīng)點連線的垂直平分線交于點（0，1），
∴圖形G1繞（0，1）點順時針旋轉(zhuǎn)90度，可以得到圖形G2，
即答案為：G1，G2如圖2；（0，1），90；
（3）圖形G關(guān)于直線l1的對稱圖形為G1，關(guān)于直線l2的對稱圖形為G2，
則直線l1與直線l2的交點即為圖形G1，G2對應(yīng)點連線的垂直平分線交點，
即旋轉(zhuǎn)中心，
∴，
解得，
∴圖形G1繞點（，）旋轉(zhuǎn)可以得到圖形G2，
如圖3，設(shè)A點，點A'，點A“分別是在圖形G，G1，G2上的對應(yīng)點，
設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為P，則∠A'PA“即為旋轉(zhuǎn)角，
連接AP，A'P，A“P，
∵兩直線之間的夾角為α，
由圖象的對稱性可知，∠APA'+∠APA“＝180°﹣α，
∴∠A'PA“＝360°﹣2（∠APA'+∠APA“）＝360°﹣（360°﹣2α）＝2α，
故答案為：（，），2α．


【點評】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)和對稱及直角坐標(biāo)系的知識，根據(jù)圖形確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度是解題的關(guān)鍵．
19．（8分）育紅學(xué)校為了了解學(xué)生家長對教育部《關(guān)于進(jìn)一步加強中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》（以下簡稱《通知》）的了解程度，隨機抽取了該校部分學(xué)生家長進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷分為A（十分了解），B（了解較多），C（了解較少），D（不了解）四個選項，要求每位被調(diào)查家長必選且只能選擇其中的一項．在對調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析時，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你依據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）參與這次學(xué)校調(diào)查的學(xué)生家長共 　150　人；
（2）通過計算將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）若該校共有2000名學(xué)生家長，請估計該校學(xué)生家長中對《通知》“十分了解”和“了解較多”的一共約有多少人？
【分析】（1）由A選項人數(shù)及其所占百分比可得被調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）總?cè)藬?shù)減去A、B、D選項的人數(shù)求出C的人數(shù)，從而補全圖形；
（3）總?cè)藬?shù)乘以樣本中A、B選項人數(shù)所占比例即可．
【解答】解：（1）參與這次學(xué)校調(diào)查的學(xué)生家長共30÷20%＝150（人），
故答案為：150；
（2）C選項人數(shù)為：150﹣30﹣54﹣24＝42（人），
補全圖形如下：


（3）×2000＝1120（人），
答：估計該校學(xué)生家長中對《通知》“十分了解”和“了解較多”的一共約有1120人．
【點評】此題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖和概率公式的運用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察統(tǒng)計圖并從中整理出進(jìn)一步解題的有關(guān)信息，條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?br /> 20．（8分）為落實“數(shù)字中國”的建設(shè)工作，市政府計劃對全市中小學(xué)多媒體教室進(jìn)行安裝改造，現(xiàn)安排兩個安裝公司共同完成．已知甲公司安裝工效是乙公司安裝工效的1.5倍，乙公司安裝36間教室比甲公司安裝同樣數(shù)量的教室多用3天．
（1）求甲、乙兩個公司每天各安裝多少間教室？
（2）已知甲公司安裝費每天1000元，乙公司安裝費每天500元，現(xiàn)需安裝教室120間，若想盡快完成安裝工作且安裝總費用不超過18000元，則最多安排甲公司工作多少天？
【分析】（1）設(shè)乙公司每天安裝x間教室，則甲公司每天安裝1.5x間教室，由題意：乙公司安裝36間教室比甲公司安裝同樣數(shù)量的教室多用3天．列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)安排甲公司工作y天，則乙公司工作 天，由題意：甲公司安裝費每天1000元，乙公司安裝費每天500元，想盡快完成安裝工作且安裝總費用不超過18000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）設(shè)乙公司每天安裝x間教室，則甲公司每天安裝1.5x間教室，
根據(jù)題意得：＝3，
解得：x＝4，
經(jīng)檢驗，x＝4是所列方程的解，
則1.5x＝1.5×4＝6，
答：甲公司每天安裝6間教室，乙公司每天安裝4間教室；
（2）設(shè)安排甲公司工作y天，則乙公司工作 天，
根據(jù)題意得：1000y+×500≤18000，
解這個不等式，得：y≤12，
答：最多安排甲公司工作12天．
【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程；（2）找出不等關(guān)系，列出一元一次不等式．
21．（10分）在圖1中似乎包含了一些曲線，其實它們是由多條線段構(gòu)成的．它不但漂亮，還蘊含著很多美妙的數(shù)學(xué)結(jié)論．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是直線AB，BC上的點（E，F(xiàn)在直線AC的兩側(cè)），且AE＝CF．
（1）如圖2，求證：DE＝DF；
（2）若直線AC與EF相交于點G，
①如圖3，求證：DG⊥EF；
②設(shè)正方形ABCD的中心為O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度數(shù)（不必證明）．

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD＝CD，∠C＝∠DAB＝90°．則∠DAE＝∠C＝90°，利用SAS證明△DAE≌△DCF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）作EH∥BC交AC于點H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AE＝EH＝CF，證明△EHG≌△FCG（AAS），可得EG＝GF．由（1）同理可得 DE＝DF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得DG⊥EF；
（3）分三種情況：①當(dāng)點E在線段AB上時，②當(dāng)點E在線段BA的延長線上時，③當(dāng)點E在線段AB的延長線上時，根據(jù)正方形以及直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠C＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF；
（2）證明：作EH∥BC交AC于點H，如圖3．

∴∠EHG＝∠FCG．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°．
∴∠BAC＝∠BCA＝45°
∵EH∥BC，
∴∠AHE＝∠ACB＝45°．
∴∠BAH＝∠AHE．
∴AE＝EH，
∵AE＝CF，
∴EH＝CF．
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EHG≌△FCG（AAS），
∴EG＝GF．
由（1）同理可得 DE＝DF，
∴DG⊥EF；
（3）解：①當(dāng)點E在線段AB上時，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠2＝45°，
∴∠1＝45°﹣∠3，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2+∠CFE＝90°，
∴∠3＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，
∴∠1＝45°﹣∠3＝α，
∵∠DGO＝∠ACD+∠1，
∴∠DGO＝α+45°；
②當(dāng)點E在線段BA的延長線上時，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠GFD＝∠BDC＝45°，
∴∠1＝∠2，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∵∠3＝∠CFE﹣∠GFD＝α﹣45°，
∴∠2＝90°﹣α+45°＝135°﹣α，
∴∠1＝∠2＝135°﹣α，
∴∠DGO＝90°﹣∠1＝α﹣45°；
③當(dāng)點E在線段AB的延長線上時，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACD＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDE＝∠DEG＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CFE+∠2+∠DEG＝90°，
∵∠CFE﹣∠2＝45°，
∴∠CFE＝∠1＝α，
∴∠DGO+∠1＝∠ACD＝45°，
∴∠DGO＝45°﹣α．
綜上：∠DGO＝α+45°或∠DGO＝α﹣45°或∠DGO＝45°﹣α．
【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出DE＝DF，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解，屬于中考壓軸題．
22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），過點B的直線y＝x﹣2交拋物線于點C．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點P是直線BC下方拋物線上的一個動點（P不與點B，C重合），求△PBC面積的最大值；
（3）若點M在拋物線上，將線段OM繞點O旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，是否存在點M，使點N恰好落在直線BC上？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）如圖1，過點P作PD∥y軸，交x軸于點D，交BC于點E，作CF⊥PD于點F，連接PB，PC，設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），則點E （m，），可得出PE＝﹣m2+m+1，再通過解方程組求出點C的坐標(biāo)為（，﹣），利用三角形面積公式和二次函數(shù)性質(zhì)即可得出答案；
（3）設(shè)M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y軸于點G，NH⊥x軸于H，證明△OGM≌△OHN（AAS），得出GM＝NH，OG＝OH，建立方程組求解即可．
【解答】解：（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴該拋物線表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如圖1，過點P作PD∥y軸，交x軸于點D，交BC于點E，作CF⊥PD于點F，連接PB，PC，
設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），則點E （m，），
∴PE＝PD–DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
聯(lián)立方程組：，
解得：，，
∵點B坐標(biāo)為（3，0），
∴點C的坐標(biāo)為（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE?BD+PE?CF
＝PE（BD+CF）
＝（?m2+m+1）?
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴這個二次函數(shù)有最大值．
當(dāng)m＝時，S△PBC的最大值為．
（3）如圖2，設(shè)M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y軸于點G，NH⊥x軸于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵線段OM繞點O旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM與△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2 ，
如圖3，設(shè)M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y軸于點G，NH⊥x軸于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵線段OM繞點O旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM與△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴或，
解得：t1＝，t2＝，t3＝0（舍），t4＝（舍），
∴M3，M4 ；
綜上所述，點M的坐標(biāo)為M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4 ．



【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、幾何圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)及一元二次方程等知識點，運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)及二次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/7 14:38:55；用戶：13784622801；郵箱：13784622801；學(xué)號：37960971

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