專題強化練5　離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征一、選擇題1.(2020浙江杭州外國語學(xué)校高二模擬,)已知隨機變量X的分布列如下表所示,Y=2X+1,則E(Y)=(　　)X10-1PaA. B.C. D.22.(多選)(2019山東德州一中高二期末,)已知ξ是離散型隨機變量,則下列結(jié)論正確的是(　　)A.P≤P B.[E(ξ)]2≤E(ξ2)C.D(ξ)=D(1-ξ)        D.D(ξ2)=D[(1-ξ)2]3.(2020吉林長春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期末,)某學(xué)校為了給運動會選拔志愿者,組委會舉辦了一個趣味答題活動.參選的志愿者回答三個問題,其中兩個是判斷題,另一個是有三個選項的單項選擇題,設(shè)ξ為回答正確的題數(shù),則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=(　　)A.1 B. C. D.24.(2019浙江杭州學(xué)軍中學(xué)高二段考,)已知隨機變量ξ滿足下列分布列,當p∈(0,1)且不斷增大時,(　　)ξ012P(1-p)22p(1-p)p2A.E(ξ)增大,D(ξ)增大B.E(ξ)減小,D(ξ)減小C.E(ξ)增大,D(ξ)先增大后減小D.E(ξ)增大,D(ξ)先減小后增大5.(2019江西九江一中高二期末,)已知隨機變量X的分布列如下表:X-101Pabc其中a,b,c>0.若X的方差DX≤對所有的a∈(0,1-b)都成立,則(　　)A.0<b≤ B.0<b≤C.≤b<1 D.≤b<1二、填空題6.(2020山東濟南二中高二期末,)在一次隨機試驗中,事件A發(fā)生的概率為p,事件A發(fā)生的次數(shù)為ξ,則期望E(ξ)=　　　　,方差D(ξ)的最大值為　　　　. 三、解答題7.(2020重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)高二模擬,)某地區(qū)為了在“精準扶貧”工作中切實貫徹習(xí)近平總書記提出的“因地制宜”的指導(dǎo)思想,扶貧工作小組經(jīng)過多方調(diào)研,綜合該地區(qū)的氣候、地質(zhì)、地理位置等特點,決定向當?shù)剞r(nóng)戶推行某類景觀樹苗的種植.工作小組根據(jù)市場前景重點考察了A,B,C三種景觀樹苗,經(jīng)引種試驗后發(fā)現(xiàn),引種樹苗A的自然成活率為0.8,引種樹苗B、C的自然成活率均為0.75.(1)若引種樹苗A,B,C各一棵,求至少自然成活兩棵的概率;(2)已知引種一棵樹苗B需花費100元,引種后沒有自然成活的樹苗B中有80%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理,每棵需花費50元,處理后成活的概率為0.8,其余的樹苗不能成活.引種后自然成活的樹苗B及經(jīng)人工栽培技術(shù)處理后成活的樹苗B在后期(成活后至長成可出售的小樹)的培養(yǎng)過程中每棵均需再花費200元,記引種一棵樹苗B的總花費為X元,求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 8.(2020安徽合肥八中高二調(diào)研,)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如下:AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)在[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為y=試估計該企業(yè)一個月(按30天計算)的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望.    9.(2020天津?qū)氎娴谝恢袑W(xué)高二期中考試,)某學(xué)校為了學(xué)生的健康,對課間操活動做了如下規(guī)定:課間操時間若有霧霾,則停止課間操;若無霧霾,則組織課間操.預(yù)報得知,在未來一周從周一到周五的課間操時間出現(xiàn)霧霾的概率分別是前3天均為,后2天均為,且每一天是否出現(xiàn)霧霾是相互獨立的.(1)求未來5天中至少一天停止課間操的概率;(2)求未來5天中組織課間操的天數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 10.(2020北師大實驗中學(xué)高二期末,)為了解某地區(qū)初中學(xué)生的體質(zhì)健康情況,統(tǒng)計了該地區(qū)八所學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康數(shù)據(jù),按總分評定等級為優(yōu)秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超過40%的學(xué)校為先進校.各等級學(xué)生人數(shù)占該校學(xué)生總?cè)藬?shù)的比例如下表:            學(xué)校等級 比例學(xué)校A學(xué)校B學(xué)校C學(xué)校D學(xué)校E學(xué)校F學(xué)校G學(xué)校H優(yōu)秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%(1)從八所學(xué)校中隨機選出一所學(xué)校,求該校為先進校的概率;(2)從八所學(xué)校中隨機選出兩所學(xué)校,記這兩所學(xué)校中不及格比例低于30%的學(xué)校個數(shù)為X,求X的分布列;(3)設(shè)八所學(xué)校中優(yōu)秀比例的方差為,良好及其以下比例之和的方差為,試比較與的大小.
答案全解全析專題強化練5　離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征1.B2.ABC3.B4.C5.D一、選擇題1.B　由題意可知++a=1,所以a=,所以E(X)=1×+0×+(-1)×=,因此E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=,故選B.2.ABC　在A中,P=P-≤ξ≤≤P-≤ξ≤=Pξ2≤,故A正確;在B中,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得[E(ξ)]2≤E(ξ2),故B正確;在C中,由方差的性質(zhì)得D(1-ξ)=(-1)2×D(ξ)=D(ξ),故C正確;在D中,D(ξ2)≠D[(1-ξ)2]=4D(ξ)+D(ξ2),故D錯誤.故選ABC.3.B　由已知得ξ的所有可能取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=××=,P(ξ=1)=××+××+××=,P(ξ=2)=××+××+××=,P(ξ=3)=××=,∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=,故選B.4.C　由題意得,E(ξ)=2p,D(ξ)=2p(1-p),所以當p∈(0,1)且不斷增大時,E(ξ)增大,D(ξ)先增大后減小.故選C.5.D　由X的分布列可得,EX=-a+c,又a+b+c=1,所以X的方差DX=(-1+a-c)2a+(a-c)2b+(1+a-c)2c=(a-c)2(a+b+c)-2(a-c)2+a+c=-(a-c)2+a+c=-(2a-1+b)2+1-b=-4+1-b,因為a∈(0,1-b),所以當且僅當a=時,DX取得最大值1-b,又DX≤對所有的a∈(0,1-b)都成立,所以1-b≤,解得b≥,所以≤b<1.故選D.二、填空題6.答案　p;解析　易知ξ服從兩點分布,故E(ξ)=p,方差Dξ=p(1-p)≤,當且僅當p=時等號成立.三、解答題7.解析　(1)設(shè)事件D為引種三棵樹苗,至少自然成活兩棵,則P(D)=0.8×0.75×0.25×2+0.2×0.75×0.75+0.8×0.75×0.75=0.862 5.(2)X的所有可能取值為100,150,300,350.P(X=100)=(1-0.75)×0.2=0.05,P(X=150)=(1-0.75)×0.8×0.2=0.04,P(X=300)=0.75,P(X=350)=(1-0.75)×0.8×0.8=0.16,所以X的分布列為X100150300350P0.050.040.750.16 E(X)=100×0.05+150×0.04+300×0.75+350×0.16=292.8.解析　(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=+=.(2)任選一天,設(shè)該天的經(jīng)濟損失為X元,則X的所有可能取值為0,220,1 480,P(X=0)=P(0≤x≤100)==,P(X=220)=P(100<x≤250)==,P(X=1 480)=P(250<x≤300)==,所以EX=0×+220×+1 480×=302(元),故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望為30EX=9 060(元).9.解析　(1)未來5天中每天都組織課間操的概率P1==,∴未來5天中至少一天停止課間操的概率P=1-P1=1-=.(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,P(X=0)==,P(X=1)=+×=,P(X=2)=+×+×=,P(X=3)=+×+×=,P(X=4)=+=,P(X=5)==,∴X的分布列為X012345P E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=2.10.解析　(1)由題意得,八所學(xué)校中,A、B、E、F四所學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康數(shù)據(jù)達到良好及其以上的比例超過40%,所以從八所學(xué)校中隨機選出一所學(xué)校,該校為先進校的概率為.(2)八所學(xué)校中,學(xué)生不及格比例低于30%的學(xué)校有學(xué)校B、F、H,所以X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以隨機變量X的分布列為X012P(3)設(shè)優(yōu)秀的比例為隨機變量Y,良好及以下的比例之和為隨機變量Z,則Z=1-Y,所以D(Y)=D(Z),所以=. 

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