2.3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定基礎(chǔ)過關(guān)練題組一　含有量詞命題的否定1.命題“?x∈R,x3-x2+1>0”的否定是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.?x∈R,x3-x2+1≤0 B.?x∈R,x3-x2+1<0C.?x∈R,x3-x2+1≤0 D.不存在x∈R,x3-x2+1>02.命題 “存在實數(shù)m,使方程x2+mx+1=0有實數(shù)根”的否定是(　　)A.存在實數(shù)m,使方程x2+mx+1=0無實數(shù)根B.不存在實數(shù)m,使方程x2+mx+1=0無實數(shù)根C.對任意的實數(shù)m,方程x2+mx+1=0無實數(shù)根D.至多有一個實數(shù)m,使方程x2+mx+1=0有實數(shù)根3.命題“?x∈R,x2≠x”的否定是(　　)A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=xC.?x?R,x2≠x D.?x∈R,x2=x4.命題“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(　　)A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0C.?x∈R,|x|+x2<0 D.?x∈R,|x|+x2≥05.(2019江蘇揚州中學(xué)高二期中)命題“?x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是(　　)A.?x∈Z,都有x2+2x+m≤0B.?x∈Z,使x2+2x+m>0C.?x∈Z,都有x2+2x+m>0D.不存在x∈Z,使x2+2x+m>06.若命題p的否定是“對所有正數(shù)x,>x+1”,則命題p是　　　　　　　　　　　　　. 7.寫出下列命題的否定:(1)p:?x∈R,2x+1≥0;(2)p:所有自然數(shù)的平方都是正數(shù);(3)p:任何實數(shù)x都是方程5x-12=0的根;(4)p:有些分數(shù)不是有理數(shù).     題組二　含有量詞命題的否定的真假判斷8.(2019江蘇侯集中學(xué)月考)下列命題的否定是真命題的是(　　)A.三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等B.所有平行四邊形都不是菱形C.任意兩個等邊三角形都是相似的D.3是方程x2-9=0的一個根9.下列命題的否定為假命題的是(　　)A.?x∈Z,1<4x<3 B.?x∈Z,5x+1=0C.?x∈R,x2-1=0 D.?x∈R,x2+3x+2=010.寫出下列命題的否定,并判斷所得命題的真假.(1)無論實數(shù)m取何值,方程x2+x-m=0必有實數(shù)根;(2)所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除;(3)某些梯形的對角線互相平分;(4)能被8整除的數(shù)能被4整除.       題組三　含有量詞命題否定的應(yīng)用11.已知命題p:?x∈R,ax2+2x+1=0,若命題p是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.{a|a≥1} B.{a|a<1}C.{a|a>1} D.{a|a≤1}12.已知命題p:?x∈R,|x|2-2|x|+m=0,若?p是假命題,求實數(shù)m的取值范圍.      能力提升練題組一　含有量詞命題的否定的真假判斷1.()若命題p:?x∈R,x-2> ,命題q:?x∈R,x2>0,則(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.命題p,q都是假命題B.命題p,q都是真命題C.命題p,?q都是真命題D.命題p,?q都是假命題2.(多選)(2019江蘇灌南高級中學(xué)月考,)下列四個命題中,其否定是假命題的有(　　)A.有理數(shù)是實數(shù) B.有些平行四邊形不是菱形C.?x∈R,x2-2x>0 D.?x∈R,2x+1為奇數(shù)3.()已知a>0,函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)),若m滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0,當x=m時的函數(shù)值記為M,則下列命題為假命題的是(　　)A.?x∈R,ax2+bx+c≤M B.?x∈R,ax2+bx+c≥MC.?x∈R,ax2+bx+c≤M D.?x∈R,ax2+bx+c≥M4.()寫出下列命題的否定,并判斷所得命題的真假.(1)所有實數(shù)x都能使x2+2x+1>0成立;(2)對所有實數(shù)a,b,方程ax+b=0恰有一個解;(3)一定有整數(shù)x,y,使得3x-2y=0成立;(4)所有的實數(shù)x都能使x+1是有理數(shù).      題組二　含有量詞命題的否定的應(yīng)用5.(2019江蘇新海高級中學(xué)期中,)若“?x∈R,k>x2+1恒成立”是假命題,則實數(shù)k的取值范圍是(　　)A.-1<k<1 B.0<k≤1C.k>1 D.k≤16.()已知p:?x∈[1,4],x-a≥0,q:?x∈R,x2+2x+2-a=0,若命題?p是真命題,且命題q是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.a=1 B.a≤1C.a≥1 D.a>17.(2019江蘇海安高級中學(xué)階段檢測,)已知命題p:?x∈[1,4],x2≥a,命題q:?x∈R,x2+2ax+2-a≠0,若命題p和?q都是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為(　　)A.a=1 B.a≥1C.a=1或a≤-2 D.-2≤a<18.(2019江蘇連云港高級中學(xué)月考,)某中學(xué)開展小組合作學(xué)習(xí)模式,高二某班某組王小一同學(xué)給組內(nèi)王小二同學(xué)出題如下:若命題“?x∈R,x2+2x+m≤0”是假命題,求實數(shù)m的取值范圍.王小二略加思索,反手給了王小一一道題:若命題“?x∈R,x2+2x+m>0”是真命題,求實數(shù)m的取值范圍.你認為,兩位同學(xué)題中實數(shù)m的取值范圍是否一致?答:　　　　.(填“是”“否”中的一種) 9.(2020山東師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期中改編,)已知命題p:?x∈[0,4],0≤x<2a,命題q:?x∈R,x2-2x+a<0.(1)若命題?p和命題q有且只有一個為真命題,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若命題p和命題q至少有一個為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.        答案全解全析2.3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定基礎(chǔ)過關(guān)練1.A　量詞“?”改為“?”,結(jié)論“x3-x2+1>0”改為“x3-x2+1≤0”,故選A.2.C　存在量詞命題的否定形式為全稱量詞命題,即“對任意的實數(shù)m,方程x2+mx+1=0無實數(shù)根”.故選C.3.D　全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,所以“?x∈R,x2≠x”的否定是“?x∈R,x2=x”,故選D.4.C　條件“?x∈R”的否定是“?x∈R”,結(jié)論“|x|+x2≥0”的否定是“|x|+x2<0”.故選C.5.C　命題“?x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是“?x∈Z,都有x2+2x+m>0”.故選C.6.答案　?x0∈(0,+∞),≤x0+1解析　只需將全稱量詞命題變?yōu)榇嬖诹吭~命題,再對結(jié)論否定即可.故命題p是?x0∈(0,+∞),≤x0+1.7.解析　(1)?p:?x∈R,2x+1<0.(2)?p:有些自然數(shù)的平方不是正數(shù).(3)?p:存在實數(shù)x不是方程5x-12=0的根.(4)?p:一切分數(shù)都是有理數(shù).8.B　A的否定:存在一個三角形,它的角平分線上的點到角兩邊的距離不相等,是假命題;B的否定:有些平行四邊形是菱形,是真命題;C的否定:有些等邊三角形不相似,是假命題;D的否定: 3不是方程x2-9=0的一個根,是假命題.故選B.9.D　命題的否定為假命題等價于該命題是真命題.由1<4x<3得,這樣的整數(shù)x不存在,故A為假命題,其否定為真命題;5x+1=0,則x=-?Z,故B為假命題,其否定為真命題;x2-1=0,則x=±1,故C為假命題,其否定為真命題;存在實數(shù)x=-1或x=-2,有x2+3x+2=(x+1)·(x+2)=0,故D為真命題,其否定是假命題.故選D.10.解析　(1)命題的否定:存在實數(shù)m,使得方程x2+x-m=0沒有實數(shù)根.當Δ=1+4m<0,即m<-時,一元二次方程沒有實數(shù)根,因此是真命題.(2)命題的否定:存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除.它是假命題.(3)命題的否定:所有梯形的對角線都不互相平分.它是真命題.(4)命題的否定:存在一個數(shù)能被8整除,但不能被4整除.它是假命題.11.C　∵p:?x∈R,ax2+2x+1=0,∴?p:?x∈R,ax2+2x+1≠0.∵命題p為假命題,∴命題?p為真命題,∴當x∈R時,方程ax2+2x+1=0沒有實數(shù)根,∴Δ=4-4a<0,即a>1.∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.故選C.12.解析　∵?p是假命題,∴p是真命題.也就是?x∈R,使得|x|2-2|x|=-m,即方程|x|2-2|x|=-m有解.又|x|2-2|x|=(|x|-1)2-1≥-1,當x=±1時取等號,因此-m≥-1,即m≤1.∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤1}.能力提升練1.C　當x=9時,9-2>=3,∴p為真命題.∵?x∈R,x2≥0,∴q為假命題,?q是真命題,故選C.2.ABD　選項A中,有理數(shù)是實數(shù),是真命題,則命題的否定是假命題;選項B中,有些平行四邊形不是菱形為真命題,則命題的否定是假命題;選項C中,?x∈R,x2-2x>0為假命題,當x=0時,不等式不成立,則命題的否定是真命題;選項D中,?x∈R,2x+1為奇數(shù),為真命題,則命題的否定是假命題.故選ABD.3.C　方程2ax+b=0的解為x=-.由x=m時的函數(shù)值為M知A、B為真命題;∵a>0,∴函數(shù)y=ax2+bx+c在x=-=m處取得最小值.∴M是函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值,因此D為真命題,C為假命題,故選C.4.解析　(1)命題的否定:存在實數(shù)x,使x2+2x+1≤0.當x=-1時,x2+2x+1=0,故為真命題.(2)命題的否定:存在實數(shù)a,b,使方程ax+b=0無解或至少有兩個解.當a=0時,方程有無數(shù)個解,故是真命題.(3)命題的否定:對任意整數(shù)x,y,3x-2y≠0.當x=2,y=3時,3x-2y=0,故為假命題.(4)命題的否定:存在實數(shù)x,使x+1不是有理數(shù).當x=時,,為無理數(shù),故是真命題.5.D　因為“?x∈R,k>x2+1恒成立”是假命題,所以其否定“?x∈R,k≤x2+1”為真命題.因為x2+1≥1,即x2+1的最小值為1,要使“k≤x2+1恒成立”,只需k≤(x2+1)min,即k≤1,故選D.6.D　若“?x∈[1,4],x-a≥0”為真命題,則a小于或等于x(1≤x≤4)的最小值,即a≤1,而當命題?p是真命題時,命題p為假命題,從而a>1.若q:?x∈R,x2+2x+2-a=0為真命題,則Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1,所以命題p是假命題,且命題q是真命題需滿足解得a>1,故選D.7.C　命題p:?x∈[1,4],x2≥a是真命題,因為x2≥1,所以a≤1;命題?q:?x∈R,x2+2ax+2-a=0為真命題,則Δ=(2a)2+4a-8≥0,解得a≤-2或a≥1,則實數(shù)a的取值范圍為a=1或a≤-2.8.答案　是解析　由?x∈R,x2+2x+m≤0,得其否定為?x∈R,x2+2x+m>0,因此命題“?x∈R,x2+2x+m≤0”是假命題,與命題“?x∈R,x2+2x+m>0”是真命題是等價關(guān)系,即兩位同學(xué)題中實數(shù)m的取值范圍一致.9.解析　若命題p:?x∈[0,4],0≤x<2a為真命題,則2a>4,即a>2.所以若?p為真命題,則a≤2.若命題q:?x∈R,x2-2x+a<0為真命題,則Δ=(-2)2-4×1×a>0,即a<1.若?q為真命題,則a≥1.(1)①當?p為真,q為假時,?q為真,即所以1≤a≤2;②當?p為假,q為真時,p為真,即無解,舍去.綜上所述,當命題?p和命題q有且只有一個為真命題時,a的取值范圍為{a|1≤a≤2}.(2)解法一:①當p真q假時,?q為真,即所以a>2;②當p假q真時,?p為真,即所以a<1;③當p真q真時,無解,舍去.綜上所述,a的取值范圍為{a|a<1或a>2}.解法二:考慮p,q至少一個為真命題的反面,即p,q均為假命題.即?p為真,且?q為真,則解得1≤a≤2,即{a|1≤a≤2},則p,q至少一個為真命題時,a的取值范圍為{a|1≤a≤2}的補集,故a的取值范圍為{a|a<1或a>2}.  

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2.3 全稱量詞命題與存在量詞命題

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