學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義.3.會判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它們的真假．
導(dǎo)語
同學(xué)們，生活中，我們經(jīng)常聽到“全體起立，所有人到操場集合”，也有“南使孤帆遠(yuǎn)，東風(fēng)任意吹”這種體現(xiàn)出任意的句子的詩情畫意；我們還經(jīng)常聽到“有的同學(xué)考上了清華大學(xué)，有的同學(xué)沒有交作業(yè)”，還有“我該如何存在”這種拷問心靈的歌詞．而這里出現(xiàn)了一些在我們數(shù)學(xué)中非常重要的量詞，“全體、所有的、任意的、有的、存在”等，今天我們就對含有這些量詞的命題展開討論．
一、全稱量詞命題與存在量詞命題的識別
問題 下列語句是命題嗎？比較(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系？
(1)x>3；
(2)2x＋1＝3；
(3)對所有的x∈R，x>3；
(4)存在一個x∈R，使2x＋1＝3.
提示 語句(1)(2)中含有變量x，由于不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷它們的真假，所以它們不是命題．語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“所有的”對變量x進(jìn)行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語“存在一個”對變量x進(jìn)行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語句，因此語句(3)(4)是命題．
知識梳理
注意點：
(1)從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中的所有的元素都具有某種性質(zhì)的命題；存在量詞命題是陳述某集合中有或存在一些或至少一個元素具有某種性質(zhì)的命題．
(2)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補(bǔ)充出來．
例1 判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用量詞符號“?”或“?”表述下列命題．
(1)對任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(2)對所有實數(shù)a，b，方程ax＋b＝0恰有一個解；
(3)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除；
(4)某個四邊形不是平行四邊形．
解 (1)全稱量詞命題，表示為?x∈{x|x>－1},3x＋4>0.
(2)全稱量詞命題，表示為?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3)存在量詞命題，表示為?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
(4)存在量詞命題，表示為?x∈{y|y是四邊形}，x不是平行四邊形．
反思感悟 判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的方法
判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關(guān)鍵是看量詞．由于某些全稱量詞命題的量詞可能省略，所以要根據(jù)命題表達(dá)的意義判斷，同時要會用相應(yīng)的量詞符號正確表達(dá)命題．
跟蹤訓(xùn)練1 判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題．
(1)凸多邊形的外角和等于360°；
(2)矩形的對角線不相等；
(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
(4)有些實數(shù)a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整數(shù)解．
解 (1)可以改為所有的凸多邊形的外角和都等于360°，
故為全稱量詞命題．
(2)可以改為所有矩形的對角線都不相等，
故為全稱量詞命題．
(3)若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，
故為全稱量詞命題．
(4)含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題．
(5)可改寫為存在一對整數(shù)x，y，使3x－2y＝10成立，故為存在量詞命題．
二、含量詞命題的真假判斷
例2 判斷下列命題的真假．
(1)?x∈Z，x30.
解 (1)因為－1∈Z，且(－1)3＝－10.
1．下列命題是“?x∈R，x2>3”的另一種表述方式的是( )
A．有一個x∈R，使得x2>3
B．對有些x∈R，使得x2>3
C．任選一個x∈R，使得x2>3
D．至少有一個x∈R，使得x2>3
答案 C
解析 “?”表示“任意的”．
2．(多選)下列命題是全稱量詞命題的是( )
A．任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)
B．有的菱形是正方形
C．梯形有兩邊平行
D．?x∈R，x2＋1＝0
答案 AC
解析 選項A中的命題含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞命題，選項C中，“梯形有兩邊平行”是全稱量詞命題．
3．(多選)下列命題中是存在量詞命題的是( )
A．有些自然數(shù)是偶數(shù)
B．正方形是菱形
C．能被6整除的數(shù)也能被3整除
D．存在x∈R，使得|x|≤0
答案 AD
解析 選項A是存在量詞命題；選項B可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題；選項C可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)也都能被3整除”，是全稱量詞命題；而選項D是存在量詞命題．
4．下列命題中是假命題的是( )
A．?x∈R，|x|＝0 B．?x∈R,2x－10＝1
C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R，x2＋1>0
答案 C
解析 當(dāng)x＝0時，x3＝0，故選項C為假命題．
5．下列命題中既是全稱量詞命題又是真命題的是( )
A．?x∈R,2x＋1>0
B．若2x為偶數(shù)，則x∈N
C．菱形的四條邊都相等
D．π是無理數(shù)
答案 C
解析 A項，是全稱量詞命題，但不是真命題，
故A不正確；
B項，是假命題，也不是全稱量詞命題，
故B不正確；
C項，是全稱量詞命題，也是真命題，故C正確；
D項，是真命題，但不是全稱量詞命題，
故D不正確．
6．已知命題p：?x∈R，x2＋2x－a>0.若p為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)>－1 B．a(chǎn)0對x∈R恒成立，
所以必有Δ＝4＋4a

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2.3 全稱量詞命題與存在量詞命題

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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