勾股定理 如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為 a,b,斜邊長(zhǎng)為 c,那么 a2+b2=c2.
如果將條件和結(jié)論反過(guò)來(lái),這個(gè)命題還成立嗎?
  據(jù)說(shuō),古埃及人曾用如圖所示的方法畫(huà)直角.
在一根繩子上連續(xù)打上等距離的13個(gè)結(jié),然后用釘子將第1個(gè)與第13個(gè)結(jié)釘在一起,拉緊繩子,再在第4個(gè)和第8個(gè)結(jié)處各釘上一個(gè)釘子,如圖所示,最長(zhǎng)邊所對(duì)的角就是直角.
用圓規(guī)、直尺作△ABC,使AB=5,AC=4,BC=3,如圖,量一量∠C,它是90°嗎?
勾股定理的逆定理 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.
已知,在△ABC中, AB=c,AC=b,BC=a.且a2+b2=c2. 求證:△ABC是直角三角形.
證明:畫(huà)一個(gè)△A'B'C',使∠ C'=90°,B'C'=a,C'A'=b.
∵ ∠ C'=90°,∴ A'B'2= a2+b2=c2,
∴ △ ABC ≌△ A'B'C'(SSS).
∴ ∠C=∠C'=90°.
BC=a=B'C',CA=b=C'A',AB=c=A'B'.
在△ABC和△A'B'C'中
例1 根據(jù)下列三角形的三邊a,b,c的值,判斷△ABC是不是直角三角形.如果是,指出哪條邊所對(duì)的角是直角. (1)a=7,b=24,c=25; (2)a=7,b=8,c=11.
解(1)∵最大邊是c=25,c2=625, a2+b2=72+242=625, ∴a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形,最大邊c所 對(duì)的角是直角.
(2)∵最大邊是c=11,c2=121, a2+b2=72+82=113, ∴a2+b2≠c2. ∴△ABC不是直角三角形.
判斷下列三邊組成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=2,b=3,c=4. ( )
(2)a=9,b=7,c=12. ( )
(3)a=25,b=20,c=15. ( )
1. 如果三條線段長(zhǎng)a,b,c滿足a2=c2-b2,這三條線段組成的三角形是不是直角三角形?為什么?
解:這三條線段組成的三角形是直角三角形.因?yàn)橛?a2=c2-b2,所以有a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理知這個(gè)三角形是直角三角形.
2. 下列各組數(shù)能否作為一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)? (1)5,12,13 (2)6,8,10 (3)15,20,25
3. 如圖,在5×4的方格中,A、B為兩個(gè)格點(diǎn),再選一個(gè)格點(diǎn)C,使∠ACB為直角,那么滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為( )
A. 6 B. 5C. 4 D. 3
4. 在△ABC中,a:b:c=9:15:12,試判斷△ABC是直角三角形.
解 依題意知b是最長(zhǎng)邊,設(shè)a=9k,b=15k,c=12k(k>0),∵ a2+c2=(9k)2+(12k)2=225k2,b2=(15k)2=225k2,∴ a2+c2 = b2,△ABC是直角三角形.
解:由題意得:(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0,∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
當(dāng)a=b時(shí),△ABC為等腰三角形;當(dāng)a≠b時(shí),△ABC為直角三角形.
6. 一個(gè)零件的形狀如圖所示,工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如下(單位:dm):AB=3,AD=4,BC=12,CD=13.且∠DAB=90°.你能求出這個(gè)零件的面積嗎?
解:如圖,連接BD.在Rt△BAD中,
在△DBC中,BD2+BC2=52+122=132=CD2.
∴△DBC為直角三角形,∠DBC=90°.

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18.2 勾股定理的逆定理

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