畢達哥拉斯在朋友家里做客時，從磚鋪成的地面中發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的數(shù)量關系.
你從圖片中發(fā)現(xiàn)了什么？
兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積.
在行距、列距都是 1 的方格網(wǎng)中，任意作出幾個以格點為頂點的直角三角形，分別以直角三角形的各邊為正方形的一邊，向形外作正方形.
觀察圖（1），并填寫：
S1=____個單位面積
S2=____個單位面積
S3=____個單位面積
觀察圖（2），并填寫：
圖（1）（2）中三個正方形面積之間有怎樣的關系，用它們的邊長表示，是：___________.
我們稱上述定理為勾股定理，國外稱為畢達哥拉斯定理.
如果直角三角形的兩直角邊用 a，b 表示，斜邊用 c 表示，那么勾股定理可表示為
1. 設直角三角形的兩條直角邊長分別為 a 和 b，斜邊長為 c. （1）已知 a = 6，c = 10，求 b； （2）已知 a = 5，b = 12，求 c； （3）已知 c = 25，b = 15，求 a.
2. 如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形 A，B，C，D 的邊長分別是 12，16，9，12，求最大正方形 E的面積.
解：根據(jù)圖形正方形E 的邊長為:
故E的面積為：252 = 625.
已知：如圖（1），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 求證：a2 + b2 = c2.
證明：取 4 個與 Rt△ABC 全等的直角三角形，把它們拼成如圖（2）所示的邊長為 a+b 的正方形EFGH.
從圖中可見，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.因為∠B1A1E+∠A1B1E=90°，而∠A1B1E=∠D1A1H，因此∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°.同理：∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°，
你還有其他的方法證明嗎？
小正方形的面積= (a-b)2
如圖是我國古代證明該命題的“趙爽弦圖”.
趙爽指出：按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四.以勾股之差自相乘為中黃實.加差實，亦成弦實.
你是如何理解的？你會證明嗎？　　
世界上幾個文明古國相繼發(fā)現(xiàn)和研究過勾股定理，據(jù)說其證明方法多達 400 多種，有興趣的同學可以繼續(xù)研究.
1874年美國總統(tǒng)Garfield證明
作8個全等的直角三角形(2條直角邊長分別為a、b斜邊長為 c)再作3個邊長分別為 a、b、c 的正方形把它們拼成兩個正方形(如圖)你能利用這兩個圖形驗證勾股定理嗎？寫出你的驗證過程.
解：由圖可知大正方形的邊長為：a+b則面積為(a+b)2，圖中把大正方形的面積分成了四部分，分別是：邊長為a的正方形，邊長為b的正方形，還有兩個長為b，寬為a的長方形. 根據(jù)同一個圖形面積相等，由左圖可得 (a+b)2=a2+b2+4× ab， 由右圖可得(a+b)2=c2+4× ab. 所以a2+b2=c2.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，則b= .
5.已知直角三角形的兩邊長分別為 3，2，求另一條邊長.
6.如圖，已知長方形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的長.
解：∵∠A=∠C′=∠C=90°,∠AEB=∠C′ED，AB=C′D,∴△AEB≌△C′ED. ∴AE=C′E,
∴C′E=AD-ED=8-ED. 又在△EC′D中，

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18.1 勾股定理

版本： 滬科版

年級： 八年級下冊

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