第23講 導(dǎo)數(shù)解答題之max，min函數(shù)問題1．已知函數(shù)，．（1）若直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）用，表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】解：（1）依題意，，則曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，又，代入整理得，此直線與重合，得，消去得：①，令，則，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，（1）．由①知，，解得；（2）①當(dāng)時(shí)，，所以，無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，（1）（1），從而（1），故為的一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，則的零點(diǎn)即為的零點(diǎn)．又，所以①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，（1），此時(shí)無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又（1），在上無零點(diǎn)，另外，由（1）可知（1）恒成立，即對(duì)恒成立，則，所以，故存在，進(jìn)而存在，使得，即，此時(shí)在上存在唯一零點(diǎn)；綜上可得：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．2．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）記，表示，中的最小值，設(shè)，，若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?/span>，，令，得．①當(dāng)，即時(shí)，；②當(dāng)，即時(shí)，；③當(dāng)，即時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為．（2）的唯一一個(gè)零點(diǎn)是，，，由（1）可得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在定義域上單減遞減，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，若（2），即，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若（2），即，此時(shí)，即，此時(shí)恰好有三個(gè)零點(diǎn)，符合題意；若（2），即，此時(shí)，，記，所以，所以（a）在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)恰好有四個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上，．3．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)，，若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）令，當(dāng)時(shí)，．，令，得．當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，，單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，令，得，．①當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；③當(dāng)，即時(shí)，若（1），至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若（1），得，，恰好有三個(gè)零點(diǎn)；若（1），得，（2），．記（a），則（a），（a），此時(shí)有四個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合為，．4．已知函數(shù)．（1）求證：；（2）用，表示，中的最大值，記，，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】證明：（1）：設(shè)，定義域?yàn)?/span>，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)是遞減函數(shù)，在內(nèi)遞增函數(shù)，所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，所以（1），所以．解：（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是遞減函數(shù)，在內(nèi)是遞增函數(shù)，所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，即（1），若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，于是只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)．所以沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）知：，而，所以，又因?yàn)?/span>（1），所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，從而一定存在，，使得（c）（c），即，即，當(dāng)時(shí)，，所以，從而，于是有兩個(gè)零點(diǎn)和1．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．5．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)，且時(shí)，證明：；（2）定義，設(shè)函數(shù)，，試討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，要證，需證，即，即證：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，（1），此時(shí)；當(dāng)時(shí)，（1），此時(shí)．故，且時(shí)，．（2）解：當(dāng)時(shí)，，，在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，（1）（1），則（1），是的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在上無零點(diǎn)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．，①若時(shí)，，在上單調(diào)遞增，（1），此時(shí)無零點(diǎn)；②若即時(shí)，令，得；令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，令（a），則（a），（a）在上單調(diào)遞增，（a）（1），即，即，兩邊取指數(shù)，有，即，，又，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一的零點(diǎn)，且．綜上所述：當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．  

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