第16講指對混合問題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第16講指對混合問題
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題）
1．（2021秋?龍鳳區(qū)校級月考）已知，不等式對于任意恒成立，則的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：不等式對于任意恒成立，
則①對于任意恒成立，
令，則在時恒成立，
因為在恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，
故①式即為在上恒成立，即②在上恒成立，
令，，令得，當(dāng)，；當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故（e），
要使②式成立，只需，即．
故選：．
2．（2021秋?江西月考）對任意，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為　　
A． B．，
C．， D．，
【解答】解：因為對任意，，不等式恒成立，
所以對任意，，不等式恒成立，
令，，，
，，，
令，，，
，在，上單調(diào)遞增，
所以且，
當(dāng)時，，
所以存在，，，即，
所以，
所以在，上，，單調(diào)遞減，
在，上，，單調(diào)遞增，
所以的最小值為，，，
所以單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以在，上，，單調(diào)遞增，
所以，
所以，
故選：．
3．（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知對任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意，當(dāng)?shù)仁綄愠闪ⅲ?br /> 即對恒成立，
即對恒成立，
令，
則有對恒成立，
又，
令，則，
當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，
所以（1），即，
故在上單調(diào)遞增，
所以對恒成立，
即對恒成立，
令，則，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
所以的最小值為（e），
則，
所以正數(shù)的取值范圍是．
故選：．
4．（2021春?東至縣校級期中）若對任意，不等式恒成立，則的范圍是　　
A． B．， C．， D．
【解答】解：由題意可得：，，
由可得，即，
令，可得，
由可得，由可得，
如圖：

可得在單調(diào)遞增，
若，則，可得，
令，只需要，對于恒成立，
所以在單調(diào)遞減，所以，
所以，實數(shù)的范圍為，，
故選：．
5．（2021?蘇州模擬）已知函數(shù)，，函數(shù)，若，對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：，對恒成立，
即，化為：，
令，，
，
，可得時，函數(shù)取得極小值即最小值，（1），
恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，
，
，即，
令，，
，可得時，函數(shù)取得極大值即最大值．
．
故選：．
6．（2021?九江二模）若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：不等式恒成立，
令，則原不等式等價于恒成立．
在上單調(diào)遞增，
，
令，則，
可得：時函數(shù)取得極小值，即最小值．
（1）．
，
令，．
．
（e），時，，在上單調(diào)遞增；
時，，在上單調(diào)遞減．
（e）．
實數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
7．（2021?四川模擬）若，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，，
所以，即，
令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
由，可得，，
則恒成立，所以，
令，，令，得，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，
所以（1），
所以，解得，
所以的最大值為．
故選：．
8．（2021?遵義一模），不等式恒成立，則的最大值為　　
A． B．0 C． D．
【解答】解：原不等式可化為，
構(gòu)造，，令，可得，時，，時，，
所以是函數(shù)的最小值，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
有零點，所以．
故選：．
9．（2021?湖北模擬）已知函數(shù)，若，時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，，，則恒成立，
，
令，
若，在，時，，則，
此時函數(shù)單調(diào)遞減，則（1），不符合題意；
若，，令，解得，
①當(dāng)，即時，在，時，，
單調(diào)遞增，即（1），則，
即在，單調(diào)遞增，則（1）恒成立，符合題意；
②當(dāng)，即時，在，時，單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，
（1），則，時，，，
令，得，
函數(shù)中，，在上單調(diào)遞減，則的值域為，
因為，所以存在解，即，，
故，時，，，時，，即，
只需即可，則，
解得，故符合題意．
綜上，當(dāng)時，不等式恒成立．
故選：．
10．（2021春?淇濱區(qū)校級月考）已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意，若顯然不是恒大于零，故．（由4個選項也是顯然，可得，
則顯然在，上恒成立；
當(dāng)時，，
令，，在上單調(diào)遞增．
因為，，所以，即，
再設(shè)，令，則，
易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故，
所以的取值范圍為．
故選：．
11．（2021?浙江模擬）已知函數(shù)，若，時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由，且恒成立，
得恒成立，即在，上恒成立．
令，則．
令，則，
則在，上單調(diào)遞減，
（3），（4），
存在，使得，即，
，
當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增；
當(dāng)，時，，即，單調(diào)遞減．
，
又，，
則，即．
．
，即實數(shù)的取值范圍為，．
故選：．
12．（2020?珠海三模）設(shè)函數(shù)恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：求導(dǎo)得有兩個零點等價于函數(shù)有一個不等于1的零點，分離參數(shù)得，
令，
在遞減，在遞增，顯然在取得最小值，
作的圖象，并作的圖象，注意到，，
（原定義域，這里為方便討論，考慮，
當(dāng)時，直線與只有一個交點即只有一個零點（該零點值大于；
當(dāng)時在兩側(cè)附近同號，不是極值點；
當(dāng)時函數(shù)有兩個不同零點（其中一個零點等于，但此時在兩側(cè)附近同號，使得不是極值點不合．
故選：．

二．多選題（共3小題）
13．（2021?沈河區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)，，則　　
A．函數(shù)在上無極值點
B．函數(shù)在上不存在極值點
C．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值
D．若，則的最大值為
【解答】解：對于，則，
令，解得：，令，解得：，
故在遞減，在遞增，
故，故在遞增，
故函數(shù)在上無極值點，故正確；
對于，，
令，解得：，令，解得：，
故在遞減，在遞增，
故（1），故在遞增，
函數(shù)在上無極值點，故正確；
對于：由得：在遞增，
不等式恒成立，
則恒成立，故，
設(shè)，則，
令，解得：，令，解得：，
故在遞增，在遞減，
故（e），故，故正確；
對于：若，
則，
，，，且，
時，，
設(shè)，設(shè)，則，
令，解得：，令，解得：，
故在遞增，在遞減，
故（e），此時，
故的最大值是，故正確；
故選：．
14．（2021?黃州區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點，則　　
A．
B．，曲線在處的切線總與曲線在處的切線相交
C．的最小值為1
D．，使得曲線在點處的切線也是曲線的切線
【解答】解：對于，恒成立，
要使函數(shù)與有交點，則，即正確；
對于，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，
取，此時，，
，，
，，
，（1），
此時曲線在處的切線與曲線在處的切線斜率相等，兩條切線不相交，即錯誤；
對于，，
設(shè)，，
則在上單調(diào)遞增，
（1），
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
（1），
的最小值為1，即選項正確；
對于，函數(shù)在處的切線方程為，若此切線也是的切線，設(shè)切點為，，
則，
消去，得，
設(shè)，
，，（2），
至少有兩個零點，
有解，
故的值存在，且大于0，即選項正確．
故選：．
15．（2021?重慶模擬）函數(shù)為常數(shù)）的圖象可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：令，解得，即函數(shù)有且只有一個零點，故不可能，
，
令，則，
令，則，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，取得最小值，為，即，，且時，，時，，
故當(dāng)時，，單調(diào)遞增，選項可能，
當(dāng)時，存在兩個零點，，且，
在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，選項可能，
當(dāng)時，存在唯一零點，且，
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，選項可能，
故選：．
三．填空題（共8小題）
16．（2021秋?資中縣校級月考）已知，若不等式（2）對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是　?。?br /> 【解答】解：函數(shù)，，
因為，
所以為上的偶函數(shù)，
又因為，，
所以，在上單調(diào)遞增，又，
所以時，，
所以在區(qū)間，單調(diào)遞增，
不等式（2），
由偶函數(shù)性質(zhì)可得（2），即（2），
由函數(shù)的單調(diào)性可得，
所以，
所以，，恒成立，
令，則，
當(dāng)，時，，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)，時，，在，上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取極大值，即為的最大值，；
令，，
因為，，所以，故，
所以在區(qū)間，單調(diào)遞減，
所以在處取最小值，，
所以，
所以的取值范圍為．
故答案為：．
17．（2021春?浙江期中）設(shè)函數(shù)有兩個不同極值點，，則的取值范圍是　　，若，則的取值范圍是　?。?br /> 【解答】解：函數(shù)，
則，
因為有兩個不同極值點，，
則當(dāng)時，有兩個不相等的實數(shù)根，，
所以，解得，
故的取值范圍是；
因為，
所以，，
所以

，
令，故，
則，
所以，
則在上單調(diào)遞增，
所以，
又當(dāng)時，，
所以，即，
所以的取值范圍是．
故答案為：；．
18．（2021春?江西期中）若對任意，恒有為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的最小值為　1?。?br /> 【解答】解：因為對任意恒成立，
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，
令，
則，
，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
所以（1），
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為對任意恒成立，
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，
所以對任意恒成立，
即對任意恒成立，
令，
則，
令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故（e），
則，
所以實數(shù)的最小值為1．
故答案為：1．
19．（2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)，若函數(shù)有唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是　，　．
【解答】解：函數(shù)的定義域是，
．
函數(shù)有唯一極值點，則是函數(shù)的唯一一個極值點．
是導(dǎo)函數(shù)的唯一根．
在無變號零點，
令，
，
①時，恒成立．在時單調(diào)遞增的
的最小值為，無解，符合題意．
②時，有解為：，
時，，單調(diào)遞減
時，，單調(diào)遞增
的最小值為

，
由和圖象，它們切于，
綜上所述，．
故答案為：，．
20．（2021春?南陽期末）若，不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是　?。?br /> 【解答】解：設(shè)，
求導(dǎo)可得，
在單調(diào)遞增，
，
，
，，，
，
，，
，，
又在單調(diào)遞增，
，即，
，
，
設(shè)，，
求導(dǎo)可得，
令，解得，，解得，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
在取得極小值點，也為的最小值點，
（e），即，可得
則實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
21．（2021春?萊州市期末）已知函數(shù)，，若，則的最大值是　　．
【解答】解：設(shè)，則，，所以；
構(gòu)造函數(shù)，；
又因為，所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，最大值為（2）；
故答案為：．
22．（2021春?上高縣校級月考）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為　?。?br /> 【解答】解：函數(shù) 的定義域為，
當(dāng) 時，，單調(diào)遞增，當(dāng) 時，，單調(diào)遞減，
又（1），所以時，；時，；時，，
同時注意到，
所以若存在，，使得成立，
則且，
所以，所以，
所以構(gòu)造函數(shù)，而，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，即．
故答案為：．
23．（2021?茂名模擬）已知，，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是　，?。?br /> 【解答】解：恒成立恒成立恒成立，
令，
則，
再令，
則恒成立，
在上單調(diào)遞增，又（1）（1），
當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞增；
（1），
，
解得：，
故答案為：，．
四．解答題（共11小題）
24．（2021秋?南明區(qū)校級月考）已知函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)函數(shù)有極大值，且極大值為時，恒成立．
【解答】解：（1），
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，取得極大值，
函數(shù)的極大值為，
，
．
令，
要證明恒成立，
只需．
在上為減函數(shù)，且，（1），
，，使得，即，①
恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），②
由①②得，
，，
（理由是：在上為增函數(shù)），
即，故結(jié)論成立．
25．（2021秋?金安區(qū)校級月考）已知函數(shù)（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意知，，
當(dāng)時，由得，，，
①若，即時，恒成立，故在上單調(diào)遞增；
②若，即時，
易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)道減；
③若，即時，
易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由題意知，對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
令，則，
令，則在上顯然單調(diào)遞減，
又（1），（e），
故在上有唯一的實根，不妨設(shè)該實根為，則為的極大值點，
故，又，代入上式得，
故的取值范圍為．
26．（2021秋?巴中月考）已知，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，若對任意，恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）因為，
則，
①當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，令，解得，
令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)且時，恒成立，
即對于恒成立，
等價于對于恒成立，
令，
則問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立，
因為對于恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
則對于恒成立，等價于對于恒成立，
故對于恒成立，
令，
則，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值（1），
則，
所以的取值范圍為．
27．（2021秋?湖北月考）（1）已知函數(shù)，求證：；
（2）若函數(shù)在，上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）證明：．（1分）
因為，所以，，
所以，所以在，上為減函數(shù)，（3分）
于是（1），（e），
故．（4分）
（2）解：設(shè)，則，從而在，上為增函數(shù)，
由，得（1）（e），即．（5分）
當(dāng)時，，則，從而，
因為函數(shù)在，上為減函數(shù)，
所以，即對，恒成立，
即對，恒成立，
根據(jù)（1），，所以，
再結(jié)合，此時，．（7分）
當(dāng)時，，則，從而，
因為函數(shù)在，上為減函數(shù)，
所以，即對，恒成立，
即對，恒成立，
根據(jù)（1），，所以．
再結(jié)合，此時．（9分）
當(dāng)時，則存在唯一的，使得，從而．
當(dāng)，時，，即存在，，且，使得，這與“在，上為減函數(shù)”矛盾，此時不合題意．（11分）
綜上，實數(shù)的取值范圍是，，．（12分）
28．（2021秋?重慶月考）已知函數(shù)有三個不同的極值點，，，且．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，求的最大值．
【解答】解：（1），，
由題意，，則或，
所以有兩個等于1的正實根，
令，則，
即當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
因為（1），，，
所以，
的取值范圍為；
（2）由題意可知，有三個極值點，，所以可轉(zhuǎn)化為，
由單調(diào)性可知，隨著的增大，逐漸減小，而逐漸增大，
令，當(dāng)取最大，取最小值時，取最大值，
所以，所以，則，
所以，
令，則，
令，，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，（1），所以，
所以，，單調(diào)遞增，
因為（3），所以，
所以的最大值為3．
29．（2021秋?龍巖月考）已知函數(shù)且為常數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點個數(shù)；
（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)知：的定義域為，，
令，在上恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域為，
①當(dāng)時，在上恒成立，即，故在上單調(diào)遞增，無極值點；
②當(dāng)時，方程有唯一解為，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
是函數(shù)的極小值點，沒有極大值點．
綜上，當(dāng)時，無極值點，
當(dāng)時，函數(shù)只有1個極值點；
（Ⅱ）不等式對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
對任意的恒成立
記，則，
記，則，易知在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，且，（1），
存在，使得，且當(dāng)時，即，
函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，時，即，故在，上單調(diào)遞增，
，即，
又，故，即，即，
由（Ⅰ）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，
．綜上，實數(shù)的取值范圍是，．
30．（2021春?浦城縣期中）已知函數(shù)，，．
（1）寫出函數(shù)在，的零點個數(shù)，并證明；
（2）當(dāng)時，函數(shù)有零點，記的最大值為，證明：．
【解答】（1）解：在，上有唯一零點．
證明如下：由，得，，，
在，上單調(diào)遞減，又（1），在，上恒成立，
則在，上單調(diào)遞減，
（2），（e），
函數(shù)在，上有唯一零點；
（2）證明：令，得，
，由（1）可知，在，上有唯一零點，
且在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
的最大值．
下面再證明．
一方面（2）；
另一方面，要證，即證，又，
則只需證明，
記，則，由（1）可知在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，即（2）．
綜上所述，．
31．（2021春?東城區(qū)校級期中）已知函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的最大值；
（2）若在區(qū)間，上的最大值為，求的值；
（3）求證：．
【解答】（1）解：函數(shù)的定義域為，
當(dāng)時，，
則，
令，解得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
故當(dāng)時，取得最大值（1），
所以當(dāng)時，求的最大值為；
（2）解：函數(shù)，
則，，，，
①若，則，所以在，上單調(diào)遞增，
故（e），不符合題意；
②若，令，可得，結(jié)合，，解得；
令，可得，結(jié)合，，解得，
所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在，上為單調(diào)遞減函數(shù)，
則，
令，可得，
解得，
因為，
所以符合題意，
故的值為；
（3）證明：函數(shù)，，
要證，即證，
令，
則，
所以恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
又（1），，
所以存在，使得，即，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，
所以，
故．
32．（2021春?山西期中）（1）證明：對任意的，，，不等式恒成立．
（2）證明：．
【解答】證明：（1）要證，
即要證，
只需證．
令，，．
因為，
所以在，上單調(diào)遞減．
因為（1），
所以對任意的，，，都有，．
所以恒成立，
故對任意的，，，不等式恒成立．
（2）要證，即要證．
令，則只要證．
令．
因為，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因為，
所以，即成立，故成立．
33．（2021春?南陽期中）已知函數(shù)，其中．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，求證：．
【解答】解：（1）函數(shù)，其中，其定義域為．
，
時，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
時，由，△，
由△，解得，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
由△，解得，此時由，解得，，．
，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
綜上可得：時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
（2）證明：令，，令，得，所以存在，使，
當(dāng)，，當(dāng)，時，，所以的最大值為，
，，又，，，
，
．
34．（2021秋?長安區(qū)校級月考）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在當(dāng)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域是，
當(dāng)時，，，
令，解得：，令，解得：，
故在遞增，在，遞減；
（2）恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立．
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，而（1），，
故存在，，使得，即，
所以，
令，，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
當(dāng) 時，，即，故在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，時，，即，故在，上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，
所以，
故，
所以的取值范圍為，

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