第8講 距離問(wèn)題 參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．（2021?浙江模擬）記，則的最大值為　　A．4 B． C．3 D．【解答】解：設(shè)，，，當(dāng)，時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為，當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為，綜上所述的最大值為，故選：．2．（2021?西湖區(qū)校級(jí)模擬）若不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C． D．【解答】解：令，①時(shí)，，，在，遞增，故（1），②時(shí)，，，故在遞減，（1），③時(shí)，，，在遞增，，④時(shí)，，，在，遞減，，綜上，的最小值是2，若不等式有解，即，故，故選：．3．（2015春?定興縣校級(jí)期中）若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C． D．【解答】解：不等式在上有解，的最大值大于．由絕對(duì)值三角不等式可得，故的最大值為3，，故選：．4．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)，的最大值是　　A． B． C．2 D．【解答】解：函數(shù)，的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離，由直線即為，由且，可得，，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，，由題意可得原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離即為所求最大值，可得．故選：．5．（2021春?渝中區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)的最小值是　　A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)令的含義是點(diǎn)與單位圓上的點(diǎn)的連線的斜率所以所以所以即當(dāng)，綜合得，，故最小值為：．故選：．6．（2021?新疆模擬）若，則的最小值是　　A． B． C． D．2【解答】解：由已知可得，，則的最小值即為曲線的點(diǎn)到直線的距離最小值的平方，設(shè)，則，令，解得，（1），曲線與平行的切線相切于，則所求距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離的平方，即．故選：．7．（2021?成都模擬）已知，，則的最小值為　　A． B． C． D．【解答】解：的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的最小值，由，可得，與直線平行的直線的斜率為，令，得，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切點(diǎn)到直線的距離．故選：．8．（2021?浙江模擬）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，若的最小值為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　A．， B． C．， D．【解答】解：當(dāng)絕對(duì)值內(nèi)兩式同號(hào)時(shí)，，當(dāng)絕對(duì)值內(nèi)兩式異號(hào)時(shí)，．令，，易知，，，，．當(dāng)的最小值為4時(shí)，的最大值的最小值為4，幾何意義是圖象上的點(diǎn)到直線的距離最大值的最小值為4，此時(shí)恰好有；的最大值不超過(guò)4，即圖象上的點(diǎn)到直線的距離不超過(guò)4，故，解得．故選：．9．（2021?浙江模擬）已知函數(shù)，若存在兩相異實(shí)數(shù)，使，且，則的最小值為　　A． B． C． D．【解答】解：由題意，當(dāng)，有，，，是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，，而，，即，，令，則，則當(dāng)時(shí)，的最小值為．故選：．10．（2021春?北海期末）若實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為　　A．2 B． C．4 D．8【解答】解：由，可得，，故的幾何意義為曲線上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)間距離的平方，對(duì)于函數(shù)，令，解得，即在點(diǎn)處的切線方程為，切線方程與直線平行，則函數(shù)在處的切線與直線之間的距離，故的最小值為．故選：．11．（2021?山東模擬）若，，，求的最小值為　　A． B． C． D．【解答】解：?jiǎn)栴}可以轉(zhuǎn)化為：是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，是函數(shù)上的點(diǎn)，且．當(dāng)直線的平行直線與的圖象相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離為的最小值．設(shè)斜率為2的直線與的圖象相切，切點(diǎn)為，，，令，則，，，（1），即．到直線的距離即為的最小值為，．故選：．12．（2016秋?福建月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，則的最小值為　　A．9 B． C． D．【解答】解：，，，并且，的最小值轉(zhuǎn)化為：函數(shù)圖象上的點(diǎn)與圖象上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，由，得，與直線平行的直線的斜率為1，所以，解得，或（舍，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，切點(diǎn)到直線之間的距離的平方即為的最小值，的最小值為：．故選：．13．（2021?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，且存在相異實(shí)數(shù)，滿足．若，則的最小值是　　A． B． C． D．【解答】解：由題意得：方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，由得，由韋達(dá)定理得，，，，故選：．14．（2021春?瑤海區(qū)月考）已知函數(shù)，若存在，，，且，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C． D．【解答】解：依題意得，，，，而，由，時(shí)有成立，則需在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（e），，，當(dāng)（e）時(shí)，只需，此時(shí)，解得；當(dāng)（e）時(shí)，只需（e），此時(shí)，解得，的取值范圍為：，，故選：．15．（2021?三模擬）已知函數(shù)，若存在，，，且，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C． D．【解答】解：，令，解得，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，又，，，當(dāng)（4）（2）時(shí)，則需（3）（4），即，解得；當(dāng)（4）（2）時(shí)，則需（3）（2），即，解得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：．二．填空題（共18小題）16．（2012秋?上城區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)的最小值為　　．【解答】解：令，則函數(shù)，它表示與連線的斜率，如下圖所示：由圖可得：當(dāng)與半圓相切時(shí)，函數(shù)取最小值此時(shí)，故答案為：17．（2021秋?運(yùn)城期中）若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是　，　．【解答】解：根據(jù)題意得：為恒過(guò)定點(diǎn)的直線，曲線表示圓心為，半徑為1的下半圓，如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有，解得：或（不合題意，舍去）；把代入，得，的取值范圍是，．故答案為：，．18．（2016?安徽開學(xué)）求函數(shù)的最小值為　5　．【解答】解：函數(shù)表示軸上動(dòng)點(diǎn)到和的距離和，當(dāng)為與軸的交點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取最小值，故答案為：519．對(duì)任意的，，的最小值為　3　；若正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值是　　．【解答】解：①對(duì)任意，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，，成立，的最小值為3；②正實(shí)數(shù)，，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，的最大值為．故答案為：3；．20．（2021?紹興一模）已知，，設(shè)函數(shù)的最大值為，則的最小值為　　．【解答】解：設(shè)，，則，，，，當(dāng)時(shí)，令，，，則此時(shí)，故，由，可知，等號(hào)能成立；當(dāng)時(shí)，令，，，則此時(shí)，故，由，可知，等號(hào)能成立；綜上，的最小值為．故答案為：．21．（2021?南京一模）若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是　，　．【解答】解：方法一：【幾何法】當(dāng)時(shí)，解得，符合題意，當(dāng)時(shí)，解答如下：令，，原方程可化為：，記函數(shù)，，，，這兩個(gè)函數(shù)都是關(guān)于的函數(shù)，其中為參數(shù)，的圖象為直線，且斜率為定值，的圖象為四分之一圓，半徑為，問(wèn)題等價(jià)為，在第一象限，兩圖象有公共點(diǎn)，①當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由解得，②當(dāng)直線過(guò)的點(diǎn)在圓上的點(diǎn)處時(shí)，即，解得，因此，要使直線與圓有公共點(diǎn)，，，綜合以上分析得，，．方法二：【代數(shù)法】令，，原方程可化為：，因?yàn)?/span>，所以，兩邊平方并整理得，，這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，則方程有兩個(gè)非負(fù)數(shù)跟，，解得，，．故答案為：，．22．（2021秋?溧水區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為　　．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則，解得，，，即，，當(dāng)時(shí)，有最大值，即，當(dāng)或時(shí)，有最小值，即，，故答案為：．23．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．【解答】解：關(guān)于的方程有解等價(jià)于有解，等價(jià)于與的圖象有公共點(diǎn)，等價(jià)于，等價(jià)于，其圖象為為圓心2為比較的圓的上半部分，作圖可得當(dāng)平行直線介于兩直線之間時(shí)滿足題意，易得直線的截距為0，設(shè)直線的截距為，由直線與圓相切可得直線到點(diǎn)的距離為2，可得，解得，或（舍去），，解得，故答案為：24．（2015?泰州一模）已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則的取值范圍為　　．【解答】解：實(shí)數(shù)，，滿足，，，令，，，．，表示點(diǎn)與圓上的點(diǎn)連線的直線的斜率．設(shè)直線，則，化為，解得．的取值范圍為．故答案為：．25．（2021?啟東市校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為　4　．【解答】解：，則解得：的最大值為4故答案為：426．（2021秋?浙江月考）設(shè)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，記的最大值為，則的最小值為　　．【解答】解：由去絕對(duì)值可得在，的最大值為，（2），，中之一，由題意可得，，（2），，，，，上面四個(gè)式子相加可得，，即有，可得的最小值為．故答案為：．27．（2021?桐鄉(xiāng)市校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)，時(shí)，記最大值為，則的最小值為　　．【解答】解：方法一：，，設(shè)，，由單調(diào)性可知，當(dāng)，時(shí)，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)．方法二：，令，，令，則，當(dāng)，時(shí)，， 單調(diào)遞增；所以（1），（e），即，；令，則，當(dāng)，時(shí)，， 單調(diào)遞減，所以（1），（e），即，所以，，，，所以①，且②，由①得，所以，由②得，所以，綜上所述，．故答案為：．28．（2021?浙江模擬）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，則的最小值為　5　．【解答】解：令，，，則，，則，由去絕對(duì)值可得在，的最大值為，（2）中之一，由題意可得，，（2），，故，故答案為：5．29．（2021?浙江模擬）已知，，設(shè)函數(shù)，，上的最大值為，則的最小值為　　．【解答】解：，，，，，，，故，，，，故，故，故答案為：．30．（2021?杭州模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，當(dāng)實(shí)數(shù)，變化時(shí)，最小值為　2　，當(dāng)取到最小值時(shí)，　　．【解答】解：，上述函數(shù)可理解為當(dāng)橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)，，與函數(shù)，，圖象上點(diǎn)的縱向距離，則即為函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離的最大值中的最小值，由圖象可知，當(dāng)函數(shù)的圖象剛好為時(shí)，取得最小值為2，此時(shí)，且，即，，故．故答案為：2，．31．（2013秋?吉州區(qū)校級(jí)期中）若方程僅有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　，　．【解答】解：方程等價(jià)于．方程僅有一解，即方程僅有一解，函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)零點(diǎn)．如圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與半圓相切，滿足要求，當(dāng)，時(shí)，直線與半圓相交但只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足要求，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．32．記，，，則的最小值是　　．【解答】解：表示點(diǎn)，，兩點(diǎn)之間距離的平方，點(diǎn)的軌跡方程是，點(diǎn)的軌跡方程是，設(shè)平行于與相切的直線方程為，由，可得，令，可得，，代入，可得，兩點(diǎn)之間距離的最小值是，的最小值是．故答案為：．33．（2021?浙江模擬）已知，，，則的最小值為　　．【解答】解：分別作，的圖象，分別取點(diǎn)，，原式視為兩圖象上各取一點(diǎn)的距離的平方，設(shè)為與的交點(diǎn)，，即．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．故得的最小值為．故答案為：．
 

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