?專題14 指、對、冪形數(shù)的大小比較問題
【命題規(guī)律】
指、對、冪形數(shù)的大小比較問題是高考重點考查的內容之一，也是高考的熱點問題，命題形式主要以選擇題為主．每年高考題都會出現(xiàn)，難度逐年上升．
【核心考點目錄】
核心考點一：直接利用單調性
核心考點二：引入媒介值
核心考點三：含變量問題
核心考點四：構造函數(shù)
核心考點五：數(shù)形結合
核心考點六：特殊值法、估算法
核心考點七：放縮法
核心考點八：不定方程
【真題回歸】
1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則（??????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，故.
故答案為：C.
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構造函數(shù) ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【整體點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數(shù)單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設，則a，b，c的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故選：D.
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：構造函數(shù)
因為當
故，故，所以；
設，
，所以在單調遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因為當，
取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時，
故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設，則，，
，計算得，故選A.
[方法四]：構造函數(shù)
因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮
因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數(shù)，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優(yōu)解．

【方法技巧與總結】
（1）利用函數(shù)與方程的思想，構造函數(shù)，結合導數(shù)研究其單調性或極值，從而確定a，b，c的大小．
（2）指、對、冪大小比較的常用方法：
①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調性；
②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調性比較大?。?br /> ③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調性比較大小；
④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定．
（3）轉化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
【核心考點】
核心考點一：直接利用單調性
【典型例題】
例1．（2023·全國·高三專題練習）已知三個函數(shù)的零點依次為，則的大小關系（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函數(shù)為增函數(shù)，又，
∴，
由，得，即，
∵在單調遞增，
又，
∴，
∴.
故選：D.
例2．（2022春·遼寧大連·高三校聯(lián)考期中）已知，，，，則a，b，c的大小關系正確的為（????）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c
【答案】B
【解析】由題意，故，
由指數(shù)函數(shù)的單調性，單調遞減，故，
由冪函數(shù)的單調性，在單調遞增，故，
綜上：.
故選：B
例3．（2022春·貴州黔東南·高二凱里一中階段練習）設，，，則、、的大小關系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】構造函數(shù)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，
所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，
因為，由零點存在定理可知；
構造函數(shù)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，
所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，
因為，由零點存在定理可知.
因為，則，因此，.
故選：B.
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則正數(shù)，，的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正數(shù)，，的大小關系為.
故選：A
核心考點二：引入媒介值
【典型例題】
例5．（2023·全國·高三專題練習）已知，則a，b，c的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，，，，
由于，， ，而
，，所以，所以．
故選：D．
例6．（2023·全國·高三專題練習）設，則a，b，c的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，
，
所以
故選：A
例7．（2023·全國·高三專題練習）已知，則a，b，c的大小關系是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
所以．
故選：C．
例8．（2022·云南昆明·昆明一中模擬預測）已知，，，則的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
最大，
，，
，
故選：B
例9．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┮阎?，則a，b，c的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
而，且，
所以.
又，
所以，
故選：A.
例10．（2023·全國·高三專題練習）三個數(shù)a＝0.42，b＝log20.3，c＝20.6之間的大小關系是（????）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a＜1，
∵log20.3＜log21＝0，∴b＜0，
∵20.6＞20＝1，∴c＞1，
∴b＜a＜c，
故選：C．
核心考點三：含變量問題
【典型例題】
例11．（2022·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知正數(shù)滿足且成等比數(shù)列，則的大小關系為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，則，
當時，，單調遞增，所以，所以，故，
因為正數(shù)成等比數(shù)列，所以即，故，
所以，故，
綜上所述，，
故選：D
例12．（2022春·湖南岳陽·高三統(tǒng)考階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的大小關系為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】均為正數(shù)，
因為，所以，設，
則，
令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，
即，所以，可得，
又得，綜上，.
故選：D.
例13．（2022春·湖北·高三校聯(lián)考開學考試）已知均為不等于1的正實數(shù)，且，則的大小關系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】且、、均為不等于的正實數(shù)，
則與同號，與同號，從而、、同號.
①若、、，則、、均為負數(shù)，
，可得，，可得，此時；
②若、、，則、、均為正數(shù)，
，可得，，可得，此時.
綜上所述，.
故選：D.
例14．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)a，b，c滿足，則a，b，c的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，由，得，
設，則，
當時，單調遞增，因，
當且僅當時取等號，故，
又，所以，故，
∴，則，即有，故.
故選:C．
例15．（2023·全國·高三專題練習）已知且，，，則a，b，c的大小關系為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】構造函數(shù)，則，，．
因為在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞減.
又因為，所以，且，故.
故選：C．
例16．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考一模）已知，記，則的大小關系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，
所以，
故選：A
核心考點四：構造函數(shù)
【典型例題】
例17．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則a，b，c的大小關系為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】記.
因為，所以當時，，所以在上單調遞增函數(shù)，所以當時，，即，所以.
記.
因為，所以在上單調遞減函數(shù)，所以當時，，即，所以.
所以.
記.
因為，所以當時，，所以在上單調遞增函數(shù)，所以當時，，即，所以.
所以.
綜上所述：.
故選：B
例18．（四川省眉山市2023屆高三第一次診斷性考試數(shù)學（文）試題）設，，，則a，b，c的大小關系是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則，
當，，此時單調遞增，
當，，此時單調遞減，
所以，
所以，即，
所以；
又設，恒成立，
∴當， 單調遞減，
當時，有，則，
所以，
綜上可得．
故選：D．
例19．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）設，，，則的大小關系正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令函數(shù)，，當時，，即在上遞減，
則當時，，即，因此，即；
令函數(shù)，，當時，，則在上單調遞增，
則當時，，即，因此，即，
所以的大小關系正確的是.
故選：B
例20．（2023·全國·高三專題練習）設，，，則a，b，c的大小關系正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，則，
所以在上遞減，所以，即，
設，則，遞增，
則，即，
所以，
令，則，，
當時，，則遞減，又，
所以當時，，遞減，
則，即，
因為，則，
所以，即，
故，
故選：D
例21．（2023·全國·高三專題練習）設，則的大小關系是___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
設，，則，
所以在上單調遞增，
所以，即，所以，
設，，則，
所以在上單調遞增，
所以，即，所以，
設，，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即，所以，
所以
故答案為：.
例22．（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考模擬預測）設，，，則，，的大小關系正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，，，
所以只要比較的大小即可，
令，則，所以在 上遞增，
所以，所以，
所以，即，
令，則，
因為在上為減函數(shù)，且，
所以當時，，
所以在上為減函數(shù)，
因為，，
要比較與的大小，只要比較與的大小，
令，則，
所以在上遞增，所以，
所以當時，，所以，
所以，所以，
所以當時，，
所以在上遞增，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
故選：D
例23．（2022春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）已知，則的大小關系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，則，當時，，
當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，在單調遞減，
所以時，，所以，即，
所以，
又，對任意恒成立.
因此，
故選：.
例24．（2023·全國·高三專題練習）設，，，則的大小關系是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①先比較 ：，，設函數(shù)，
則，得函數(shù)在單調遞減，得函數(shù)在單調遞增 所以 即；
②再比較：由①知，
而 ， 設，
當，，單調遞增，當，，單調遞減，
所以，而，
所以，
故選：A
核心考點五：數(shù)形結合
【典型例題】
例25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c則a，b，c的大小順序為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐標系中畫出、、的圖象，
由圖象知，，.

故選：D
例26．（2023·江蘇·高三專題練習）已知正實數(shù)，，滿足，，，則a，b，c的大小關系為(????)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故令，則，．
易知和均為上的增函數(shù)，故在為增函數(shù)．
∵，故由題可知，，即，則．
易知，，
作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，

則兩圖象交點橫坐標在內，即，
，
．
故選：B．
例27．（2023·全國·高三專題練習）已知，則這三個數(shù)的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則，
由，解得，由，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
因為，
所以，即，
所以，所以，
又遞增，
所以，即；
，
在同一坐標系中作出與的圖象，如圖：

由圖象可知在中恒有，
又，所以，
又在上單調遞增，且
所以，即；
綜上可知：，
故選：A
例28．（2022春·四川內江·高三?？茧A段練習）最近公布的2021年網(wǎng)絡新詞，我們非常熟悉的有“”、“內卷”、“躺平”等．定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“躺平點”．若函數(shù)，的“躺平點”分別為，，則，的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，則，
由題意可得：，
令，則為的零點，
可知在定義域內單調遞增，且，
∴；
又∵，則，
由題意可得：，
令，則為的零點，
，
令，則或，
∴在，內單調遞增，在內單調遞減，
當時，，則在內無零點，
當時，，則，
綜上所述：；
故.
故選：D.
核心考點六：特殊值法、估算法
【典型例題】
例29．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的大小關系為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依題意，，函數(shù)在上單調遞增，而，于是得，即，
函數(shù)在單調遞增，并且有，
則，
于是得，即，則，
又函數(shù)在單調遞增，且，則有，
所以.
故選：C
例30．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由，，可知，
又由，從而，可得，
因為，所以；
因為，從而，即，
由對數(shù)函數(shù)單調性可知，，
綜上所述，.
故選：B.
例31．（2023·全國·高三專題練習）若，，，，則，，這三個數(shù)的大小關系為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為， 所以取，則
，
，
，所以.
故選：C.
核心考點七：放縮法
【典型例題】
例32．（2022·全國·模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分別對，，兩邊取對數(shù)，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故選：D．
例33．（2023·全國·高三專題練習）已知：，，，則、、大小關系為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，則，
當時，，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，
即，
又，
所以，
所以，
又，所以，
，
所以，
所以.
故選：B.
例34．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知實數(shù)滿足，，，則的大小關系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得：，，，即；
，，即；
由得：，
，，即；
綜上所述：.
故選：D.
例35．（2022·全國·高三專題練習）己知，設，則a，b，c的大小關系為_______．（用“”連接）
【答案】
【解析】由得
，
即，
，
又，
，
，
，
，
綜上：．
故答案為：．
核心考點八：不定方程
【典型例題】
例36．（2022·寧夏·銀川一中一模（文））已知實數(shù)a，b，c，滿足，則a，b，c的大小關系為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：設，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，故，
所以，又，
所以，
所以.
故選：C．
例37．（2023·全國·高三專題練習）正實數(shù)滿足，則實數(shù)之間的大小關系為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即，即，與的圖象在只有一個交點，
則在只有一個根，令，
，，，則；
，即，即，由與的圖象在只有一個交點，
則在只有一個根，令，，
，，故；
，即，
即，由與的圖象在只有一個交點，
則在只有一個根，令，，
，，則；

故選：A.

【新題速遞】
一、單選題
1．（2022春·天津和平·高三耀華中學階段練習）已知，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比較，，中的大小，
等價于比較，，中的大小，
∵，由定義域可知，
故，
∵在定義域上單調遞減，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
故，則，
，
，由定義域可知：，
又∵，
∴，則，
，故，
∵，，
∴，
，
.
故選：A.
2．（2022·浙江·模擬預測）已知正數(shù)，，滿足，，，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由解得，
構造函數(shù)，，顯然，
故是減函數(shù)，結合，故時，，
故，，
再令，，，當時，，
故在單調遞增，結合，
故，，
則，
，
所以，，，
故，
由，，都是正數(shù)，故．
故選：D．
3．（2022·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學?？寄M預測）已知正實數(shù)x，y，z滿足，則不正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設，，則，，.
選項A，，，，則，故A正確；
選項B，，，，
下面比較的大小關系，
因為，，，所以，即，又，
所以，即，故B不正確；
選項C，，，，
因為，又，所以，即，故C正確；
選項D，，
因為，所以，
又，所以，故D正確；
故選：B.
4．（2023春·山東濟南·高三統(tǒng)考期中）設方程和的根分別為和，函數(shù)，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方法一：由得，由得，
因為方程的根為，所以函數(shù)與的圖象交點的橫坐標為，
同理：函數(shù)與的圖象交點的橫坐標為，
因為與互為反函數(shù)，所以兩函數(shù)圖象關于對稱，
易知直線與直線互相垂直，所以兩點關于直線對稱，
即的中點一定落在，亦即點為與的交點，
聯(lián)立，解得，即，
所以，
故，則，
令，得；令，得；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
而，，，
則，，
令，則，
所以在上單調遞增，
所以，即，故，
令，則，
令，得，所以在上單調遞增，
所以，
則，故，
綜上：.
故選：B.
方法二：前面部分同方法一得，，則，
令，得；令，得；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，
而，，，
因為，當且僅當時取等號，所以，
當時，，所以，即，下面比較的大小關系，
設，，
所以，
故在上遞增，，即有，亦即，綜上：.
故選：B.
5．（2023春·福建寧德·高三校考階段練習）已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題可得：，
令，則，
當時，，又，
則，即，故在單調遞增，，
則當時，，即，；
令，則，
當時，，又，
則，即，故在單調遞減，，
故當時，，即，；
綜上所述，.
故選：A.
6．（2023·江蘇·高三專題練習）已知正實數(shù)，，滿足，，，則a，b，c的大小關系為(????)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故令，則，．
易知和均為上的增函數(shù)，故在為增函數(shù)．
∵，故由題可知，，即，則．
易知，，
作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，

則兩圖象交點橫坐標在內，即，
，
．
故選：B．
7．（2023·全國·高三專題練習）已知，且滿足，則下列正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，
所以，或，
∴(舍去)，或，即，故A錯誤；
又，故，
∴，對于函數(shù)，
則，函數(shù)單調遞增，
∴，故D錯誤；
∵，，
∴，
令，則，
∴函數(shù)單調遞增，
∴，即，
∴，即，故B正確；
∵，
∴函數(shù)單調遞增，故函數(shù)單調遞增，
∴，即，故C錯誤.
故選：B.
8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的零點為a，函數(shù)的零點為b，則下列不等式中成立的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，，
因為與關于直線對稱，
在同一坐標系下，畫出，，，的圖象，
如圖所示：

則，，，關于對稱.
所以，，故B錯誤.
因為，，，所以，故A錯誤.
因為，，在上為增函數(shù)，
，，所以.
又因為點在直線上，且，所以.
，故C正確.
因為，所以，
設，，在為增函數(shù).
所以，
即，，故D錯誤.
故選：C
9．（2023·全國·高三專題練習）在給出的①；②；③．三個不等式中，正確的個數(shù)為（????）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【解析】①令，則，，
所以，在上，即遞減，而，
所以，即，故，正確；
②令，則，
又，在上，則遞增，
所以，在上，即，則遞減，
所以，正確；
③，而遞增，故，錯誤.
故選：C
10．（2023·全國·高三專題練習）設，，，則下列選項正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，則，令，解得，
故當時，單調遞減，故，即，
則.
令，則，
故當時，單調遞增，時，單調遞減，
則，即.

，故；

，故；
綜上所述：.
故選：D.
11．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則a，b，c的大小關系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先比較，易知,故，即
又，故時，時
故， 而，故，有
故選：A
12．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)a，b滿足，，則下列判斷正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，所以；
由且，所以，所以，
令，，令，則，
則，等價于，；
又，
所以當時，，故，所以.
故選：D.
13．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
所以；
令，，
所以在上單調遞增，
因為，所以，即，
所以，
所以；
同理，所以，即，也即，
所以，
所以.
綜上，，
故選：D.
14．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解析：因為，所以；
又
構造，
則
因為， ，
由于函數(shù) 的分母為正數(shù)，此時只需要判斷分子的符號，
設
則在R上遞增，，即當 時， 的分子總是正數(shù)，
，
，即，
應用排除法，
故選：B.
15．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對，，取對數(shù)得：，，，
令()，，
令，，即在上單調遞增，
由得，，于是得，又，
因此，，即在上單調遞增，從而得，
即，，所以.
故選：B
16．（2023·全國·高三專題練習）設，，．則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比較與的大小關系.
記，則，，
由于
所以當0

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