?人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和
一．選擇題（共6小題）
1．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4+a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a4+a5＝11，則S8＝（　?。?br /> A．36． B．40 C．44 D．47
3．已知等差數(shù)列{an}的前n（n∈N*）項(xiàng)和為Sn，若Sn＝3875，S9＝144，an﹣4＝139，則n的值為（　?。?br /> A．60 B．55 C．50 D．45
4．我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（　?。?br /> A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝2，a1+a4＝5，則S6＝（　?。?br /> A．10 B．9 C．8 D．7
6．若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S4＝4，S6＝12，則S2＝（　?。?br /> A．﹣1 B．0 C．1 D．3
二．填空題（共14小題）
7．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2a4﹣a2＝6，則S11的值＝　 ?。?br /> 8．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n﹣28，則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，正整數(shù)n的值是　 ?。?br /> 9．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S9＝18，a11＝30，則S15＝　 　．
10．在等差數(shù)列{an}中，前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為30，且a1﹣am＝12，則{an}的通項(xiàng)公式為an＝　 ?。?br /> 11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若3a5﹣a1＝10，則S13＝　 ?。?br /> 12．各項(xiàng)不全為0的等差數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn.若S100＝S104，Sk＝S106，k+S204＝　 ?。?br /> 13．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an+1+an＝3n+2，則S31＝　 ?。?br /> 14．已知集合A＝{k+1，k+2，……，k+n}，k，n為正整數(shù)，若集合A中所有元素之和為2019，則當(dāng)n取最大值時(shí)，集合A＝　 ?。?br /> 15．已知等差數(shù)列{an}，a4+a6＝10，前5項(xiàng)的和S5＝5，則其公差為　 　．
16．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝6，若a1，a3，a7成等比數(shù)列，則S8的值為　 ?。?br /> 17．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝n2﹣2n（n∈N*），則a9＝　 　，通項(xiàng)公式an＝　 ?。?br /> 18．已知等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0．S3＝S8，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值等于　 ?。?br /> 19．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＝6，a4+a6＝4，則S5＝　 　．
20．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若S4＝8．S8＝4，則S12＝　 ?。籗6＝　 ?。?br /> 三．解答題（共2小題）
21．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，求S20的值．
22．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)，且第6項(xiàng)為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)．求此數(shù)列的公差d及前n項(xiàng)和Sn

人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題）
1．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4+a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差為d，運(yùn)用求和和通項(xiàng)公式可得答案．
【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4+a5＝24，S6＝48，
則有a1+3d+a1+4d=246a1+6×52d=48，
解得a1＝﹣2，d＝4，
則{an}的公差為4；
故選：D．
2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a4+a5＝11，則S8＝（　　）
A．36． B．40 C．44 D．47
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知S8=82（a1+a8）=82（a4+a5），從而求出S8的值．
【解答】解：由{an}是等差數(shù)列，
得S8=82（a1+a8）=82（a4+a5）＝4×11＝44．
故選：C．
3．已知等差數(shù)列{an}的前n（n∈N*）項(xiàng)和為Sn，若Sn＝3875，S9＝144，an﹣4＝139，則n的值為（　　）
A．60 B．55 C．50 D．45
【分析】由題意列出方程組，解得即可．
【解答】解：由題意可得Sn=na1+n(n?1)d2=3875S9=9a1+9×8d2=144an?4=a1+(n?5)d=139，
解得n＝50，a1＝4，d＝3，
故選：C．
4．我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（　?。?br /> A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
【分析】由每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列{an}，a1＝4，a5＝2，利用求和公式即可得出．
【解答】解：由每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列{an}，a1＝4，a5＝2，
∴該金錘共重5×(4+2)2=15斤．
故選：D．
5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝2，a1+a4＝5，則S6＝（　?。?br /> A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】先求出公差，再根據(jù)求和公式即可求出．
【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝2，a1+a4＝5，
∴a3﹣2d+a3+d＝5，
∴4﹣d＝5，
解得d＝﹣1，
∴a1＝2+2＝4，a6＝a1+5d＝4﹣5＝﹣1，
∴S6=6(a1+a6)2=6×(4?1)2=9，
故選：B．
6．若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S4＝4，S6＝12，則S2＝（　?。?br /> A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差數(shù)列，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S4＝4，S6＝12，
S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差數(shù)列，
∴2（S4﹣S2）＝S2+（S6﹣S4），
即2（4﹣S2）＝S2+8，
解得S2＝0．
故選：B．
二．填空題（共14小題）
7．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2a4﹣a2＝6，則S11的值＝　66?。?br /> 【分析】2a4﹣a2＝a1+5d＝a6，再將S11轉(zhuǎn)化為關(guān)于a6的算式即可．
【解答】解：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，2a4﹣a2＝6，所以2a4﹣a2＝a1+5d＝a6＝6，
所以S11=a1+a112×11=2a62×11=6×11＝66，
故填：66．
8．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n﹣28，則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，正整數(shù)n的值是　9?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的通項(xiàng)公式分析可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則當(dāng)n≤9時(shí)，an＝3n﹣28＜0，當(dāng)n≥10時(shí)，an＝3n﹣28＞0，據(jù)此分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n﹣28，則an﹣1＝3（n﹣1）﹣28，
則有an﹣an﹣1＝3，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
則當(dāng)n≤9時(shí)，an＝3n﹣28＜0，
當(dāng)n≥10時(shí)，an＝3n﹣28＞0，
故當(dāng)n＝9時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取最小值，
故答案為：9
9．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S9＝18，a11＝30，則S15＝　240?。?br /> 【分析】利用等差數(shù)列的求和公式，通項(xiàng)公式化簡已知，可求等差數(shù)列首項(xiàng)a1和公差d的值，利用等差數(shù)列的求和公式即可求解．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，S9=9(a1+a9)2=9a5＝18，
解得a5＝a1+4d＝2，①
又a11＝a1+10d＝30，②
所以聯(lián)立①②，可得d=143，a1=?503，
所以S15＝15×（?503）+15×142×143=240．
故答案為：240．
10．在等差數(shù)列{an}中，前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為30，且a1﹣am＝12，則{an}的通項(xiàng)公式為an＝　18﹣2n，n∈N*?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，分析可得(a2+am?1)×m?122=30和(a1+am)×m+122=40，兩式相比可得m+1m?1=43，解可得m的值，又由a1﹣am＝12，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解可得d的值，又由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S7=(a1+a7)×72=70，變形可得a1+a7＝2a1+6d＝20，解可得a1的值，據(jù)此分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，設(shè)其公差為d，
在前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）中，有m?12個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，m+12個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，
若其中偶數(shù)項(xiàng)之和為30，即(a2+am?1)×m?122=30，①
則其中奇數(shù)項(xiàng)的和為70﹣30＝40，即(a1+am)×m+122=40，②
②①可得：m+1m?1=43，解可得m＝7；
又由a1﹣am＝12，即a1﹣a7＝﹣6d＝12，解可得d＝﹣2，
等差數(shù)列{an}中，前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）和為70，即前7項(xiàng)和為70，
則S7=(a1+a7)×72=70，變形可得a1+a7＝2a1+6d＝20，解可得a1＝16，
則an＝a1+（n﹣1）d＝16﹣2（n﹣1）＝18﹣2n；
故答案為：18﹣2n，n∈N*．
11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若3a5﹣a1＝10，則S13＝　65?。?br /> 【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出2a7＝10，由此能求出S13的值．
【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，3a5﹣a1＝10，
∴3（a1+4d）﹣a1＝2a1+12d＝2a7＝10，
∴S13=132(a1+a13)=132×2a7=132×10=65．
故答案為：65．
12．各項(xiàng)不全為0的等差數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn.若S100＝S104，Sk＝S106，k+S204＝　98?。?br /> 【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和Sn可看成關(guān)于n的二次函數(shù)，以及對(duì)稱性即可求解．
【解答】解：∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和Sn可看成關(guān)于n的二次函數(shù)且無常數(shù)項(xiàng)，
則由二次函數(shù)的對(duì)稱性及S100＝S104，Sk＝S106，
得100+1042=k+1062=0+2042，∴k＝98，S204＝0，
∴k+S204＝98+0＝98．
故答案為：98．
13．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an+1+an＝3n+2，則S31＝　751?。?br /> 【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．
【解答】解：因?yàn)閍1＝1，an+1+an＝3n+2，
則S31＝a1+a2+…+a31＝1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a30+a31），
＝1+8+14+…+92，
＝751．
故答案為：751．
14．已知集合A＝{k+1，k+2，……，k+n}，k，n為正整數(shù)，若集合A中所有元素之和為2019，則當(dāng)n取最大值時(shí)，集合A＝　{334，335，336，337，338，339}　．
【分析】由題意利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分類討論n，得出結(jié)論．
【解答】解：∵集合A＝{k+1，k+2，……，k+n}，k，n為正整數(shù)，
∴A中共有n個(gè)正整數(shù)，且這n個(gè)正整數(shù)從小到大排列，構(gòu)成以k+1為首項(xiàng)，以1位公差的等差數(shù)列．
若集合A中所有元素之和為 n（k+1）+n(n?1)2=2k+n+12?n=2019＝3×673，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2m，m為正整數(shù)，（2k+2m+1）?m＝3×673，
∴m＝3，2k+2m+1＝673，
即 m＝3，n＝6，k＝333．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2m+1′，m為正整數(shù)，（k+m+1）?（2m+1）＝3×673，
∴2m+1＝3，k+m+1＝673，
即 m＝1，n＝3，k＝671．
故n的最大值為6，此時(shí)，A＝{334，335，336，337，338，339}．
15．已知等差數(shù)列{an}，a4+a6＝10，前5項(xiàng)的和S5＝5，則其公差為　2?。?br /> 【分析】設(shè)公差為d，由題意可得 2a1+8d＝10，5a1+5×42d=5，解方程組求得d的值．
【解答】解：∵等差數(shù)列{an}，a4+a6＝10，前5項(xiàng)的和S5＝5，設(shè)公差為d．
由題意可得 2a1+8d＝10，5a1+5×42d=5，
解方程組求得d＝2，
故答案為 2．
16．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝6，若a1，a3，a7成等比數(shù)列，則S8的值為　88?。?br /> 【分析】設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝6，a1，a3，a7成等比數(shù)列，可得a1+d＝6，a32=a1a7，即(a1+2d)2=a1(a1+6d)，d≠0．解出再利用求和公式即可得出．
【解答】解：設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2＝6，a1，a3，a7成等比數(shù)列，
∴a1+d＝6，a32=a1a7，即(a1+2d)2=a1(a1+6d)，d≠0．
解得a1＝4，d＝2．
則S8=8×4+8×72×2=88．
故答案為：88．
17．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝n2﹣2n（n∈N*），則a9＝　15　，通項(xiàng)公式an＝　2n﹣3?。?br /> 【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的項(xiàng)與通項(xiàng)公式即可．
【解答】解：Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝n2﹣2n（n∈N*），則a9＝S9﹣S8＝92﹣2×9﹣（82﹣2×8）＝15．
通項(xiàng)公式an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣2n﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]＝2n﹣3．
故答案為：15；2n﹣3．
18．已知等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0．S3＝S8，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值等于　5或6?。?br /> 【分析】由等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0．S3＝S8，推導(dǎo)出a1＝﹣5d，d＜0，從而Sn=na1+n(n?1)2d=?5nd+n22d?n2d=d2（n?112）2?121d8，由此能求出當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值．
【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0．S3＝S8，
∴3a1+3×22d=8a1+8×72d，且a1＞0，
∴a1＝﹣5d，d＜0，
∴Sn=na1+n(n?1)2d=?5nd+n22d?n2d=d2（n?112）2?121d8，
∴當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n＝5或n＝6．
故答案為：5或6．
19．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＝6，a4+a6＝4，則S5＝　20?。?br /> 【分析】設(shè){an}是等差數(shù)列的公差為d，由a1＝6，a4+a6＝4，可得2×6+8d＝4，解得d，再利用求和公式即可得出．
【解答】解：設(shè){an}是等差數(shù)列的公差為d，∵a1＝6，a4+a6＝4，
∴2×6+8d＝4，解得d＝﹣1．
則S5＝6×5?5×42=20．
故答案為：20．
20．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若S4＝8．S8＝4，則S12＝　﹣12　；S6＝　152　．
【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S4＝8．S8＝4，可得4a1+4×32d＝8，8a1+8×72d＝4，聯(lián)立解得：a1，d，利用求和公式即可得出．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S4＝8．S8＝4，
∴4a1+4×32d＝8，8a1+8×72d＝4，
聯(lián)立解得：a1=258，d=?34，
則S12＝12×258+12×112×(?34)=?12，
S6＝6×258+6×52×(?34)=152．
故答案為：﹣12，152．
三．解答題（共2小題）
21．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，求S20的值．
【分析】（Ⅰ）由a1，a3，a4成等比數(shù)列，可得a32=a1a4．可得(a1+2d)2=a1(a1+3d)，進(jìn)而得出．
（II）利用求和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閍1，a3，a4成等比數(shù)列，所以a32=a1a4．…………………（2分）
所以(a1+2d)2=a1(a1+3d)，…………………（4分）
又{an}的公差為2，所以(a1+4)2=a1(a1+6)，
解得a1＝﹣8．…………………（7分）
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣10．…………………（9分）
（Ⅱ）S20=202(a1+a20)???????（11分）
＝10（a1+a1+19d）＝10（﹣16+19×2）＝220．…………………（13分）
所以，S20的值為220．
22．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)，且第6項(xiàng)為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)．求此數(shù)列的公差d及前n項(xiàng)和Sn
【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a7=23+6d＜0a6=23+5d＞0，解可得d的取值范圍，又由公差為整數(shù)即可得d的值，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d∈Z；
又由{an}的首項(xiàng)為23，第6項(xiàng)為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則有a7=23+6d＜0a6=23+5d＞0，
解可得：?235＜d＜?236，又由公差為整數(shù)，
則d＝﹣4，
則an＝a1+（n﹣1）d＝﹣4n+27，
則Sn=(a1+an)×n2=25n﹣2n2．

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