?第2講　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
最新考綱
考向預(yù)測(cè)
1.通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.
2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.
3.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.
4.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系．
命題趨勢(shì)
等差數(shù)列的基本運(yùn)算、基本性質(zhì)，等差數(shù)列的證明是考查的熱點(diǎn)．本講內(nèi)容在高考中既可以以選擇、填空的形式進(jìn)行考查，也可以以解答題的形式進(jìn)行考查．解答題往往與數(shù)列的計(jì)算、證明、等比數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問(wèn)題綜合考查，難度中低檔.
核心素養(yǎng)
數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理


1．等差數(shù)列與等差中項(xiàng)
(1)等差數(shù)列的定義：
①文字語(yǔ)言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；
②符號(hào)語(yǔ)言：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．
(2)等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋d＝．
3．等差數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}的公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d．
(4)若{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．
(5)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．
常用結(jié)論
1．等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
(1)通項(xiàng)公式：當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差d.若公差d＞0，則為遞增數(shù)列，若公差d＜0，則為遞減數(shù)列．
(2)前n項(xiàng)和：當(dāng)公差d≠0時(shí)，Sn＝na1＋d＝n2＋n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.
2．兩個(gè)常用結(jié)論
(1)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)
①若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，＝；
②若項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
(2)兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為＝.
常見(jiàn)誤區(qū)
1．當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)；當(dāng)公差d＝0時(shí)，an為常數(shù)．
2．注意利用“an－an－1＝d”時(shí)加上條件“n≥2”．

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　)
(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．(　　)
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．(　　)
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(5)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　)
(6)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
2．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a2＝2，S4＝14，則S6等于(　　)
A．32　　　　　　　　　 B．39
C．42 D．45
解析：選B.設(shè)公差為d，由題意得
解得所以S6＝6a1＋d＝39.
3．已知{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，則n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選C.因?yàn)閐＝＝2，Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(負(fù)值舍去)．故選C.
4．(易錯(cuò)題)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．
解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1＋，所以{an}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，則an＝1＋(n－1)×＝n＋.
答案：an＝n＋
5．(2020·高考全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝____________．
解析：通解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
答案：25


等差數(shù)列的基本運(yùn)算
(1)(一題多解)(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　)
A．a(chǎn)n＝2n－5　　　　　 B．a(chǎn)n＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
(2)(2020·河南部分重點(diǎn)高中聯(lián)考)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若3S5－5S3＝135，則數(shù)列{an}的公差d＝________．
【解析】　(1)方法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因?yàn)樗越獾盟詀n＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A.
方法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因?yàn)樗越獾?br /> 選項(xiàng)A，a1＝2×1－5＝－3；
選項(xiàng)B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；
選項(xiàng)C，S1＝2－8＝－6，排除C；
選項(xiàng)D，S1＝－2＝－，排除D.故選A.
(2)因?yàn)?S5－5S3＝135，所以3－
5＝135，所以15d＝135，解得d＝9.
【答案】　(1)A　(2)9

等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．
(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．　

1．(2020·六校聯(lián)盟第二次聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，則a10＝(　　)
A．18　　　　　　　　　 B．16
C．14 D．12
解析：選C.設(shè){an}的公差為d，由可得解得所以a10＝－4＋9×2＝14，選C.
2．(2020·合肥第一次教學(xué)檢測(cè))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S4＝4S2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1，
又a1＝1，所以d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．
(2)am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化為10am＋45d＝20m＋80＝180.
解得m＝5.

等差數(shù)列的判定與證明
已知數(shù)列{an}中，a1＝，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＝(n≥2)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解】　(1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－Sn－1＝.
整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.
兩邊同時(shí)除以SnSn－1，得－＝2.
又＝＝4，所以是以4為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以Sn＝.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝，不適合上式．
所以an＝
【引申探究】　(變條件)本例的條件變?yōu)椋篴1＝，Sn＝(n≥2)，證明是等差數(shù)列．
證明：因?yàn)镾n＝，所以2Sn－1Sn＋Sn＝Sn－1，即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，故－＝2(n≥2)，
又＝＝4，因此數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．

等差數(shù)列的判定與證明方法

[注意]在解答題中證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，只能用定義法．　

1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，則S7等于(　　)
A．13 B．49
C．35 D．63
解析：選B.由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，依題意得，d＝＝＝2，則an＝a2＋(n－2)d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49.
2．?dāng)?shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＝－6，a6＝6，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則(　　)
A．S4＜S3 B．S4＝S3
C．S4＞S1 D．S4＝S1
解析：選B.數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因?yàn)閍2＝－6，a6＝6，
所以4d＝a6－a2＝12，即d＝3.
所以an＝－6＋3(n－2)＝3n－12，
所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，
所以S4＜S1，S3＝S4.
故選B.

等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
角度一　等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
(1)在等差數(shù)列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．－3
C．－6 D．2
(2)(多選)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．d＜0
B．a(chǎn)7＝0
C．S9＞S5
D．S6與S7均為Sn的最大值
【解析】　(1)因?yàn)閍2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a2＋a14＝2a8＝－6，所以a8＝－3，則＝，故選A.
(2)S6＝S5＋a6＞S5，則a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，則a7＝0，則d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.則a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．從而ABD均正確．
【答案】　(1)A　(2)ABD

如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am＝(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．　
角度二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
(1)已知等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為30，它的前30項(xiàng)和為210，則前20項(xiàng)和為(　　)
A．100 B．120
C．390 D．540
(2)(2020·山東菏澤一中月考)已知等差數(shù)列{an}的公差為4，其項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為55，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
【解析】　(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為30，前30項(xiàng)和為210，
所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，前n項(xiàng)和為Sn，因?yàn)閐＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝d＝2n＝40，所以n＝20，即這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20.故選B.
【答案】　(1)A　(2)B

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an；
(3)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．　
角度三　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
(一題多解)(2020·廣東省七校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時(shí)n的值為(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】　方法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得，解得所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值時(shí)n的值是8，故選D.
方法二：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得，解得則Sn＝15n＋×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以當(dāng)n＝8時(shí)，Sn取得最大值，故選D.
【答案】　D

求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值的方法
　

1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝20，則S9＝(　　)
A．27 B．36
C．45 D．54
解析：選B.依題意a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝20，a5＝4，所以S9＝×9＝9a5＝36.
2．(2020·成都市診斷性檢測(cè))設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5＝3a3，則＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：選D.＝＝＝＝×3＝.
3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，則滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為(　　)
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：選C.因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中a1＞0，a6a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，所以S12＞0，S13＜0，所以滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為12.

[A級(jí)　基礎(chǔ)練]
1．若等差數(shù)列{an}的公差為d，則數(shù)列{a2n－1}是(　　)
A．公差為d的等差數(shù)列
B．公差為2d的等差數(shù)列
C．公差為nd的等差數(shù)列
D．非等差數(shù)列
解析：選B.數(shù)列{a2n－1}其實(shí)就是a1，a3，a5，a7，…，奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，它們之間相差2d.
2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，2＋a5＝a6＋a3，則S7＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　　　 B．7
C．14 D．28
解析：選C.因?yàn)?＋a5＝a6＋a3，所以2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d.解得a4＝2，所以S7＝＝7a4＝14.
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，若ak·ak＋1

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