考點(diǎn)規(guī)范練26　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、基礎(chǔ)鞏固1.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a2+a8=6,則S9等于(　　)A. B.27 C.54 D.1082.已知等差數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為30,前8項(xiàng)和為100,則它的前12項(xiàng)和為(　　)A.110 B.200 C.210 D.2603.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則使得Sn最大的n是(　　)A.18 B.19 C.20 D.214.(多選)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí),a3+a8+a13是一個(gè)定值,則下列各選項(xiàng)中也一定為定值的有(　　)A.a7 B.a8 C.S15 D.S165.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n等于(　　)A.5 B.6 C.7 D.86.(多選)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S5<S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論正確的是(　　)A.d>0B.a7=0C.S9>S5D.S6與S7均為Sn的最大值7.已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)依次是-1,a-1,1,則a=　　　　　;通項(xiàng)an=　　　　　　. 8.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1≠0,a2=3a1,則=　　　　　. 9.已知數(shù)列{an}滿足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=.(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.      二、綜合應(yīng)用10.(多選)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1+5a3=S8,則下列結(jié)論一定正確的是(　　)A.a10=0B.當(dāng)n=9或10時(shí),Sn取最大值C.|a9|<|a11|D.S6=S1311.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S20>0,S21<0,則,…,中最大的項(xiàng)為(　　)A. B. C. D.12.(2020山東,14)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為　　　　　　　　　. 13.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a3a4=117,a2+a5=22.(1)求an;(2)求Sn的最小值;(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=,求非零常數(shù)c.      三、探究創(chuàng)新14.下表數(shù)陣的特點(diǎn)是每行、每列都成等差數(shù)列,記第i行第j列的數(shù)為aij,則(1)ann=　　　　　(n∈N*); (2)表中的數(shù)52共出現(xiàn)　　　　　次. 234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137…………………… 15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿足a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求同時(shí)滿足下列條件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能夠被5整除.
考點(diǎn)規(guī)范練26　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.B　S9==27.2.C　設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.由于在等差數(shù)列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列,又S4=30,S8=100,所以30,70,S12-100成等差數(shù)列,即2×70=30+S12-100,解得S12=210.3.C　根據(jù)題意可知,由a1+a3+a5=105,得a3=35,由a2+a4+a6=99,得a4=33,則等差數(shù)列{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當(dāng)Sn取得最大值時(shí),n=20.4.BC　由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a3+a8+a13=3a8為定值,則a8為定值,S15==15a8為定值,但S16==8(a8+a9)不一定為定值.5.D　(方法一)由題知Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,故n=8.(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.BD　根據(jù)題意,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由于S6=S7,則S7-S6=a7=0,故B選項(xiàng)正確;由S5<S6,得S6-S5=a6>0,則d=a7-a6<0,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;若S9>S5,則a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,又由a7=0,且d<0,得a8<0,即a7+a8<0,矛盾,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)?/span>S5<S6,S6=S7>S8,所以S6與S7均為Sn的最大值,故D選項(xiàng)正確.7.1　n-2　因?yàn)?/span>-1,a-1,1構(gòu)成等差數(shù)列,所以2(a-1)=-1+1=0,解得a=1.因?yàn)槭醉?xiàng)a1=-1,公差d=1,所以an=n-2.8.4　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.=4.9.(1)證明 由題意可知,an≠1.由,得bn+1-bn=,故{bn}是公差d=的等差數(shù)列.(2)解 由(1)及b1==1,得bn=n+,即an-1=,故an=10.AD　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由于a1+5a3=S8,則a1+5a1+10d=8a1+,得a1+9d=0,即a10=0,故A正確;由于a1+9d=0,當(dāng)d>0時(shí),a1<0,則Sn有最小值,故B錯(cuò)誤;因?yàn)?/span>|a9|=|a10-d|=|d|,|a11|=|a10+d|=|d|,所以|a9|=|a11|,故C錯(cuò)誤;由于S6=6a1+=-54d+15d=-39d,S13=13a1+=-117d+78d=-39d,故D正確.11.A　由題意可得等差數(shù)列{an}的公差d<0,因?yàn)?/span>S20==10(a1+a20)>0,所以a1+a20>0,則a10+a11>0.同理由S21<0可得a1+a21<0,即a11<0,得a10>0.當(dāng)n≤10時(shí),S10最大,而a10最小,故的值最大.12.3n2-2n　數(shù)列{2n-1}的項(xiàng)均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù),所有偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項(xiàng)就是{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng),這些項(xiàng)從小到大排列時(shí)的新數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng),以6為公差的等差數(shù)列.所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n×1+6=3n2-2n.13.解 (1)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴a3+a4=a2+a5=22.又a3a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,解得∴an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,則Sn=na1+d=2n2-n=2故當(dāng)n=1時(shí),Sn最小,最小值為S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,即bn=,則b1=,b2=,b3=∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,∴2b2=b1+b3,即2=,∴2c2+c=0,∴c=-或c=0(舍去).14.(1)n2+1　(2)4　(1)根據(jù)題意得,第i行的等差數(shù)列的公差為i,第j列等差數(shù)列的公差為j,所以第一行數(shù)組的數(shù)列a1j是以2為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列,可得a1j=2+(j-1)×1=j+1,又因?yàn)榈?/span>j列數(shù)組成的數(shù)列aij是以a1j為首項(xiàng),公差為j的等差數(shù)列,所以aij=a1j+(i-1)j=(j+1)+(i-1)×j=ij+1.因?yàn)?/span>aij=ij+1,所以ann=n×n+1=n2+1;(2)由于aij=ij+1=52,則ij=51,得i=1且j=51或i=51且j=1或i=3且j=17或i=17且j=3,故表中的數(shù)52出現(xiàn)了4次.15.解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列,解得∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.(2)∵n同時(shí)滿足①20≤n≤116;②n能夠被5整除,∴滿足條件的n組成等差數(shù)列{bn},且b1=20,公差為d=5,bn=115,∴項(xiàng)數(shù)為+1=20.∴數(shù)列{bn}的所有項(xiàng)的和為S20=20×20+20×19×5=1 350.又an=2n,即an=2bn,∴滿足條件的所有an的和為2S20=2×1 350=2 700. 

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