初中數(shù)學人教版八年級上冊14.2 乘法公式綜合與測試教案設計

這是一份初中數(shù)學人教版八年級上冊14.2 乘法公式綜合與測試教案設計，共9頁。教案主要包含了基本目標，重難點目標等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?14．2　乘法公式
14．2.1　平方差公式(第1課時)

一、基本目標
【知識與技能】
掌握平方差公式，會用平方差公式進行簡單計算．
【過程與方法】
經(jīng)歷探索特殊形式的多項式乘法的過程，發(fā)展學生的符號感和推理能力，使學生逐漸掌握平方差公式．
【情感態(tài)度與價值觀】
通過合作學習，體會在解決具體問題過程中與他人合作的重合性，體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受數(shù)學知識的實際價值．
二、重難點目標
【教學重點】
平方差公式．
【教學難點】
理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應用平方差公式．

環(huán)節(jié)1　自學提綱，生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P107～P108的內(nèi)容，完成下面練習．
【3 min反饋】
1．根據(jù)條件列代數(shù)式：
(1)a、b兩數(shù)的平方差可以表示為a2－b2；
(2)a、b兩數(shù)差的平方可以表示為(a－b)2.
2．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.
觀察以上算式及其運算結(jié)果填空：上面三個算式中的每個因式都是多項式；等式的左邊都是兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的乘積，等式的右邊是這兩個數(shù)的平方的差.
(2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.也就是說，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．
3．已知a＋b＝10，a－b＝8，則a2－b2＝80.
4．計算(3－x)(3＋x)的結(jié)果是9－x2.
環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題
活動1　小組討論(師生互學)
【例1】運用平方差公式計算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
【互動探索】(引發(fā)學生思考)觀察各式子的特點，確定用什么公式計算？
【解答】(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)運用平方差公式計算時，要注意以下幾點：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式．
【例2】計算：100×99.
【互動探索】(引發(fā)學生思考)觀察式子特點，直接計算比較難，將原式轉(zhuǎn)化為，用平方差公式計算．
【解答】原式＝＝10 000－＝9999.
【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)可將兩個因數(shù)寫成相同的兩個數(shù)的和與差，形成平方差公式結(jié)構(gòu)．
活動2　鞏固練習(學生獨學)
1．下列運算中，可用平方差公式計算的是(　C　)
A．(x＋y)(x＋y)　 B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)　 D．(x＋y)(－x－y)
2．如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一個梯形(如圖2)，利用這兩幅圖形的面積，可以驗證的乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

3．長方形的長為(2a＋3b)，寬為(2a－3b)，則長方形的面積為4a2－9b2.
4．若(m＋3x)(m－3x)＝16－nx2，則mn的值為±36.
5．計算：
(1)；
(2)；
(3)(2a－3b)(2a＋3b)(4a2＋9b2)(16a4＋81b4)．
解：(1)x2－y2.　(2)0.49a4b2－x2.　(3)256a8－6561b8.
6．運用平方差公式簡算：
(1)20×19；　(2)13.2×12.8.
解：(1)原式＝×＝400－＝399.
(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
活動3　拓展延伸(學生對學)
【例3】對于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍數(shù)嗎？
【互動探索】要判斷整式是否為10的倍數(shù)→需化簡代數(shù)式→化簡結(jié)果是否是10的倍數(shù)→做出判斷．
【解答】原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)．
∵n為正整數(shù)，
∴(n－1)(n＋1)為整數(shù)，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍數(shù)．
【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)平方差公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式，在探究整除性或倍數(shù)問題時，要注意這方面的問題．
環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當堂達標
(學生總結(jié)，老師點評)
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

請完成本課時對應練習！
14．2.2　完全平方公式
第2課時　完全平方公式

一、基本目標
【知識與技能】
1．掌握完全平方公式及其結(jié)構(gòu)特征．
2．會用完全平方公式進行簡單計算．
【過程與方法】
利用多項式與多項式的乘法以及冪的意義，推導出完全平方公式，感受乘法公式從一般到特殊的認知過程，拓展思維空間．
【情感態(tài)度與價值觀】
培養(yǎng)學生觀察、類比、發(fā)現(xiàn)的能力，體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性．
二、重難點目標
【教學重點】
完全平方公式及其結(jié)構(gòu)特征．
【教學難點】
靈活應用完全平方公式進行計算．

環(huán)節(jié)1　自學提綱，生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P109～P110的內(nèi)容，完成下面練習．
【3 min反饋】
1．按要求列代數(shù)式：
(1)a、b兩數(shù)和的平方可以表示為(a＋b)2；
(2)a、b兩數(shù)平方的和可以表示為a2＋b2.
2．計算下列各式：
(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；
(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；
(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.
3．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.也就是說，兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.
4．我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式．如圖1可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通過圖2面積的計算，驗證了一個恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題
活動1　小組討論(師生互學)
【例1】運用完全平方公式計算：
(1)(5－a)2；　　　　(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2; (4)(a＋b＋c)2.
【互動探索】(引發(fā)學生思考)觀察式子的特點，怎樣運用完全平方公式進行計算？
【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.
(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.
(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.
【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧記為“首平方，尾平方，積的2倍在中央，符號確定看前方”．
【例2】計算：(1)9982；　(2)(2)20182－2018×4034＋20172.
【互動探索】(引發(fā)學生思考)(1)直接計算9982比較復雜，考慮將998轉(zhuǎn)化為1000－2，再利用完全平方公式計算．(2)逆用完全平方公式即可．
【解答】(1)原式＝(1000－2)2＝1 000 000－4000＋4＝996 004.
(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172＝(2018－2017)2＝1.
【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)(1)中可將該式變形為(1000－2)2，再運用完全平方公式可簡便運算．
活動2　鞏固練習(學生獨學)
1．運算結(jié)果是x4y2－2x2y＋1的是(　C　)
A．(－1＋x2y2)2　 B．(1＋x2y2)2
C．(－1＋x2y)2　 D．(－1－x2y)2
2．若|a－b|＝1，則b2－2ab＋a2的值為(　A　)
A．1　 B．－1
C．±1　 D．無法確定
3．下列關于962的計算方法正確的是(　D　)
A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984
B．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024
C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136
D．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216
4．運用完全平方公式計算：
(1)(－3a＋2b)2；　　　(2)(a＋2b－1)2；
(3)50.012; (4)49.92.
解：(1)4b2－12ab＋9a2.　(2)a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1.　(3)2501.0001.　(4)2490.01.
活動3　拓展延伸(學生對學)
【例3】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值．
【互動探索】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點→確定(m＋1)xy的值→建立方程→確定m的值．
【解答】∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.
【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．
【例4】已知a＋b＝4，ab＝－5，求下列各式的值．
(1)a2＋b2；
(2)(a－b)2.
【互動探索】由已知等式聯(lián)想到什么乘法公式？所求代數(shù)式與已知等式有什么關系？怎樣求解？
【解答】(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab.
把a＋b＝4，ab＝－5代入，得a2＋b2＝42－2×(－5)＝16＋10＝26.
(2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
把a＋b＝4，ab＝－5代入，得(a－b)2＝42－4×(－5)＝16＋20＝36.
【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)完全平方公式的常用變形：
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2－2ab；
(2)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]；
(3)(a－b)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝4ab；
(5)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(6)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(7)ab＝2－2；
(8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]；
(9)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當堂達標
(學生總結(jié)，老師點評)
完全平方公式
兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍．
字母表示：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

請完成本課時對應練習！
第3課時　添括號法則

一、基本目標
【知識與技能】
理解并掌握添括號法則，綜合運用乘法公式進行計算．
【過程與方法】
經(jīng)歷類比去括號法則，推出添括號法則的過程，發(fā)展學生的知識遷移能力，使學生逐漸掌握添括號法則．
【情感態(tài)度與價值觀】
通過類比學習，掌握添括號法則，培養(yǎng)學生的歸納概括能力和發(fā)散思維．
二、重難點目標
【教學重點】
添括號法則的推導和運用．
【教學難點】
添括號法則的運用．

環(huán)節(jié)1　自學提綱，生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P111的內(nèi)容，完成下面練習．
【3 min反饋】
1．去括號法則：
a＋(b＋c)＝a＋b＋c；a－(b＋c)＝a－b－c.
2．反過來，就得到添括號法則：
a＋b＋c＝a＋(b＋c)；a－b－c＝a－(b＋c)．
3．添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.
4．在括號內(nèi)填入適當?shù)捻棧?br /> (1)x2－2x＋y＝x2－(2x－y)；
(2)a－2b＋3c＝－(－a＋2b－3c)．
5．根據(jù)添括號法則完成變形：(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]．
環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題
活動1　小組討論(師生互學)
【例1】按下列要求，給多項式3x3－5x2－3x＋4添括號：
(1)把多項式后三項括起來，括號前面帶有“＋”號；
(2)把多項式的前兩項括起來，括號前面帶“－”號；
(3)把多項式后三項括起來，括號前面帶有“－”號；
(4)把多項式中間的兩項括起來，括號前面“－”號．
【互動探索】(引發(fā)學生思考)根據(jù)添括號法則，聯(lián)系題目要求多項式的各項的符號變化進行添加．
【解答】(1)3x3＋(－5x2－3x＋4)．
(2)－(－3x3＋5x2)－3x＋4.
(3)3x3－(5x2＋3x－4)．
(4)3x3－(5x2＋3x)＋4.
【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)添括號時，明確括號前的符號以及括到的項．無論怎樣添括號，原式的值都不能改變，可以用去括號法則檢驗是否正確．
【例2】計算：(1)(a－m＋2n)2；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)；
(3)(2x－y－3)(2x－y＋3)；
(4)(x－2y－z)2.
【互動探索】(引發(fā)學生思考)利用添括號法則對原式添加括號→變?yōu)槌朔ü窘Y(jié)構(gòu)→利用乘法計算公式進行計算．
【解答】(1)原式＝[(a－m)＋2n]2
＝(a－m)2＋4n(a－m)＋4n2
＝a2－2am＋m2＋4an－4mn＋4n2.
(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]
＝(x－y)2－(m－n)2
＝x2－2xy＋y2－(m2－2mn＋n2)
＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
(3)原式＝[(2x－y)－3][(2x－y)＋3]
＝(2x－y)2－9
＝4x2－4xy＋y2－9；
(4)原式＝[(x－2y)－z]2
＝(x－2y)2－2z(x－2y)＋z2
＝x2－4xy＋4y2－2xz＋4yz＋z2.
【互動總結(jié)】(學生總結(jié)，老師點評)此式需添括號變形成公式結(jié)構(gòu)，再運用公式使計算簡便．
活動2　鞏固練習(學生獨學)
1．下列去(添)括號做法正確的有(　C　)
A．x－(y－z)＝x－y－z
B．－(x－y＋z)＝－x－y－z
C．x＋2y－2z＝x－2(z－y)
D．－a＋c＋d＋b＝－(a＋b)＋(c＋d)
2．在橫線上填入“＋”或“－”號，使等式成立．
(1)a－b＝－(b－a)；(2)a＋b＝＋(b＋a)；
(3)(a－b)2＝＋(b－a)2
(4)(a－b)3＝－(b－a)3.
3．在括號內(nèi)填上恰當?shù)捻棧篴x－bx－ay＋by＝(ax－bx)－(ay－by)．
環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當堂達標
(學生總結(jié)，老師點評)
添括號法則
添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．
簡記：遇“加”不變，遇“減”都變．
字母表示：a＋b＋c＝a＋(b＋c)；a－b－c＝a－(b＋c)．

請完成本課時對應練習！