數(shù)學(xué)八年級上冊14.3 因式分解綜合與測試教案

這是一份數(shù)學(xué)八年級上冊14.3 因式分解綜合與測試教案，共10頁。教案主要包含了基本目標(biāo)，重難點目標(biāo)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?14．3　因式分解
14．3.1　提公因式法(第1課時)

一、基本目標(biāo)
【知識與技能】
1．明確提公因式法分解因式與單項式乘多項式的關(guān)系．
2．能正確找出多項式的公因式，熟練用提公因式法分解簡單的多項式．
【過程與方法】
1．經(jīng)歷從分解因數(shù)到分解因式的類比過程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解決問題中的作用．
2．使學(xué)生經(jīng)歷探索多項式各項公因式的過程，根據(jù)化歸思想方法進(jìn)行因式分解．
【情感態(tài)度與價值觀】
培養(yǎng)學(xué)生分析、類比以及化歸的思想，增進(jìn)學(xué)生的合作交流意識，主動、積極地積累確定公因式的初步經(jīng)驗，體會其應(yīng)用價值．
二、重難點目標(biāo)
【教學(xué)重點】
用提公因式法把多項式分解因式．
【教學(xué)難點】
整式乘法與因式分解之間的關(guān)系，正確確定多項式的最大公因式．

環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P114～P115的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．
【3 min反饋】
一、因式分解的概念
1．把下列多項式寫成整式的積的形式：
x2＋x＝x(x＋1)；　x2－1＝(x＋1)(x－1)；ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
2．把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解(或分解因式)．
3．多項式與因式分解的關(guān)系：
多項式整式的乘積
4．下列各式從左到右的變形為因式分解的是③.(填序號)
①(x＋1)(x－1)＝x2－1；②a2－1＋b2＝(a＋1)(a－1)＋b2；③7x－7＝7(x－1)．
二、公因式與提公因式法
1．公因式：如果一個多項式中各項都含有一個公共的因式，那么這個公共的因式叫做這個多項式各項的公因式．如pa＋pb＋pc中，p是這個多項式的公因式．
2．提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．字母表示：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)．
3．多項式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各項的公因式是3ab.
4．把下列各式分解因式：
(1)3x2－6xy；
(2)3a2(x－y)3－4b2(y－x)2.
解：(1)x(3x－6y)．　(2)(x－y)2(3a2－4b2)．
環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題
活動1　小組討論(師生互學(xué))
【例1】把下列各式分解因式：
(1)(1)4x2y3＋8x2y2z－12xy2z；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)找出式子的公因式→確定提公因式后剩下的多項式→寫成乘積形式．
【解答】(1)(1)原式＝4xy2(xy＋2xz－3z)．
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)．
(3)原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b)＝(a＋b)·(a－b－1)．
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)確定多項式中各項的最大公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式(或相同多項式因式)；③定指數(shù)，即各項相同字母因式(或相同多項式因式)的指數(shù)的最低次冪．
【例2】已知2x－y＝1，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)因式分解2x4y3－x3y4→確定已知等式與因式分解結(jié)果的關(guān)系→代入求值．
【解答】原式＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)＝23×1＝8.
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解決此類問題的一般步驟：先分解因式→再代值計算．
活動2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))
1．下列從左到右的變形中是因式分解的有(　B　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
2．多項式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是(　C　)
A．5mn　 B．5m2n2
C．5m2n　 D．5mn2
3．把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一個因式是(　C　)
A．x－2　 B．x＋2
C．2－x　 D．－2－x
4．把下列各式分解因式：
(1)a2x2y－axy2；
(2)3a(x－y)－5b(y－x)；
(3)x2(a－1)＋x(1－a)；
(4)x(x2－xy)－(4x2－4xy)．
解：(1)axy(ax－y)．　(2)(x－y)(3a＋5b)．
(3)x(a－1)(x－1)．　(4)x(x－y)(x－4)．
5．已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
教師點撥：求代數(shù)式的值，有時要將已知條件看作一個整體代入求值．
活動3　拓展延伸(學(xué)生對學(xué))
【例3】△ABC的三邊長分別為a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【互動探索】要判斷△ABC的形狀→化簡已知等式，找出邊a、b、c之間的關(guān)系→確定△ABC的形狀．
【解答】△ABC是等腰三角形．理由如下：
由a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，則(a－c)＋2b(a－c)＝0，即(a－c)(1＋2b)＝0，∴(a－c)＝0或(1＋2b)＝0，即a＝c或b＝－(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)通過提公因式分解因式，從而找出三邊的關(guān)系來判定三角形的形狀．
環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
(學(xué)生總結(jié)，老師點評)
因式分解與整式乘法是方向相反的變形．
整式乘法?因式分解——提公因式法
字母表示：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)，其中p為公因式．

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！
14.3.2　公式法
第2課時　平方差公式

一、基本目標(biāo)
【知識與技能】
1．掌握平方差公式分解因式的方法．
2．掌握提公因式法、平方差公式分解因式的綜合運用．
【過程與方法】
通過平方差公式逆向的變形，發(fā)展學(xué)生逆向思維；通過將高次偶數(shù)指數(shù)向2次指數(shù)的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想．
【情感態(tài)度與價值觀】
培養(yǎng)學(xué)生的觀察、聯(lián)想能力，進(jìn)一步了解換元的思想方法，體會數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用價值．
二、重難點目標(biāo)
【教學(xué)重點】
運用平方差公式分解因式．
【教學(xué)難點】
平方差公式的逆用及高次指數(shù)的轉(zhuǎn)化、兩種因式分解方法的靈活運用．

環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P116～P117的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．
【3 min反饋】
1．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(y＋5)(y－5)＝y(tǒng)2－25.
(2)根據(jù)(1)中等式填空：
x2－4＝(x＋2)(x－2)；y2－25＝(y＋5)(y－5).
2．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b).即兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.
3．下列各式中，能運用平方差公式分解的多項式是②.(填序號)
①x2＋y2；②1－x2；③－x2－y2；④x2－xy.
3．分解因式：
(1)4x2－9y2；(2)16－a4；(3)(a2＋1)2－4a2
解：(1)(2x＋3y)(2x－3y)．　(2)(4＋a2)(2＋a)(2－a)．　(3)(a＋1)2(a－1)2.
環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題
活動1　小組討論(師生互學(xué))
【例1】分解因式：
(1)x2－9y2；
(2)16x4－y4；
(3)12a2x2－27b2y2；
(4)(x＋2y)2－(x－3y)2；
(5)m2(16x－y)＋n2(y－16x)．
【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)觀察各式的特點，運用平方差公式進(jìn)行因式分解．
【解答】(1)x2－9y2＝x2－(3y)2＝(x＋3y)(x－3y)．
(2)16x4－y4＝(4x2＋y2)(4x2－y2)＝(4x2＋y2)(2x＋y)(2x－y)．
(3)12a2x2－27b2y2＝3(4a2x2－9b2y2)＝3(2ax＋3by)(2ax－3by)．
(4)(x＋2y)2－(x－3y)2＝[(x＋2y)＋(x－3y)][(x＋2y)－(x－3y)]＝5y(2x－y)．
(5)m2(16x－y)＋n2(y－16x)＝(16x－y)·(m2－n2)＝(16x－y)(m＋n)(m－n)．
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)(1)分解因式前應(yīng)先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必須進(jìn)行到每一個多項式都不能再分解因式為止．(2)在平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中，a和b可以代表單項式、多項式或單獨一個數(shù)．
【例2】248－1可以被60和70之間某兩個自然數(shù)整除，求這兩個數(shù)．
【互動探索】被自然數(shù)整除的含義是什么？248－1這個數(shù)比較大，怎樣求出符合要求的兩個數(shù)？
【解答】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)·(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．
∵26＝64，∴26－1＝63,26＋1＝65，
∴這兩個數(shù)是65和63.
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式，然后分析被哪些數(shù)或式子整除．
活動2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))
1．下列多項式中能用平方差公式分解因式的是(　D　)
A．a(chǎn)2＋(－b)2　 B．5m2－20mn
C．－x2－y2　 D．－x2＋9
2．下列各式從左到右的變形正確的是(　D　)
A．－2x＋4y＝－2(x－4y)
B．a(chǎn)2－6＝(a＋2)(a－3)
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
3．當(dāng)整數(shù)a為－4時(只寫一個)，多項式x2＋a能用平方差公式分解因式．
教師點撥：此題答案不唯一．
4．分解因式：
(1)a4－b4；
(2)x3y2－xy4；
(3)(a＋b)2－4a2；
(4)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1).
(2)xy2(x＋y)(x－y)．
(3)(b－a)(3a＋b)．
(4)4(m＋2n)(2m＋n)．
5．已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2.
活動3　拓展延伸(學(xué)生對學(xué))
【例3】利用因式分解計算：
(1)1012－992；
(2)5722×－4282×.
【互動探索】觀察式子特點，用提公因式法和平方差公式進(jìn)行因式分解．
【解答】(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400.
(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36 000.
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)對于一些比較復(fù)雜的計算，若通過變形轉(zhuǎn)化為平方差公式的形式，則可以使運算簡便．
環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
(學(xué)生總結(jié)，老師點評)
1．分解因式的步驟：先排列，首系數(shù)不為負(fù)；然后提取公因式；再運用公式分解，最后檢查各因式是否能再分解．
2．不能直接用平方差公式分解的，應(yīng)考慮能否通過變形，創(chuàng)造應(yīng)用平方差公式的條件．

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！
第3課時　完全平方公式

一、基本目標(biāo)
【知識與技能】
1．理解用完全平方公式分解因式的原理．
2．初步掌握適合用完全平方公式分解因式的條件，會用完全平方公式分解因式．
【過程與方法】
經(jīng)歷探索利用完全平方公式進(jìn)行因式分解的過程，感受逆向思維的意義，掌握因式分解的基本步驟．
【情感態(tài)度與價值觀】
培養(yǎng)良好的推理能力，體會“化歸”與“換元”的思想方法，形成靈活的應(yīng)用能力．
二、重難點目標(biāo)
【教學(xué)重點】
理解并掌握用完全平方公式分解因式．
【教學(xué)難點】
識別并掌握用完全平方公式分解因式的條件．

環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P117～P119的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．
【3 min反饋】
1．填空：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．根據(jù)(1)中的式子填空：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
3．形如a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2的式子稱為完全平方式．
4．完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.即兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.
4．.下列各式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是③.(填序號)
①x2－2x－2；②x2＋1；③x2－4x＋4；④x2＋4x＋1.
5．分解因式：
(1)9x2＋6x＋1；
(2)3m2n－12mn＋12n；
(3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
解：(1)(3x＋1)2.　(2)3n(m－2)2.
(3)(a＋b－6)2.
環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題
活動1　小組討論(師生互學(xué))
【例1】因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)觀察式子中的各項，提取公因式，用公式進(jìn)行因式分解．
【解答】(1)原式＝－3a2·(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)·(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)分解因式的基本步驟可概括為一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，沒有公因式的用公式法，最后檢查每一個多項式的因式，看能否繼續(xù)分解．
【例2】已知|b－4|＋a2－a＋＝0，求ab的值．
【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)等式左邊變形→轉(zhuǎn)化為|b－4|＋2＝0→確定a、b的值→ab的值．
【解答】依題意，得|b－4|＋2＝0.
∴∴
∴ab＝4＝.
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)先分解因式得到兩個非負(fù)數(shù)的和，再根據(jù)絕對值和完全平方數(shù)的非負(fù)性求出a、b.
活動2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))
1．下列多項式能用完全平方公式分解因式的有(　B　)
(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
2．有一個式子為x2＋6x＋△＝(x＋Ω)2，則(　A　)
A．△＝9，Ω＝3　 B．△＝6，Ω＝3
C．△＝3，Ω＝9　 D．△＝3，Ω＝6
3．若x2＋(m－3)x＋16可直接用完全平方公式分解因式，則m的值等于－5或11.
4．因式分解：
(1)2a3－4a2b＋2ab2；
(2)(x＋2)(x＋3)＋；
(3)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.
解：(1)2a(a－b)2.　(2)2.
(3)(x＋2)2(x－2)2.
5．利用因式分解計算：
(1)342＋34×32＋162；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500.
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
活動3　拓展延伸(學(xué)生對學(xué))
【例3】已知x＋＝4，求：
(1)x2＋的值；
(2)2的值．
【互動探索】確定x＋與所求式子之間的聯(lián)系→利用完全公式變形x2＋＝2－2，2＝2－4→代入數(shù)據(jù)求值．
解：(1)x2＋＝2－2＝42－2＝14.
(2)2＝2－4＝42－4＝12.
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)這里需要活用公式，如x2＋＝2－2，2＝2－4，將兩個完全平方公式進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化．
環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
(學(xué)生總結(jié)，老師點評)
1．用完全平方式分解因式，關(guān)鍵在于觀察各項之間的關(guān)系，配湊a、b.
2．分解因式的步驟：先排列，使首項系數(shù)不為負(fù)；提取公因式；然后運用公式法；檢查各因式是否能再分解．

請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！