第8講、類比結(jié)構(gòu)構(gòu)造——類比探究（講義）我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′．當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB′C′邊B′C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2、圖3中，△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=_____BC；②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時(shí)，則AD的長(zhǎng)為_________．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，四邊形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，請(qǐng)給予證明，并求△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．       圖1                          圖2    【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，是一張直角三角形紙片，∠B=90°，小明想從中剪出一個(gè)以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE，EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為________．【拓展應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點(diǎn)P，N分別在邊AB，AC上，頂點(diǎn)Q，M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為__________（用含a，h的代數(shù)式表示）．【靈活應(yīng)用】如圖3，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積．【實(shí)際應(yīng)用】如圖4，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測(cè)量AB=50cm，BC=108 cm，CD=60 cm，且，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M，N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積．圖1             圖2                圖3        折紙的思考．【操作體驗(yàn)】用一張矩形紙片折等邊三角形．第一步，對(duì)折矩形紙片ABCD（AB＞BC）（如圖1），使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平（如圖2）．第二步，如圖3，再一次折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的P處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．圖1             圖2              圖3（1）說明△PBC是等邊三角形．【數(shù)學(xué)思考】（2）如圖4，小明畫出了圖3的矩形ABCD和等邊三角形PBC．他發(fā)現(xiàn)，在矩形ABCD中把△PBC經(jīng)過圖形變化，可以得到圖5中的更大的等邊三角形．請(qǐng)描述圖形變化的過程．圖4              圖5（3）已知矩形一邊長(zhǎng)為3 cm，另一邊長(zhǎng)為a cm．對(duì)于每一個(gè)確定的a的值，在矩形中都能畫出最大的等邊三角形．請(qǐng)畫出不同情形的示意圖，并寫出對(duì)應(yīng)的a的取值范圍． 【問題解決】（4）從一張正方形鐵片中剪出一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為4 cm和1 cm的直角三角形鐵片，所需正方形鐵片的邊長(zhǎng)的最小值為__________cm．已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED·EA=EC·EB．（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積．（3）如圖3，另一組對(duì)邊AB，DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，直接寫出AD的長(zhǎng)（用含n的式子表示）．圖1 圖2圖3                【參考答案】（1）①；②4；（2）AD=BC，證明略；（3）存在，“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)為．【探索發(fā)現(xiàn)】；【拓展應(yīng)用】；【靈活應(yīng)用】該矩形的面積為720；【實(shí)際應(yīng)用】該矩形的面積為1 944 cm2．（1）證明略；（2）先將△BPC按點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)適當(dāng)角度得△BP1C1，再將△BP1C1以B為位似中心放大，使點(diǎn)C1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C2落在邊CD上，得到△BP2C2；（3）略；（4）．（1）證明略；（2）四邊形ABCD的面積為；（3）AD的長(zhǎng)為．

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