7.4 三角函數應用








生活中普遍存在著周期性變化規(guī)律的現象，晝夜交替、四季輪回、潮漲潮散、云卷云舒，情緒的起起落落，庭前的花開花謝，一切都逃不過數學的眼睛！我們需要學習如何用數學的眼睛洞察我們身邊存在的周期現象．





1．三角函數模型的應用


(1)根據實際問題的圖象求出函數解析式．


(2)將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型．


(3)利用收集的數據，進行函數擬合，從而得到函數模型．


2．解答三角函數應用題的一般步驟





思考：在函數y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b與函數的最值有何關系？


[提示] A，b與函數的最大值ymax，最小值ymin關系如下：


(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；


(2)A＝eq \f(ymax－ymin,2)，b＝eq \f(ymax＋ymin,2)．





1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)


(1)函數y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))內是增函數．( )


(2)函數y＝3sin x－1的最大值為3．( )


(3)直線x＝π是函數y＝sin x的一條對稱軸．( )


(4)函數y＝sin [π(x－1)]的周期為2．( )


[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√


2．(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的周期是T＝________；


(2)y＝Acs(ωx＋φ)(ω>0)的周期是T＝________；


(3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期是T＝________．


[答案] (1)eq \f(2π,ω) (2)eq \f(2π,ω) (3)eq \f(π,ω)


3．某人的血壓滿足函數關系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)為血壓，t為時間，則此人每分鐘心跳的次數為________．


80 [∵T＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)，∴f＝eq \f(1,T)＝80．]





【例1】 已知電流I＝Asin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一個周期內的圖象如圖．





(1)根據圖中數據求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；


(2)如果t在任意一段eq \f(1,150)秒的時間內，電流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數值是多少？


[思路點撥] 可先由圖象確定電流I的解析式，再由函數的性質確定ω的值．


[解] (1)由圖知，A＝300．


eq \f(T,2)＝eq \f(1,180)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,900)))＝eq \f(1,150)，


∴T＝eq \f(1,75)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝150π．


I＝300sin(150πt＋φ)．


由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,900)，0))為第一個關鍵點，


∴150π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,900)))＋φ＝0，∴φ＝eq \f(π,6)，


∴所求解析式為I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150πt＋\f(π,6)))，t∈[0，＋∞)．


(2)由題意T≤eq \f(1,150)，即eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,150)，


∴ω≥300π≈942．4，


∴所求ω的最小正整數值是943．





1．三角函數模型在物理中的應用主要體現在簡諧運動、電流強度、單擺、彈簧振子等隨時間變化的問題，解決這類問題必須要清楚振幅、頻率、周期、初相、相位的實際意義和表示方法．


2．將圖形語言轉化成符號語言，根據圖形信息利用待定系數法，求函數模型y＝Asin(ωx＋φ)中的未知參數后，再由解析式及性質解決具體問題．





eq \([跟進訓練])


1．如圖，單擺離開平衡位置O的位移s(單位：cm)和時間t(單位：s)的函數關系為s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，則單擺在擺動時，從開始到第一次回到平衡位置所需要的時間為( )





A．eq \f(11,12) s B．eq \f(7,12) s


C．eq \f(5,12) s D．1 s


C [由題意得，s＝0, 即6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))＝0(t>0)，所以2πt＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈N*)，t＝eq \f(k,2)－eq \f(1,12)(k∈N*)，所以t的最小正值為eq \f(5,12) s ，故選C．]





【例2】 如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉動，每轉動一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40．5米，半徑為40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請回答下列問題：





(1)求出你與地面的距離y(米)與時間t(分鐘)的函數關系式；


(2)當你第4次距離地面60．5米時，用了多長時間？


[思路點撥] eq \x(審清題意)→eq \x(建立函數模型)→eq \x(解答函數模型)→eq \x(得出結論)


[解] (1)可以用余弦函數來表示該函數的關系式，由已知，可設y＝40．5－40cs ωt，t≥0，由周期為12分鐘可知，當t＝6時，摩天輪第1次到達最高點，即此函數第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝eq \f(π,6)．所以y＝40．5－40cseq \f(π,6)t(t≥0)．


(2)設轉第1圈時，第t0分鐘時距地面60．5米，由60．5＝40．5－40cseq \f(π,6)t0，得cseq \f(π,6)t0＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(π,6)t0＝eq \f(2π,3)或eq \f(π,6)t0＝eq \f(4π,3)，解得t0＝4或8．所以t＝8分鐘時，第2次距地面60．5米，故第4次距離地面60．5米時，用了12＋8＝20(分鐘)．





三角函數在實際生活中的應用問題的兩種類型


?1?已知函數模型，利用題目中提供的數據和有關性質解決問題，其關鍵是求出函數解析式中的參數，將實際問題轉化為三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使問題得以解決.


?2?把實際問題抽象轉化成數學問題，建立三角函數模型，再利用三角函數的有關知識解決問題，其關鍵是建模.








eq \([跟進訓練])


2．已知某游樂園內摩天輪的中心O點距地面的高度為50 m，摩天輪做勻速轉動，摩天輪上的一點P自最低點A點起，經過t min后，點P的高度h＝40·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋50(單位：m)，那么在摩天輪轉動一圈的過程中，點P的高度在距地面70 m以上的時間將持續(xù)________分鐘．


4 [依題意，即40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋50≥70，


即cseq \f(π,6)t≤－eq \f(1,2)，從而在一個周期內持續(xù)的時間為eq \f(2π,3)≤eq \f(π,6)t≤eq \f(4π,3)，4≤t≤8，即持續(xù)時間為4分鐘．]





[探究問題]


1．在利用已收集到的數據解決實際問題時，我們首先要對數據如何處理？


[提示] 先畫樣本數據散點圖，通過分析其變化趨勢確定合適的函數模型．


2．當散點圖具有什么特征時，可以用正(余)弦函數模型來解決實際問題？


[提示] 當散點圖具有波浪形的特征時，便可考慮應用正(余)弦函數模型來解決實際問題．


【例3】 某“帆板”集訓隊在一海濱區(qū)域進行集訓，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時間t(0≤t≤24，單位：時)而周期性變化，每天各時刻t的浪高數據的平均值如下表：


(1)試在圖中描出所給點；


(2)觀察圖，從y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acs(ωt＋φ)中選擇一個合適的函數模型，并求出該擬合模型的解析式；


(3)如果確定在一天內的7時至19時之間，當浪高不低于0.8米時才進行訓練，試安排恰當的訓練時間．





[思路點撥] eq \x(畫散點圖)―→eq \x(選擇函數模型)―→


eq \x(解決實際問題)


[解] (1)描出所給點如圖所示：





(2)由(1)知選擇y＝Asin(ωt＋φ)＋b較合適．


令A＞0，ω＞0，|φ|＜π．


由圖知，A＝0.4，b＝1，T＝12，


所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)．


把t＝0，y＝1代入y＝0．4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0．


故所求擬合模型的解析式為


y＝0.4sineq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．


(3)由y＝0.4sineq \f(π,6)t＋1≥0.8，則sineq \f(π,6)t≥－eq \f(1,2)，


則－eq \f(π,6)＋2kπ≤eq \f(πt,6)≤eq \f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，


即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，


注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24．


再結合題意可知，應安排在11時到19時訓練較恰當．





用三角函數解決實際問題的關鍵在于如何把實際問題三角函數模型化，而散點圖起了關鍵的作用.解決這類題目的步驟如下：


?1?搜集實際問題的數據，作出“散點圖”；


?2?觀察散點圖，用三角函數模型擬合散點圖，得到函數模型；


?3?通過圖象或解析式研究函數的性質；


?4?用得到的性質解決提出的實際問題.








eq \([跟進訓練])


3．某港口的水深y(m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數，下面是水深數據：


根據上述數據描出的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數y＝Asin ωt＋b的圖象．





(1)試根據以上數據，求出y＝Asin ωt＋b的表達式；


(2)一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5 m時是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7 m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，則在港內停留的時間最多不能超過多長時間？(忽略進出港所用的時間)


[解] (1)由擬合曲線可知，函數y＝Asin ωt＋b在一個周期內由最大變到最小需9－3＝6(h)，此為半個周期，


∴函數的最小正周期為12 h，因此，eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6)．


又∵當t＝0時，y＝10；


當t＝3時，取最大值13．


∴b＝10，A＝13－10＝3．


∴所求函數表達式為y＝3sin eq \f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．


(2)由于船的吃水深度為7 m，船底與海底的距離不少于4.5 m，故船舶在航行時水深y應大于等于7＋4.5＝11．5(m)．


由擬合曲線可知，一天24 h，水深y變化兩個周期．


令y＝3sin eq \f(π,6)t＋10≥11.5,


可得sin eq \f(π,6)t≥eq \f(1,2)．


∴2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)t≤2kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)，


∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．


取k＝0，則1≤t≤5；


取k＝1，則13≤t≤17；


取k＝2時，則25≤t≤29(不合題意)．


從而可知，該船在1點到5點或者13點到17點兩個時間段可安全進港；船舶要在一天之內在港口停留時間最長，就應從凌晨1點進港，而下午的17點前離港，在港內停留的時間最長為16小時．








1．本節(jié)課的重點是三角函數在實際問題中的應用，難點是三角函數在實際問題中的應用以及建立三角函數模型解決實際問題．


2．本節(jié)課要牢記解三角函數應用問題的基本步驟


(1)審清題意


讀懂題目中的“文字”“圖象”“符號”等語言，理解所反映的實際問題的背景，提煉出相應的數學問題．


(2)建立函數模型


整理數據，引入變量，找出變化規(guī)律，運用已掌握的三角函數知識、物理知識及其他相關知識建立關系式，即建立三角函數模型．


(3)解答函數模型


利用所學的三角函數知識解答得到的三角函數模型，求得結果．


(4)得出結論


將所得結果翻譯成實際問題的答案．


3．本節(jié)課要重點掌握三角函數模型的三類簡單應用


(1)三角函數在物理中的應用．


(2)三角函數在實際問題中的應用．


(3)建立三角函數模型解決實際問題．





1．如圖為某簡諧運動的圖象，這個簡諧運動往返一次需要的時間是( )





A．0.2 s B．0.4 s C．0.8 s D．1.2 s


C [由圖象知周期T＝0．8－0＝0．8，則這個簡諧運動需要0．8 s往返一次．]


2．某地一天內的溫度變化曲線滿足y＝3sin(0．2x＋25)＋15，則在一天內，該地的最大溫差是________．


6 [因為函數y＝3sin(0．2x＋25)＋15的振幅為A＝3，可以判斷該地的最大溫差是2A＝6．]


3．(一題兩空)電流I隨時間t變化的關系式是I＝Asin ωt，t∈[0，＋∞)，若ω＝10π rad/s，A＝5，則電流I變化的周期是________，當t＝eq \f(1,60) s時，電流I＝________．


eq \f(1,5) eq \f(5,2) [由已知得I＝5sin 10πt，∴T＝eq \f(2π,10π)＝eq \f(1,5)．


當t＝eq \f(1,60) s時，I＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10π×\f(1,60)))＝5sin eq \f(π,6)＝eq \f(5,2)．]


4．一根細線的一端固定，另一端懸掛一個小球，當小球來回擺動時，離開平衡位置的位移s(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數關系是s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))．


(1)畫出它的圖象；


(2)回答以下問題：


①小球開始擺動(即t＝0)時，離開平衡位置多少？


②小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少？


③小球來回擺動一次需要多長時間？


[解] (1)周期T＝eq \f(2π,2π)＝1(s)．


列表：


描點畫圖：





(2)①小球開始擺動(即t＝0)，離開平衡位置為3 cm．


②小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6 cm．


③小球來回擺動一次需要1 s(即周期)．


學 習 目 標
核 心 素 養(yǎng)
1．會用三角函數解決一些簡單的實際問題．(重點)


2．體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型．(難點)
通過學習本節(jié)內容，提升學生的直觀想象和數學建模核心素養(yǎng)．
三角函數在物理學中的應用
三角函數在實際生活中的應用
三角函數的數據擬合問題
t(時)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1．0
1．4
1．0
0．6
1．0
1．4
0．9
0．5
1．0
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10．0
13．0
9．9
7．0
10．0
13．0
10．1
7．0
10．0
t
0
eq \f(1,6)
eq \f(5,12)
eq \f(2,3)
eq \f(11,12)
1
2πt＋eq \f(π,6)
eq \f(π,6)
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
eq \f(13π,6)
6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))
3
6
0
－6
0
3

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7.4 三角函數應用

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