課后素養(yǎng)落實(三十八)　正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) (建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(多選題)下列命題正確的是(　　)A．y＝tan x為增函數(shù)B．y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為C．在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函數(shù)D．在上y＝tan x的最大值是1，最小值為－1BD　[函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故A錯誤；函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為，故B正確；當x＝－，時，y＝tan x無意義，故C錯誤；由正切函數(shù)的圖象可知D正確．]2．函數(shù)y＝3tan的最小正周期是，則ω＝(　　)A．4   B．2  C．－2   D．2或－2D　[由＝，可知ω＝±2.]3．函數(shù)f(x)＝的定義域為(　　)A.　　　　 B.C.   D.C　[要使函數(shù)有意義，則∴x≠且x≠＋，∴x≠，k∈Z.]4．與函數(shù)y＝tan的圖象不相交的一條直線是(　　)A．x＝   B．x＝－C．x＝   D．x＝D　[當x＝時，y＝tan＝tan ＝1；當x＝－時，y＝tan＝1；當x＝時，y＝tan ＝－1，當x＝時，y＝tan 不存在．]5．已知函數(shù)y＝tan ωx在內(nèi)是減函數(shù)，則ω的取值范圍是(　　)A．(－1,0)   B．[－1,0)C．(0,1)   D．(0,1]B　[∵y＝tan ωx在內(nèi)是減函數(shù)，∴T＝≥π，∴0＜|ω|≤1.∵y＝tan x在內(nèi)為增函數(shù)，∴ω<0，∴－1≤ω<0.]二、填空題6．比較大?。?/span>tan ________tan .(填“>”或“<”)＜　[tan ＝tan＝tan .∵y＝tan x在上是增函數(shù)且0＜＜＜，∴tan ＜tan ，即tan ＜tan .]7．函數(shù)y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan(－x)，y＝tan|x|在上的大致圖象依次是________．(填序號)　               ①　　  　②　　 　③　　　 ④①②④③　[∵|tan x|≥0，∴圖象在x軸上方，∴y＝|tan x|對應(yīng)①；∵tan|x|是偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對稱，∴y＝tan|x|對應(yīng)③；而y＝tan(－x)與y＝tan x關(guān)于y軸對稱，∴y＝tan(－x)對應(yīng)④，y＝tan x對應(yīng)②，故四個圖象依次是①②④③.]8．函數(shù)y＝6 tan的定義域為________，對稱中心為________．　(k∈Z)[y＝tan＝－tan，由6x－≠kπ＋(k∈Z)得x≠＋π(k∈Z)，由6x－＝，(k∈Z)得x＝＋，k∈Z.故定義域為(k∈Z)，對稱中心為(k∈Z)．]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝3tan.(1)求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)試比較f(π)與f 的大?。?/span>[解]　(1)因為f(x)＝3tan＝－3tan，所以T＝＝＝4π.由kπ－<－<kπ＋(k∈Z)，得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)．因為y＝3tan在(k∈Z)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝3tan在(k∈Z)上單調(diào)遞減．故函數(shù)的最小正周期為4π，單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，f ＝3tan＝3tan＝－3tan，因為<，且y＝tan x在上單調(diào)遞增，所以tan <tan ，所以f(π)>f .10．設(shè)函數(shù)f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為，且圖象關(guān)于點M對稱．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．[解]　(1)由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝，即＝.因為ω>0，所以ω＝2，從而f(x)＝tan(2x＋φ)．因為函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點M對稱，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.因為0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z，即－＋<x<＋，k∈Z.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z，無單調(diào)減區(qū)間．(3)由(1)知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，即－＋≤x≤＋，k∈Z.所以不等式－1≤f(x)≤的解集為.1．(多選題)關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)，說法正確的是(　　)A．對任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)B．f(x)的圖象關(guān)于對稱C．f(x)的圖象關(guān)于(π－φ，0)對稱D．f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)BCD　[A項，若取φ＝kπ(k∈Z)，則f(x)＝tan x，此時，f(x)為奇函數(shù)，所以A錯；觀察正切函數(shù)y＝tan x的圖象，可知y＝tan x關(guān)于(k∈Z)對稱，令x＋φ＝得x＝－φ，分別令k＝1,2知B、C正確，D顯然正確．]2．函數(shù)y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在區(qū)間內(nèi)的圖象是(　　)D　[當＜x＜π時，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；當x＝π時，y＝0；當π＜x＜π時，tan x＞sin x，y＝2sin x＜0.故選D.]3．若f(n)＝tan ，(n∈N*)則f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝________.0　[因為f(n)＝tan n的周期T＝＝3，且f(1)＝tan ＝，f(2)＝tan ＝－，f(3)＝tan π＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝×0＝0.]4．已知x∈，則函數(shù)y＝＋2tan x＋1的最小值為________，取最小值時相應(yīng)的x的值為________．1　－　[y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.∵x∈，∴tan x∈[－，1]．當tan x＝－1，即x＝－時，y取得最小值1.]  是否存在實數(shù)a，且a∈Z，使得函數(shù)y＝tan在x∈上是單調(diào)遞增的？若存在，求出a的一個值；若不存在，請說明理由．[解]　∵y＝tan θ在區(qū)間(k∈Z)上為增函數(shù)，∴a＜0.又x∈，∴－ax∈，∴－ax∈，∴解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．令－－＝6－8k，解得k＝1，此時－2≤a≤－2，∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，滿足題意．  

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7.2 三角函數(shù)概念

版本： 蘇教版 (2019)

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