課后素養(yǎng)落實(三十七)　正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì) (建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(多選題)函數(shù)y＝cos x在區(qū)間[－π，a]上為增函數(shù)，則a的可能取值為(　　)A．－   B．－C．0   D．ABC　[y＝cos x在[－π，0]上為增函數(shù)，在[0，π]上為減函數(shù)，所以a∈[－π，0]．故選ABC.]2．下列關(guān)系式中正確的是(　　)A．sin 11°<cos 10°<sin 168°B．sin 168°<sin 11°<cos 10°C．sin 11°<sin 168°<cos 10°D．sin 168°<cos 10°<sin 11°C　[由誘導公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函數(shù)y＝sin x在[0°，90°]上是單調(diào)遞增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故選C.]3．函數(shù)f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)A.   B.C.   D.D　[令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，故選D.]4．當－≤x≤時，函數(shù)f(x)＝2sin 有(　　)A．最大值為1，最小值為－1B．最大值為1，最小值為－C．最大值為2，最小值為－2D．最大值為2，最小值為－1D　[因為－≤x≤，所以－≤x＋≤，所以－≤sin ≤1，所以－1≤2sin ≤2，即f(x)的最大值為2，最小值為－1.]5．若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω＝(　　)A.   B.C.   D.C　[因為當0≤ωx≤時，函數(shù)f(x)是增函數(shù)，當≤ωx≤π時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，即當0≤x≤時，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，當≤x≤時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以＝，所以ω＝.]二、填空題6．函數(shù)y＝sin 取最大值時自變量的取值集合是________．　[當－＝2kπ＋，即x＝4kπ＋，k∈Z時ymax＝1，所以函數(shù)y＝sin 取最大值時自變量的取值集合為.]7．函數(shù)f(x)＝3sin 在區(qū)間上的值域為________．　[由0≤x≤，得0≤2x≤π，于是－≤2x－≤，所以－≤sin ≤1，即－≤3sin ≤3.]8．y＝的定義域為________，單調(diào)遞增區(qū)間為________．[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)　(k∈Z)　[由題意知sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．∵當x∈[0，π]時，y＝在上單調(diào)遞增，∴其遞增區(qū)間為(k∈Z)．]三、解答題9．求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．(1)y＝sin ，x∈[0，π]；(2)y＝sin x.[解]　(1)由y＝－sin 的單調(diào)性，得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.令k＝0則≤x≤.又x∈[0，π]，故≤x≤π.即單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由sin x>0，得2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，∴函數(shù)的定義域為(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．設u＝sin x，則0<u≤1，又y＝u是減函數(shù)，∴函數(shù)的值域為(0，＋∞)．∵<1，∴函數(shù)y＝sin x的遞增區(qū)間即為u＝sin x(sin x>0)的遞減區(qū)間．故函數(shù)y＝sin x的遞增區(qū)間為.10．設函數(shù)f(x)＝sin，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時x的值．[解]　(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)．(2)令t＝2x－，則由≤x≤可得0≤t≤，∴當t＝，即x＝時，ymin＝×＝－1，當t＝，即x＝時，ymax＝×1＝.1．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝sin (x∈R)，下面結(jié)論正確的是(　　)A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB．函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)ABC　[∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，即A正確．y＝cos x在上是減函數(shù)，則y＝－cos x在上是增函數(shù)，即B正確．由圖象知y＝－cos x的圖象關(guān)于x＝0對稱，即C正確．y＝－cos x為偶函數(shù)，即D不正確．]2．函數(shù)f(x)＝sin ＋cos 的最大值為(　　)A.   B．1C.  D.A　[∵＋＝，∴f(x)＝ sin ＋cos ＝sin ＋cos ＝sin ＋sin ＝sin ≤，∴f(x)max＝.]3．函數(shù)y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最小值為________，最大值為________．－　　[令t＝cos x，x∈，∴t∈，y＝3t2－4t＋1＝32－.∵y＝32－在t∈上單調(diào)遞減．∴ymax＝32－＝，ymin＝32－＝－.]4．已知ω是正數(shù)，函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是________．　[由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.根據(jù)題意，得?，從而有解得0＜ω≤.故ω的取值范圍是.]定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函數(shù)，α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，試判斷f(sin α)與f(cos β)的大小關(guān)系．[解]　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且2是它的一個周期．因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且在[－4，－3]上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在[0,1]上是增函數(shù)．又α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則有α＋β＞，即＞α＞－β＞0，因為y＝sin x在上為增函數(shù)，所以sin α＞sin＝cos β，且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]，所以f(sin α)＞f(cos β)． 

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7.2 三角函數(shù)概念

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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