高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章第三節(jié)平面向量的數(shù)量積課時(shí)作業(yè)理含解析北師大版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第319頁(yè)[A組　基礎(chǔ)保分練]1．已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為60°，向量m＝5e1－2e2，則|m|＝（　　）A．　　　　　　　 B．C．2 D．7解析：|m|＝＝＝＝．答案：A2．已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝4，則（a－b）·b＝（　?。?/span>A．－16 B．－13C．－12 D．－10解析：（a－b）·b＝a·b－b2＝|a||b|cos 60°－|b|2＝2×4×－42＝－12．答案：C3．已知向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，則a，c的夾角為（　?。?/span>A．30° B．60°C．90° D．120°解析：法一：設(shè)向量a，c的夾角為θ．∵a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b，∴（a＋c）2＝（－b）2，即|a|2＋|c|2＋2|a|·|c|cos θ＝|b|2．又|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，∴cos θ＝＝－，∴θ＝120°．法二：在△ABC中，依題意可設(shè)＝a，＝c，＝b，向量a，c的夾角為θ．∵|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，∴C＝90°，A＝60°，∴θ＝120°．答案：D4．（2021·長(zhǎng)春模擬）已知在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，＝，＝，則在方向上的投影為（　?。?/span>A．4 B．C．2 D．解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則由已知可得C（4，4），E（2，0），F（0，1），所以＝（－2，－4），＝（－4，－3），則在方向上的投影為＝＝4．答案：A5．已知x>0，y>0，a＝（x，1），b＝（1，y－1），若a⊥b，則＋的最小值為（　　）A．4 B．9C．8 D．10解析：依題意，得a·b＝x＋y－1＝0?x＋y＝1．法一：＋＝＋＝5＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)取等號(hào)．法二：設(shè)f（x）＝＋＝＋（0<x<1），則f′（x）＝，當(dāng)<x<1時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f＝9．答案：B6．（2021·衡水模擬）已知向量a＝（1，k），b＝（2，4），則“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的（　　）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得（1，k）·（2，4）＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要條件．答案：C7．（2021·臨川九校聯(lián)考）已知平面向量a＝（2m－1，2），b＝（－2，3m－2），且a⊥b，則|2a－3b|＝_________．解析：因?yàn)?/span>a⊥b，所以a·b＝－2（2m－1）＋2（3m－2）＝0，解得m＝1，所以a＝（1，2），b＝（－2，1），所以2a－3b＝（2，4）－（－6，3）＝（8，1），所以|2a－3b|＝＝．答案：8．（2020·高考天津卷）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，則實(shí)數(shù)λ的值為　　　　，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且||＝1，則·的最小值為_________．解析：∵＝λ，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，·＝λ·＝λ||·||cos 120°＝λ×6×3×＝－9λ＝－，解得λ＝，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy，∵BC＝6，∴C（6，0），∵|AB|＝3，∠ABC＝60°，∴A的坐標(biāo)為A，∵又∵＝，則D，設(shè)M（x，0），則N（x＋1，0）（其中0≤x≤5），＝，＝，·＝＋＝x2－4x＋＝（x－2）2＋，所以，當(dāng)x＝2時(shí)，·取得最小值．答案：　9．已知向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝1，a與b的夾角為．（1）求|a＋3b|；（2）若向量a＋2b與ta＋2b垂直，求實(shí)數(shù)t的值．解析：（1）∵向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝1，a與b的夾角為，∴|a＋3b|＝＝＝＝3．（2）∵向量a＋2b與ta＋2b垂直，∴（a＋2b）·（ta＋2b）＝0，∴ta2＋（2t＋2）a·b＋4b2＝0，∴9t＋（2t＋2）×3×1×cos＋4＝0，解得t＝－．10．（2021·合肥模擬）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2）．（1）設(shè)c＝4a＋b，求（b·c）a；（2）若a＋λb與a垂直，求λ的值；（3）求向量a在b方向上的投影．解析：（1）∵a＝（1，2），b＝（2，－2），∴c＝4a＋b＝（4，8）＋（2，－2）＝（6，6）．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴（b·c）a＝0a＝0．（2）a＋λb＝（1，2）＋λ（2，－2）＝（2λ＋1，2－2λ），由于a＋λb與a垂直，∴2λ＋1＋2（2－2λ）＝0，∴λ＝．（3）設(shè)向量a與b的夾角為θ，向量a在b方向上的投影為|a|cos θ．∴|a|cos θ＝＝＝－＝－．[B組　能力提升練]1．已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，則|b|＝（　?。?/span>A．4　　　　　　 B．2C． D．1解析：|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4－4×2×|b|cos 60°＋4|b|2＝4，解得|b|＝1或|b|＝0（舍去）．答案：D2．如圖所示，已知G是△ABC的重心，H是BG的中點(diǎn)，且AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，則·＝（　?。?/span>A． B．2C． D．解析：設(shè)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，連接GD（圖略），因?yàn)?/span>G是△ABC的重心，所以A，G，D三點(diǎn)共線，＝＝×（＋）＝（＋）．又H是BG的中點(diǎn)，所以＝（＋）＝＝（4＋），則·＝（＋）·（4＋）＝（4||2＋5||·||cos∠BAC＋||2）＝×＝．答案：A3．已知||＝6，||＝2，∠AOB＝30°，若t∈R，則|＋t|的最小值為（　?。?/span>A．6 B．2C．3 D．6－2解析：依題意得|＋t|2＝|（1－t）＋t|2＝36（1－t）2＋12t2＋36（1－t）t＝12t2－36t＋36＝12＋9≥9，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)取等號(hào)，因此|＋t|的最小值是3．答案：C4．（2020·高考全國(guó)卷Ⅲ）已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝（　?。?/span>A．－ B．－C． D．解析：∵|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝．答案：D5．如圖所示，AB是半圓O的直徑，P是上的點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB＝6，MN＝4，則·＝_________．解析：連接AP，BP（圖略），則＝＋，＝＋＝－，所以·＝（＋）·（－）＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．答案：56．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b．若△OAB是以O為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則△OAB的面積為_________．解析：由題意得，|a|＝1，又△OAB是以O為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||．由⊥，得（a－b）·（a＋b）＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|＝1，由||＝||，得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0．所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1．答案：17．已知向量m＝（sin α－2，－cos α），n＝（－sin α，cos α），其中α∈R．（1）若m⊥n，求角α；（2）若|m－n|＝，求cos 2α的值．解析：（1）若m⊥n，則m·n＝0，即為－sin α（sin α－2）－cos2 α＝0，即sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z．（2）若|m－n|＝，即有（m－n）2＝2，即（2sin α－2）2＋（2cos α）2＝2，即為4sin2α＋4－8sin α＋4cos2 α＝2，即有8－8sin α＝2，可得sin α＝，即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－．[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]1．已知將函數(shù)f（x）＝4cos的圖像和直線g（x）＝x－1的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，…，A5．若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），則|＋＋…＋|＝（　?。?/span>A．0 B．2C．6 D．10解析：依題意，A1和A5，A2和A4都關(guān)于點(diǎn)A3對(duì)稱，由P（0，），A3（1，0），得＝（1，－），則＋＋…＋＝5＝5（1，－）＝（5，－5），所以|＋＋…＋|＝10．答案：D2．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以B為圓心的圓與直線AC相切．若點(diǎn)P是圓B上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最大值是（　　）A．2 B．4C．4 D．8解析：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則B（0，0），A（0，2），D（2，2），圓B的方程為x2＋y2＝2，∴P（cos θ，sin θ），∴＝（－2，－2），＝（cos θ，sin θ－2），∴·＝－2cos θ－2sin θ＋4＝4－4sin，∴當(dāng)sin＝－1時(shí)，·的最大值是8．答案：D3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量與關(guān)于y軸對(duì)稱，向量a＝（1，0），則滿足不等式2＋a·≤0的點(diǎn)A（x，y）構(gòu)成的集合用陰影表示為（　?。?/span>解析：∵A（x，y），向量與關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B（－x，y），＝（－2x，0）．∵2＋a·≤0，∴x2＋y2－2x＝（x－1）2＋y2－1≤0，故滿足要求的點(diǎn)A（x，y）在以（1，0）為圓心，1為半徑的圓上以及圓的內(nèi)部．答案：B4．設(shè)θ為兩個(gè)非零向量e1，e2的夾角，若對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，|e1＋λe2|min＝1，則下列說(shuō)法正確的是（　?。?/span>A．若θ確定，則|e1|唯一確定B．若θ確定，則|e2|唯一確定C．若|e1|確定，則θ唯一確定D．若|e2|確定，則θ唯一確定解析：|e1＋λe2|min＝1，即|e1－（－λe2）|min＝1，如圖所示，|e1－（－λe2）|表示線段EF的長(zhǎng)度，其中E為定點(diǎn)，F為動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)⊥e2時(shí)，|e1－（－λe2）|最小，所以|e1|sin θ＝1，故當(dāng)θ確定時(shí)，|e1|是確定的，但當(dāng)|e1|確定時(shí)，因?yàn)?/span>θ∈[0，π]，故θ可能會(huì)有兩個(gè)不同的解．|e2|總是不確定的．答案：A

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