平面向量的基本定理及坐標表示授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第317頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1．在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，若＝（2，4），＝（1，3），則＝（　　）A．（－2，－4）　　　　　　 B．（－3，－5）C．（3，5）  D．（2，4）解析：由題意得＝－＝－＝（－）－＝－2＝（1，3）－2（2，4）＝（－3，－5）．答案：B2．若向量a＝（2，1），b＝（－2，3），則以下向量中與向量2a＋b共線的是（　　）A．（－5，2）  B．（4，10）C．（10，4）  D．（1，2）解析：因為向量a＝（2，1），b＝（－2，3），所以2a＋b＝（2，5）．因為4×5－10×2＝0，故向量（4，10）與向量2a＋b共線．答案：B3．如圖所示，在△OAB中，P為線段AB上的一點，＝x＋y，且＝2，則（　?。?/span>A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝解析：由題意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋（－）＝＋，所以x＝，y＝．答案：A4．已知在平面直角坐標系xOy中，P1（3，1），P2（－1，3），P1，P2，P3三點共線且向量與向量a＝（1，－1）共線，若＝λ＋（1－λ），則λ＝（　　）A．－3  B．3C．1  D．－1解析：設(shè)＝（x，y），則由∥a知x＋y＝0，于是＝（x，－x）．若＝λ＋（1－λ），則有（x，－x）＝λ（3，1）＋（1－λ）（－1，3）＝（4λ－1，3－2λ），即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1．答案：D5．在平面直角坐標系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），C為坐標平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝（　?。?/span>A．2  B．C．2  D．4解析：因為|OC|＝2，∠AOC＝，所以C（，），又＝λ＋μ，所以（，）＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ），所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2．答案：A6．（2021·合肥質(zhì)檢）已知向量a＝（1，3），b＝（－2，k），且（a＋2b）∥（3a－b），則實數(shù)k＝_________．解析：a＋2b＝（－3，3＋2k），3a－b＝（5，9－k），由題意可得－3（9－k）＝5（3＋2k），解得k＝－6．答案：－67．（2021·荊門階段檢測）在△AOB中，＝，D為OB的中點，若＝λ＋μ，則λμ的值為_________．解析：因為＝，所以＝（－），因為D為OB的中點，所以＝，所以＝＋＝－＋（＋）＝－＋＋（－）＝－，所以λ＝，μ＝－，則λμ的值為－．答案：－8．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD為角平分線．（1）求AD的長度；（2）過點D作直線交AB，AC的延長線于不同兩點E，F，且滿足＝x，＝y，求＋的值，并說明理由．解析：（1）根據(jù)角平分線定理：＝＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝．（2）因為＝x，＝y，所以＝＋＝＋，因為E，D，F三點共線，所以＋＝1，所以＋＝3．9．已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b．求：（1）3a＋b－3c；（2）滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；（3）M，N的坐標及的坐標．解析：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）．（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）．（2）∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n）＝（5，－5），∴解得（3）設(shè)O為坐標原點，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20），∴M（0，20）．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2），∴N（9，2），∴＝（9，－18）．[B組　能力提升練]1．已知O為△ABC的外心，AB＝2，AC＝3，若＝x＋y（xy≠0），x＋2y＝1，則cos∠BAC的值為（　?。?/span>A．  B．C．  D．解析：設(shè)A（0，0），C（3，0），∠BAC＝α，則B（2cos α，2sin α）．∵O是△ABC的外心，∴O的橫坐標是，∵＝x＋y，∴＝x·2cos α＋3y，又x＋2y＝1，∴x＋3y＝，∴x·2cos α＋3y＝x＋3y，∴2cos α＝，即cos∠BAC＝．答案：A2．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m＝（a，b）與n＝（cos A，sin B）平行，則A＝（　?。?/span>A．  B．C．  D．解析：因為m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，從而tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝．答案：B3．（2021·衡水中學(xué)調(diào)研）直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點E，F，交AC于點M，若＝2，＝3，＝λ－μ（λ，μ∈R），則μ－λ＝（　?。?/span>A．－  B．1C．  D．－3解析：由題意及幾何關(guān)系可得AM＝AC，則＝，即＝0－，所以μ＝－，λ＝0，則μ－λ＝－．答案：A4．已知a＝（1，x），b＝（y，1），x＞0，y＞0．若a∥b，則的最大值為（　　）A．  B．1C．  D．2解析：a∥b?xy＝1，所以y＝，所以＝＝≤＝，所以的最大值為．答案：A5．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝（2，1），且a與b的方向相反，則a的坐標為_________．解析：∵b＝（2，1），且a與b的方向相反，∴設(shè)a＝（2λ，λ）（λ＜0）．∵|a|＝2，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2．∴a＝（－4，－2）．答案：（－4，－2）6．設(shè)＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），a＞0，b＞0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則＋的最小值是_________．解析：據(jù)已知可知∥，又∵＝（a－1，1），＝（－b－1，2），∴2（a－1）－（－b－1）＝0，∴2a＋b＝1，∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時取等號，∴＋的最小值是8．答案：87．已知點A，B為單位圓O上的兩點，點P為單位圓O所在平面內(nèi)的一點，且與不共線．（1）在△OAB中，點P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；（2）已知點P滿足＝m＋（m為常數(shù)），若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值．解析：（1）因為＝2，所以＝，所以＝（－）＝－，又因為＝r＋s，所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0．（2）因為四邊形OABP為平行四邊形，所以＝＋，又因為＝m＋，所以＝＋（m＋1），依題意，是非零向量且不共線，所以m＋1＝0，解得m＝－1．[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]1．（2021·包河區(qū)校級月考）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：將一線段AB分為兩線段AC，CB，使得其中較長的一段AC是全長與另一段CB的比例中項，即滿足＝＝，后人把這個數(shù)稱為黃金分割數(shù)，把點C稱為線段AB的黃金分割點．在△ABC中，若點P，Q為線段BC的兩個黃金分割點，設(shè)＝x1＋y1，＝x2＋y2，則＋＝（　?。?/span>A．  B．2C．  D．＋1解析：由題意，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋，同理，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋．所以x1＝y2＝，x2＝y1＝．所以＋＝＋＝．答案：C2．已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的內(nèi)心，P是△IBC內(nèi)部（不含邊界）的動點．若＝λ＋μ（λ，μ∈R），則λ＋μ的取值范圍是_________．解析：以B為原點，BA，BC所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則B（0，0），A（3，0），C（0，4）．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，因為I是△ABC的內(nèi)心，所以（5＋3＋4）×r＝4×3，解得r＝1，所以I（1，1）．設(shè)P（x，y），因為點P在△IBC內(nèi)部（不含邊界），所以0＜x＜1．因為＝（－3，0），＝（－3，4），＝（x－3，y），且＝λ＋μ，所以解得所以λ＋μ＝1－x，又0＜x＜1，所以λ＋μ∈．答案：

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