?第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第325頁
[A組　基礎(chǔ)保分練]
1．（2021·惠州模擬）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＋a3＋a4＝15，a7＝13，則S5＝（　?。?br /> A．28　　 B．25 　　　
C．20　　 D．18
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得解得所以S5＝5a1＋d＝5×1＋×2＝25．
答案：B
2．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝2，a5＝3，則{an}的前6項(xiàng)和為（　　）
A．6 B．9
C．10 D．11
解析：設(shè){an}的公差為d，由等差數(shù)列的性質(zhì)知a2＋a4＝2a3＝2，則a3＝1，所以d＝＝1，a4＝a5－d＝2，所以S6＝＝3（a3＋a4）＝3×（1＋2）＝9．
答案：B
3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8＝16，a6＝1，則數(shù)列{an}的公差為（　?。?br /> A． B．－
C． D．－
解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S8＝16，a6＝1，∴解得a1＝，d＝－，故數(shù)列{an}的公差為－．
答案：D
4．（2021·萊陽一中月考）已知等差數(shù)列{an}中，a7＞0，a3＋a9＜0，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為（　?。?br /> A．S4 B．S5
C．S6 D．S7
解析：∵等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＜0，∴a3＋a9＝2a6＜0，即a6＜0．又a7＞0，∴{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為S6．
答案：C
5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6＞S7＞S5，則滿足SnSn＋1＜0的正整數(shù)n的值為（　?。?br /> A．10 B．11
C．12 D．13
解析：由S6＞S7＞S5，得S7＝S6＋a7＜S6，S7＝S5＋a6＋a7＞S5，所以a7＜0，a6＋a7＞0，所以S13＝＝13a7＜0，S12＝＝6（a6＋a7）＞0，所以S12S13＜0，即滿足SnSn＋1＜0的正整數(shù)n的值為12．
答案：C
6．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝．若對任意的n∈N＋，都有bn≥b8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．（－8，－7） B．[－8，－7）
C．（－8，－7] D．[－8，－7]
解析：因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n＋a－1．因?yàn)閎n＝，又對任意的n∈N＋，都有bn≥b8成立，所以1＋≥1＋，即≥對任意的n∈N＋恒成立．因?yàn)閿?shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，所以{an}是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以即解得－8＜a＜－7．
答案：A
7．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＋a4＝5，則S6＝　　　　．
解析：∵{an}為等差數(shù)列，∴S6＝×6＝×6＝15．
答案：15
8．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2a3，則＝________．
解析：＝＝＝．
答案：
9．已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)的和為－9，前三項(xiàng)的積為－15．
（1）求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若{an}為遞增數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn．
解析：（1）設(shè)公差為d，則依題意得a2＝－3，則a1＝－3－d，a3＝－3＋d，
所以（－3－d）（－3）（－3＋d）＝－15，得d2＝4，d＝±2，
所以an＝－2n＋1或an＝2n－7．
（2）由題意得an＝2n－7，所以|an|＝
①n≤3時(shí)，Sn＝－（a1＋a2＋…＋an）＝n＝6n－n2；②n≥4時(shí)，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2（a1＋a2＋a3）＋（a1＋a2＋…＋an）＝18－6n＋n2．
綜上，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn＝
10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n－1．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求{bn}的通項(xiàng)公式．
解析：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21－1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1．
因?yàn)閍1＝1適合通項(xiàng)公式an＝2n－1，
所以an＝2n－1．
（2）證明：因?yàn)閎n＋1－2bn＝8an，
所以bn＋1－2bn＝2n＋2，
即－＝2．
又＝1，
所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
所以＝1＋2（n－1）＝2n－1．
所以bn＝（2n－1）×2n．
[B組　能力提升練]
1．（2021·合肥市高三二檢）已知是等差數(shù)列，且a1＝1，a4＝4，則a10＝（　?。?br /> A．－ B．－
C． D．
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可知，＝＋3d＝，解得d＝－，所以＝＋9d＝－，所以a10＝－．
答案：A
2．（2020·高考浙江卷）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，≤1．記b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（　?。?br /> A．2a4＝a2＋a6 B．2b4＝b2＋b6
C．a(chǎn)＝a2a8 D．b＝b2b8
解析：對于A，因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由4＋4＝2＋6可得，2a4＝a2＋a6，A正確；
對于B，由題意可知，bn＋1＝S2n＋2－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2，b1＝S2＝a1＋a2，
∴b2＝a3＋a4，b4＝a7＋a8，b6＝a11＋a12，b8＝a15＋a16．
∴2b4＝2（a7＋a8），b2＋b6＝a3＋a4＋a11＋a12．
根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由3＋11＝7＋7，4＋12＝8＋8可得
b2＋b6＝a3＋a4＋a11＋a12＝2（a7＋a8）＝2b4，B正確；
對于C，a－a2a8＝（a1＋3d）2－（a1＋d）（a1＋7d）＝2d2－2a1d＝2d（d－a1），
當(dāng)a1＝d時(shí)，a＝a2a8，C正確；
對于D，b＝（a7＋a8）2＝（2a1＋13d）2＝4a＋52a1d＋169d2，
b2b8＝（a3＋a4）（a15＋a16）＝（2a1＋5d）（2a1＋29d）＝4a＋68a1d＋145d2，
b－b2b8＝24d2－16a1d＝8d（3d－2a1）．
當(dāng)d＞0時(shí)，a1≤d，∴3d－2a1＝d＋2（d－a1）＞0即b－b2b8＞0；
當(dāng)d＜0時(shí)，a1≥d，∴3d－2a1＝d＋2（d－a1）＜0即b－b2b8＞0，所以b－b2b8＞0，D不正確．
答案：D
3．若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋S7的值是（　　）
A．20 B．36
C．24 D．72
解析：由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得解得所以a4＋S7＝8a1＋24d＝24．
答案：C
4．（2021·洛陽統(tǒng)考）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，則滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為（　?。?br /> A．6 B．7
C．12 D．13
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋（n－1）d．∵a6＋a7＝a3＋a10＞0，即2a1＋11d＞0，且a6a7＜0，a1＞0，∴a6＞0，a7＜0．∴d＝a7－a6＜0．又∵a7＝a1＋6d＜0，∴2a1＋12d＜0．當(dāng)Sn＝＝＞0時(shí)，2a1＋（n－1）d＞0．由2a1＋11d＞0，2a1＋12d＜0知n－1最大為11，即n最大為12．
答案：C
5．（2021·山東師大附中模擬）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項(xiàng)和S10＝________．
解析：由等差數(shù)列性質(zhì)得2a3＝4，2a4＝10．
即a3＝2，a4＝5，公差d＝3，a1＝a3－2d＝2－6＝－4，
所以S10＝－4×10＋×3＝95．
答案：95
6．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10（n∈N＋），則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
解析：由an＝2n－10（n∈N＋）知{an}是以－8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5時(shí)，an≤0，當(dāng)n＞5時(shí)，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋…＋a15）＝20＋110＝130．
答案：130
7．（2021·嘉興模擬）在數(shù)列{an}，{bn}中，設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，an＋1＝an＋2，3b1＋5b2＋…＋（2n＋1）bn＝2n·an＋1，n∈N＋．
（1）求an和Sn；
（2）當(dāng)n≥k時(shí)，bn≥8Sn恒成立，求整數(shù)k的最小值．
解析：（1）因?yàn)閍n＋1＝an＋2，所以an＋1－an＝2，
所以{an}是等差數(shù)列．
又a1＝1，所以an＝2n－1，
從而Sn＝＝n2．
（2）因?yàn)閍n＝2n－1，所以3b1＋5b2＋7b3＋…＋（2n＋1）bn＝2n·（2n－1）＋1，①
當(dāng)n≥2時(shí)，3b1＋5b2＋7b3＋…＋（2n－1）bn－1＝2n－1·（2n－3）＋1．②
①－②可得（2n＋1）bn＝2n－1·（2n＋1）（n≥2），
即bn＝2n－1．
而b1＝1也滿足上式，故bn＝2n－1．
令bn≥8Sn，則2n－1≥8n2，即2n－4≥n2．
又210－4＜102，211－4＞112，結(jié)合指數(shù)函數(shù)增長的性質(zhì)，可知整數(shù)k的最小值是11．
[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]
1．（數(shù)學(xué)文化題）中國古詩詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳．題意是：把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多分17斤綿，那么第8個(gè)兒子分到的綿是（　?。?br /> A．174斤 B．184斤
C．191斤 D．201斤
解析：設(shè)大兒子分到的綿是x斤，依題意知這8個(gè)兒子分到的綿構(gòu)成以x為首項(xiàng)，17為公差的等差數(shù)列，記其前n項(xiàng)和為Sn，則有S8＝8x＋×17＝996，即8x＋476＝996，解得x＝65，故第8個(gè)兒子分到的綿a8＝65＋7×17＝65＋119＝184．
答案：B
2．（2021·湖南師大附中模擬）已知函數(shù)y＝f（x）對任意自變量x都有f（x）＝f（2－x），且函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)．若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a6）＝f（a2 012），則{an}的前2 017項(xiàng)之和為（　?。?br /> A．0 B．2 017
C．2 016 D．4 034
解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）對任意自變量x都有f（x）＝f（2－x），所以函數(shù)的對稱軸為x＝1，因?yàn)閒（a6）＝f（a2 012），所以a6＋a2 012＝2，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得T2 017＝＝＝2 017．
答案：B
3．（2021·綿陽模擬）已知圓的方程為x2＋y2－6x＝0，過點(diǎn)（1，2）的該圓的三條弦的長a1，a2，a3構(gòu)成等差數(shù)列，則數(shù)列a1，a2，a3的公差的最大值是________．

解析：如圖，由x2＋y2－6x＝0，得（x－3）2＋y2＝9，∴圓心坐標(biāo)C（3，0），半徑r＝3．由圓的性質(zhì)可知，過點(diǎn)P（1，2）的該圓的弦的最大值為圓的直徑，等于6，最小值為過P且垂直于CP的弦的弦長．∵|CP|＝＝2，∴|AB|＝2＝2，即a1＝2，a3＝6．
∴公差d的最大值為＝＝2．
答案：2

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