第三節(jié) 基本不等式授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第335頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1．（2021·荊門一中期中測試）函數(shù)f（x）＝的最小值為（　?。?/span>A．3　　　 B．4　　　　C．6　　　 D．8解析：f（x）＝＝|x|＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝±2時取等號，所以f（x）＝的最小值為4．答案：B2．（2021·欽州期末測試）已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，則ab的最大值是（　　）A．15  B．12  C．5  D．3解析：因?yàn)?/span>a2＋b2＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝±時等號成立．所以ab的最大值為5．答案：C3．（2021·煙臺期中測試）已知x，y∈R且x－2y－4＝0，則2x＋的最小值為（　?。?/span>A．4  B．8  C．16  D．256解析：∵x－2y－4＝0，∴x－2y＝4，∴2x＋≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝－1時等號成立，∴2x＋的最小值為8．答案：B4．（2021·湖南衡陽期末）已知P是面積為1的△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），若△PAB，△PAC和△PBC的面積分別為x，y，z，則＋的最小值是（　?。?/span>A．  B．C．  D．3解析：因?yàn)?/span>x＋y＋z＝1，0<x<1，0<y<1，0<z<1，所以＋＝＋＝＋＝＋＋1≥2  ＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時等號成立，所以＋的最小值為3．答案：D5．（2021·北京通州區(qū)期中測試）設(shè)f（x）＝ln x，0<a<b，若p＝f（），q＝f，r＝（f（a）＋f（b）），則下列關(guān)系式中正確的是（　?。?/span>A．q＝r<p  B．q＝r>pC．p＝r＜q  D．p＝r>q解析：∵0<a<b，∴<，∵f（x）＝ln x在（0，＋∞）上是增函數(shù)，∴f（）<f，又＝ln<ln，∴<f，∴p＝r<q．答案：C6．（2021·鷹潭模擬）已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，則＋的最小值為（　?。?/span>A．4  B．2  C．8  D．16解析：因?yàn)?/span>a＞0，b＞0，所以根據(jù)a＋b＝＋＝，可得ab＝1，所以＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a＝時等號成立．答案：B7．已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為________．解析：由a>0，b>0，3a＋b＝2ab，得＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時等號成立，則a＋b的最小值為2＋．答案：2＋8．某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y（單位：萬元）與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x（單位：年）的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25（x∈N＋），則該公司年平均利潤的最大值是　　　　萬元．解析：每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元．答案：89．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且＋＝2．（1）求a2＋b2的最小值；（2）若（a－b）2≥4（ab）3，求ab的值．解析：（1）由2＝＋≥2得ab≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號，故a2＋b2≥2ab≥1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號，所以a2＋b2的最小值是1．（2）由（a－b）2≥4（ab）3得≥4ab，即－≥4ab，從而ab＋≤2，又ab＋≥2，所以ab＋＝2，所以ab＝1．10．首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題．某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝x2－200x＋45 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為200元．（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？解析：（1）由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為x＋－200≥2－200＝100，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝300時等號成立，故該單位月處理量為300噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．（2）獲利．設(shè)該單位每月獲利為s元，則s＝200x－y＝－x2＋400x－45 000＝－（x－400）2＋35 000．因?yàn)?/span>x∈[300，600]，所以s∈[15 000，35 000]．故該單位每月獲利，最大利潤為35 000元．[B組　能力提升練]1．（2021·呂梁月考）一元二次不等式ax2＋2x＋b>0（a>b）的解集為，則的最小值是（　　）A．1  B．2  C．  D．2解析：∵一元二次不等式的解集為，∴a>0且Δ＝4－4ab＝0，即ab＝1，且a>b>0，∴＝＝a－b＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時等號成立，∴的最小值為2．答案：D2．設(shè)函數(shù)f（x）＝x－對任意x∈[－1，1]，都有f（x）≤0成立，則a＝（　　）A．4  B．3  C．  D．1解析：由a－x2≥0對任意x∈[－1，1]恒成立得a≥1；又由f（x）＝x－≤－≤0得a≤1，所以a＝1．答案：D3．（2021·吉安期中測試）設(shè)正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，若不等式＋≥4對任意的x，y成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）A．[4，＋∞）  B．（1，＋∞）C．[1，＋∞）  D．（4，＋∞）解析：∵x＋y＝1，且x>0，y>0，a>0，∴＋＝（x＋y）＝a＋1＋＋≥a＋1＋2，∴a＋2＋1≥4，即a＋2－3≥0，解得a≥1．答案：C4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是邊BC上的動點(diǎn)，且||＝3，||＝4，＝λ＋μ（λ>0，μ>0），則當(dāng)λμ取得最大值時，||的值為（　?。?/span>A．  B．3  C．  D．解析：∵點(diǎn)D是邊BC上的動點(diǎn)且＝λ＋μ（λ>0，μ>0），∴λ＋μ＝1，∴λμ≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝μ＝時等號成立，λμ取得最大值，此時點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴||＝||，∵||＝3，||＝4，∠BAC＝90°，∴||＝||＝．答案：C5．（2021·上海普陀區(qū)月考）設(shè)正數(shù)a，b滿足2a＋3b＝ab，則a＋b的最小值是________．解析：∵2a＋3b＝ab，a>0，b>0，∴＋＝1，∴a＋b＝（a＋b）＝＋＋5≥2＋5，當(dāng)且僅當(dāng)2a2＝3b2時等號成立，∴a＋b的最小值為2＋5．答案：2＋56．（2021·鶴崗一中月考）已知x<0，且x－y＝1，則x＋的最大值是________．解析：∵x<0，且x－y＝1，∴x＝y＋1，y<－1，∴x＋＝y＋1＋＝y＋＋＋，∵y＋<0，∴y＋＋＝－≤－，當(dāng)且僅當(dāng)y＝－時等號成立，∴x＋≤－，∴x＋的最大值為－．答案：－7．（2021·唐山模擬）已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1．（1）求證：a＋b≤2；（2）判斷等式＋＝c＋d能否成立，并說明理由．解析：（1）證明：由題意得（a＋b）2＝3ab＋1≤3＋1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．解得（a＋b）2≤4，又a，b>0，所以a＋b≤2．（2）不能成立．理由：由均值不等式得＋≤＋，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d時等號成立．因?yàn)?/span>a＋b≤2，所以＋≤1＋．因?yàn)?/span>c>0，d>0，cd>1，所以c＋d＝＋≥＋>＋1≥＋，故＋＝c＋d不能成立．[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]1．已知f（x）＝x3＋ax2＋（b－4）x（a>0，b>0）在x＝1處取得極值，則＋的最小值為（　?。?/span>A．  B．3＋2C．3  D．2解析：由f（x）＝x3＋ax2＋（b－4）x（a>0，b>0），得f′（x）＝x2＋2ax＋b－4．由題意得f′（1）＝12＋2a＋b－4＝0，則2a＋b＝3，所以＋＝×＝（2a＋b）＝≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝1時，等號成立．故＋的最小值為3．答案：C2．若直線l：ax－by＋2＝0（a>0，b>0）經(jīng)過圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為（　　）A．2  B．C．2＋1  D．＋解析：直線ax－by＋2＝0（a>0，b>0）經(jīng)過圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心，即圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心（－1，2）在直線ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以＋＝（a＋2b）＝＋≥＋ ＝＋，當(dāng)且僅當(dāng)＝時等號成立，所以＋的最小值為＋．答案：D3．已知棱長為的正四面體ABCD，在側(cè)棱AB上任取一點(diǎn)E（與A，B不重合），若點(diǎn)E到平面ACD與平面BCD的距離分別為a，b，則＋的最小值為（　?。?/span>A．  B．C．  D．解析：如圖，連接CE，DE，設(shè)O為底面三角形BCD的中心，連接OA，則正四面體的高OA＝2．因?yàn)?/span>VA-BCD＝VE-BCD＋VE-ACD，所以a＋b＝2，所以＋＝（a＋b）＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝a時取等號．答案：C

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