第一節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第315頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1．如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，＋＋＝（　?。?/span>A．0　　　　　　　 B．C．  D．解析：由題圖知＋＋＝＋＋＝＋＝．答案：D2．設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則＋＋＋等于（　?。?/span>A．  B．2C．3  D．4解析：＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝2＋2＝4．答案：D3．（2021·合肥模擬）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足16－12－3＝0，則（　?。?/span>A．＝12＋3B．＝12－3C．＝－12＋3D．＝－12－3解析：對(duì)于A，＝12＋3＝12（－）＋3（－）＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，這與題干中條件相符合．答案：A4．已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0．若a∥b，則等于（　　）A．－　　　　　　　 B．C．－2  D．2解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ（ne1－e2），則故＝－2．答案：C5．（2021·濰坊模擬）若M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足＋＝4，則△ABM與△ACM的面積之比為（　?。?/span>A．  B．C．  D．2解析：設(shè)AC的中點(diǎn)為D，則＋＝2，于是2＝4，從而＝2，即M為BD的中點(diǎn)，于是＝＝＝．答案：A6．如圖所示，在等邊△ABC中，O為△ABC的重心，點(diǎn)D為BC邊上靠近B點(diǎn)的四等分點(diǎn)．若＝x＋y，則x＋y＝（　　）A．　　　　　 B．C．　　　　　 D．解析：設(shè)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接AE（圖略），可知O在AE上，由＝＋＝＋＝（＋）＋（－）＝－，故x＝，y＝－，x＋y＝．答案：B7．如圖所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，點(diǎn)C在AB上，OC⊥AB．若用和來表示向量，則＝_________．解析：易知＝＋＝＋＝＋（－）＝＋．答案：＋8．（2021·邯鄲模擬）設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝_________．解析：由于λa＋b與a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0，因?yàn)橄蛄?/span>a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝．答案：9．經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．解析：設(shè)＝a，＝b，則＝（a＋b），＝－＝nb－ma，＝－＝（a＋b）－ma＝a＋b．由P，G，Q共線得，存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，則消去λ，得＋＝3．10．在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)（小正方形頂點(diǎn)）上．若c與xa＋yb（x，y為非零實(shí)數(shù)）共線，求的值．解析：設(shè)e1，e2分別為水平方向（向右）與豎直方向（向上）的單位向量，則向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c與xa＋yb共線，得c＝λ（xa＋yb），所以e1－2e2＝2λ（x－y）e1＋λ（x－2y）e2，所以所以所以的值為．[B組　能力提升練]1．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　?。?/span>A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b．若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．答案：A2．（2021·丹東五校協(xié)作體聯(lián)考）P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，滿足＋＋＝2，若S△ABC＝6，則△PAB的面積為（　?。?/span>A．2  B．3C．4  D．8解析：因?yàn)?/span>＋＋＝2＝2（－），所以3＝－＝，所以∥，且方向相同．所以＝＝＝3，所以S△PAB＝＝2．答案：A3．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若＝a，＝b，則等于（　　）A．a＋b  B．a＋bC．a＋b  D．a＋b解析：如圖所示，＝＋，由題意知，＝a＋b，＝a－b，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，所以＝．所以＝＋＝a＋b＋＝a＋b．答案：B4．如圖所示，AB是圓O的一條直徑，C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則＝（　?。?/span>A．－B．2－2C．－D．2－2解析：連接CD（圖略），因?yàn)?/span>C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以CD∥AB，且AB＝2CD，所以＝2＝2（－）＝2－2．答案：D5．在△ABC中，＝2，＝＋λ，則λ＝_________．解析：∵A，D，B共線，∴＋λ＝1，∴λ＝．答案：6．（2021·包頭模擬）如圖所示，在△ABC中，AH⊥BC交BC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝_________．解析：因?yàn)?/span>＝（＋）＝[＋x（－）]＝[（1＋x）－x]，又因?yàn)?/span>＝λ＋μ，所以1＋x＝2λ，2μ＝－x，所以λ＋μ＝．答案：7．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2．（1）求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三點(diǎn)共線，求k的值．解析：（1）證明：由已知得＝－＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2．因?yàn)?/span>＝2e1－8e2，所以＝2．又，有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．（2）由（1）可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，由B，D，F三點(diǎn)共線得＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12．[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]1．（2021·鄭州模擬）如圖所示，A，B分別是射線OM，ON上的點(diǎn)，給出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－．若這些向量均以O為起點(diǎn)，則終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的有（　　）A．①②  B．②④C．①③  D．③⑤解析：在ON上取點(diǎn)C，使得OC＝2OB，以OA，OC為鄰邊作平行四邊形OCDA（圖略），則＝＋2，其終點(diǎn)不在陰影區(qū)域內(nèi)，排除A，C；取線段OA上一點(diǎn)E，使AE＝OA，作EF∥OB，交AB于點(diǎn)F，則EF＝OB，由于EF＜OB，所以＋的終點(diǎn)不在陰影區(qū)域內(nèi)，排除選項(xiàng)D．答案：B2．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D．若AB＝4，且＝＋λ（λ∈R），則AD的長為_________．解析：因?yàn)?/span>B，D，C三點(diǎn)共線，所以＋λ＝1，解得λ＝，如圖所示，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則＝，＝，因?yàn)?/span>△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，所以四邊形AMDN是菱形，因?yàn)?/span>AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3．答案：33．如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)＝α＋β（α，β∈R），則α＋β的取值范圍是_________．解析：當(dāng)P在△CDE內(nèi)時(shí)，直線EC是最近的平行線，過D點(diǎn)的平行線是最遠(yuǎn)的，所以α＋β∈＝[3，4]．答案：[3，4]

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