第三節(jié) 二項(xiàng)式定理授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第379頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1．（2021·杭州模擬）的展開式中x3的系數(shù)為（　?。?/span>A．5　　　　　　　　　　 B．10C．15  D．20解析：的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C，令10－r＝3?r＝7，所以展開式中x3的系數(shù)為C＝×＝15．答案：C2．（x＋2y）5的展開式中含x3y2項(xiàng)的系數(shù)為（　?。?/span>A．5  B．10C．20  D．40解析：（x＋2y）5的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cx5－r（2y）r，所以含x3y2項(xiàng)的系數(shù)即r＝2時的系數(shù)，即C×22＝40．答案：D3．的展開式的常數(shù)項(xiàng)為160，則實(shí)數(shù)a＝（　?。?/span>A．1  B．2C．3  D．4解析：的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C（ax）6－r·＝Ca6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ca6－3＝160，解得a＝2．答案：B4．在（1＋x）n（n∈N＋）的二項(xiàng)展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n＝（　?。?/span>A．8  B．9C．10  D．11解析：含x5的項(xiàng)是第6項(xiàng)，它是中間項(xiàng)，∴n＝10．答案：C5．（2021·湖南岳陽模擬）將多項(xiàng)式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得（x－2）（x＋2）5，則a5＝（　?。?/span>A．8  B．10C．12  D．1解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4的展開式中x3的系數(shù)為C·21＝8，所以a5＝8．答案：A6．在二項(xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為M，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為N，且M＋N＝72，則展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為（　　）A．18  B．12C．9  D．6解析：法一：令x＝1，得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和M＝4n，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和N＝2n，則2n＋4n＝72，得n＝3．則展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C（）3－k＝3kCx，令3－3k＝0，得k＝1，所以常數(shù)項(xiàng)為9．法二：令x＝1，得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和M＝4n，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和N＝2n，則2n＋4n＝72，得n＝3．可看作三個相乘，其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C××（）2＝9．答案：C7．（2021·湖南五市十校聯(lián)考）（x＋1）（x－1）6的展開式中x6的系數(shù)為_________．解析：（x－1）6的通項(xiàng)為Tr＋1＝Cx6－r·（－1）r，令r＝1，可得x5的系數(shù)為－6，令r＝0，可得x6的系數(shù)為1，所以（x＋1）（x－1）6的展開式中x6的系數(shù)為－6＋1＝－5．答案：－58．若二項(xiàng)式的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為_________．解析：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式是Tr＋1＝Cxn－r·＝C（－2）rxn－r，r＝0，1，2，…，n，令n－r＝0，得n＝r，所以正整數(shù)n的最小值為4．答案：49．已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求n的值；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解析：（1）由題設(shè)，得C＋·C＝2×·C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1（舍去）．（2）設(shè)第r＋1的系數(shù)最大，則即解得2≤r≤3．所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T3＝7x5，T4＝7x．10．（2021·福州段考）已知（－）n的二項(xiàng)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512．（1）求展開式中的所有有理項(xiàng)；（2）求（1－x）3＋（1－x）4＋…＋（1－x）n的展開式中x2的系數(shù)．解析：（1）∵（－）n的二項(xiàng)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，∴2n－1＝512＝29，∴n－1＝9，解得n＝10．∴Tr＋1＝C（）10－r（－）r＝（－1）rCx＋＝（－1）rCx5－（r＝0，1，…，10）．由5－∈Z，得r＝0，6．∴展開式中的所有有理項(xiàng)為T1＝Cx5＝x5，T7＝Cx4＝210x4．（2）展開式中x2的系數(shù)為C＋C＋…＋C＝（C－C）＋（C－C）＋…＋（C－C）＝C－C＝164．[B組　能力提升練]1．若（x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，則a8＝（　?。?/span>A．18  B．－18C．－27  D．27解析：由題意，得（x－3）9＝[（x－1）－2]9，a8表示展開式中含（x－1）8項(xiàng)的系數(shù)，故a8＝C（－2）＝－18．答案：B2．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（　?。?/span>A．64  B．－64C．84  D．－84解析：的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C·（）9－r·＝（－1）r·C·x，由＝0，得r＝3，∴的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T4＝（－1）3×C＝－84．答案：D3．（2021·茂名聯(lián)考）在（＋x）6的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（　?。?/span>A．200  B．180C．150  D．120解析：（＋x）6展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C（）6－r·xr＝Cx，令＝4，得r＝2，則T3＝Cx＝15x4．展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C＝Cy－r，令r＝2可得T3＝Cy－2＝10y－2．故項(xiàng)的系數(shù)為15×10＝150．答案：C4．（2021·岳陽模擬）將多項(xiàng)式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得（x－2）（x＋2）5，則a5＝（　?。?/span>A．8  B．10C．12  D．1解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4的展開式中x3的系數(shù)為C·21＝8，所以a5＝8．答案：A5．（2021·唐山摸底）在的展開式中，x4的系數(shù)為5，則實(shí)數(shù)a的值為_________．解析：由條件可知二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C·（ax2）5－r·＝（－2）rC·a5－rx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故（－2）2C·a3＝5，解得a＝．答案：6．若二項(xiàng)式的展開式中僅有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則其常數(shù)項(xiàng)是_________．解析：∵二項(xiàng)式的展開式中僅有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴n＝10，∴Tr＋1＝C（）10－r＝（－2）rC·x，令＝0，解得r＝6，∴常數(shù)項(xiàng)是（－2）6C＝13 440．答案：13 440[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]1．1－90C＋902C－903C＋…＋9010C 除以88的余數(shù)是（　?。?/span>A．－1  B．－87C．1  D．87解析：1－90C＋902C－903C＋…＋9010·C＝（1－90）10＝8910＝（88＋1）10＝C8810＋C889＋…＋C88＋C＝88k＋1（k為正整數(shù)），所以可知余數(shù)為1．答案：C2．（2021·廈門聯(lián)考）在的展開式中，x2的系數(shù)為（　　）A．10  B．30C．45  D．120解析：因?yàn)?/span>＝＝（1＋x）10＋C（1＋x）9＋…＋C，所以x2只出現(xiàn)在（1＋x）10的展開式中，所以含x2的項(xiàng)為Cx2，系數(shù)為C＝45．答案：C3．中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，m（m＞0）為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a＝b（b mod m）．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a＝b（b mod 10），則b的值可以是（　?。?/span>A．2 011　　 B．2 012  C．2 013　　　 D．2 014解析：因?yàn)?/span>a＝（1＋2）20＝320＝910＝（10－1）10＝C·1010－C·109＋…－C·10＋1，所以a被10除得的余數(shù)為1，結(jié)合選項(xiàng)知2 011被10除得的余數(shù)是1．答案：A

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