第六節(jié) 正弦定理和余弦定理授課提示：對應學生用書第311頁[A組　基礎保分練]1．（2021·遵義聯(lián)考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝2ccos A，sin A＝1，則sin C的值為（　?。?/span>A．　　　　　　　 B．C．  D．解析：∵sin A＝1，即sin A＝，又a＝2ccos A，cos A＝>0，∴cos A＝．由條件及正弦定理得sin A＝2sin Ccos A，即＝2×sin C，∴sin C＝．答案：B2．（2021·陽春一中月考）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．a＝x，b＝2，B＝30°，若三角形有兩個解，則x的取值范圍是（　　）A．（2，＋∞）  B．（2，2）C．（2，4）  D．（2，2）解析：因為三角形有兩個解，所以xsin B<b<x，可得2<x<4，即x的取值范圍是（2，4）．答案：C3．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為（　　）A．銳角三角形  B．直角三角形C．鈍角三角形  D．不確定解析：因為bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，所以sin（B＋C）＝sin2A，又sin（B＋C）＝sin A且sin A≠0，所以sin A＝1，所以A＝，所以△ABC為直角三角形．答案：B4．（2021·承德期末測試）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若b＝1，c＝，cos C＝，則a＝（　　）A．3  B．4C．5  D．6解析：由余弦定理可得cos C＝，即＝，整理可得（a－3）（3a＋5）＝0．結合a＞0，可得a＝3．答案：A5．（2021·江西上饒模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若2S＝（a＋b）2－c2，則tan C的值是（　?。?/span>A．  B．C．－  D．－解析：因為S＝absin C，c2＝a2＋b2－2abcos C，所以由2S＝（a＋b）2－c2，可得absin C＝（a＋b）2－（a2＋b2－2ab·cos C），整理得sin C－2cos C＝2，所以（sin C－2cos C）2＝4，所以＝4，＝4，化簡得3tan2C＋4tan C＝0，因為C∈（0，π），所以tan C＝－．答案：C6．（2021·青島質(zhì)檢）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，且滿足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，則cos A＝（　　）A．  B．C．  D．0解析：設BD＝x，則AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，易知cos∠ADC＝－cos∠BDC，由余弦定理可得＝－，解得x＝．故AD＝1，AC＝1，cos A＝＝0．答案：D7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，則＝_________．解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin Acos B－sin C－＝0．因為sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，所以cos A＝－，即A＝．由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以＝2．答案：28．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin Bcos C＋csin B·cos A＝b，則B＝_________．解析：∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，∴sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B．又∵sin B≠0，∴sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin（A＋C）＝sin B＝．∵0＜B＜π，∴B＝或．答案：或9．（2020·高考全國卷Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2＋cos A＝．（1）求A；（2）b－c＝a，證明：△ABC是直角三角形．解析：（1）由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0．所以＝0，cos A＝．由于0＜A＜π，故A＝．（2）證明：由正弦定理及已知條件可得sin B－sin C＝sin A．由（1）知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin ．即sin B－cos B＝，sin＝．由于0＜B＜，故B＝．從而△ABC是直角三角形．10．（2021·西安質(zhì)檢）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，已知2acos2＋2ccos2＝b．（1）求證：2（a＋c）＝3b；（2）若cos B＝，S＝，求b．解析：（1）證明：由已知得a（1＋cos C）＋c（1＋cos A）＝b．在△ABC中，過B作BD⊥AC，垂足為D（圖略），則acos C＋ccos A＝b．所以a＋c＝b，即2（a＋c）＝3b．（2）因為cos B＝，所以sin B＝．因為S＝acsin B＝ac＝，所以ac＝8．又b2＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－2ac（1＋cos B），2（a＋c）＝3b，所以b2＝－16×，所以b＝4．[B組　能力提升練]1．（2021·重慶六校聯(lián)考）在△ABC中，cos2＝（a，b，c分別為角A，B，C的對邊），則△ABC的形狀為（　?。?/span>A．直角三角形  B．等邊三角形C．等腰三角形  D．等腰三角形或直角三角形解析：已知等式變形得cos B＋1＝＋1，即cos B＝　①．由余弦定理得cos B＝，代入①得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C為直角，則△ABC為直角三角形．答案：A2．（2021·萊陽一中月考）在△ABC中，邊a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足bcos C＝（3a－c）cos B，若·＝4，則ac的值為（　?。?/span>A．12  B．11C．10  D．9解析：在△ABC中，∵bcos C＝（3a－c）cos B，由正弦定理可得sin Bcos C＝（3sin A－sin C）cos B，∴3sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，即3sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，即3sin Acos B＝sin（B＋C）＝sin A，又sin A≠0，故cos B＝．由·＝4，可得accos B＝4，即ac＝12．答案：A3．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，則△ABC的形狀是（　?。?/span>A．等腰直角三角形  B．直角三角形C．等腰三角形  D．等邊三角形解析：∵2cos Bsin A＝sin C，∴2·＝，則a＝b，所以△ABC為等腰三角形．答案：C4．（2021·葫蘆島質(zhì)檢）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，如果a，b，c成等差數(shù)列，B＝30°，△ABC的面積為，那么b＝（　?。?/span>A．  B．1＋C．  D．2＋解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－2ac－2accos B，又S△ABC＝acsin B＝ac＝，故ac＝6，因為a，b，c成等差數(shù)列，所以a＋c＝2b，可得b2＝4b2－12－6，整理得b2＝4＋2，得b＝1＋．答案：B5．（2021·北京海淀區(qū)模擬）在銳角△ABC中，角A，B所對的邊分別為a，b，若2asin B＝b，則角A＝_________．解析：因為2asin B＝b，所以2sin Asin B＝sin B，因為B∈（0，π），sin B≠0，所以sin A＝，所以A＝或A＝．因為△ABC為銳角三角形，所以A＝．答案：6．在△ABC中，A＝2B，AB＝，BC＝4，CD平分∠ACB交AB于點D，則線段AD的長為_________．解析：因為A＝2B，BC＝4，所以由正弦定理＝，得＝＝，所以cos B＝，則cos A＝cos 2B＝2cos2B－1＝－1．在△ABC中，ACcos A＋BCcos B＝AB，即AC·＋4·＝，解得AC＝－（舍去）或AC＝3，由三角形的角平分線，得＝，即＝，解得AD＝1．答案：17．已知△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2R（sin2 B－sin2 A）＝（b－c）sin C，c＝3．（1）求A；（2）若AD是BC邊上的中線，AD＝，求△ABC的面積．解析：（1）對于2R（sin2 B－sin2 A）＝（b－c）sin C，由正弦定理得bsin B－asin A＝bsin C－csin C，即b2－a2＝bc－c2，所以cos A＝＝．因為0°＜A°＜180°，所以A＝60°．（2）以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，連接DE，易知A，D，E三點共線．在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝2AD＝，在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 120°，即19＝9＋AC2－2×3×AC×，得AC＝2．故S△ABC＝bcsin∠BAC＝．8．（2021·汕頭模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，bsin A＝a·（2－cos B）．（1）求角B的大小；（2）D為邊AB上一點，且滿足CD＝2，AC＝4，銳角三角形△ACD的面積為，求BC的長．解析：（1）由正弦定理得sin Bsin A＝sin A（2－cos B），因為A∈（0，π），則sin A＞0，所以sin B＝2－cos B，所以2sin＝2，所以sin＝1，因為B∈（0，π），所以B＋＝，解得B＝．（2）由題意，可得S△ACD＝CD·CAsin∠ACD＝×2×4sin∠ACD＝，解得sin∠ACD＝．又因為△ACD為銳角三角形，所以cos∠ACD＝＝．在△ACD中，由余弦定理得AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos∠ACD＝42＋22－2×2×4×＝16，所以AD＝4．在△ACD中，由正弦定理得＝，則sin A＝·sin∠ACD＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，所以BC＝＝．[C組　創(chuàng)新應用練]1．如圖，四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形的內(nèi)部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，當∠ABC變化時，BD的最大值為_________．解析：設∠ACB＝θ，則∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋，由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即AC＝DC＝＝2cos θ，由余弦定理知，BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcos∠DCB，即BD2＝4cos2 θ＋1－2×1×2cos θ·cos＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝2sin＋3．由0＜θ＜，可得＜2θ＋＜，則（BD2）max＝2＋3，此時θ＝，因此（BD）max＝＋1．答案：＋12．（2021·云南師范大學附屬中學月考）在△ABC中，D為AC上一點，且AD＝2，DC＝1，BD為∠ABC的平分線，則△ABC面積的最大值為_________．解析：如圖，BD為∠ABC的角平分線，且AD＝2，CD＝1．由角平分線定理知＝＝2，令BC＝m，AB＝2m，由兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊知1＜m＜3．在△ABC中，由余弦定理知cos∠ABC＝＝－，所以S△ABC＝·2m·m·sin∠ABC＝m2＝m2＝＝≤＝3，當且僅當m2－1＝9－m2，即m＝時取等號，所以△ABC面積的最大值為3．答案：33．如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6．在AB邊上取點E，使得BE＝1，連接EC，ED．若∠CED＝，EC＝．（1）求sin∠BCE的值；（2）求CD的長．解析：（1）在△BEC中，由正弦定理，知＝．∵B＝，BE＝1，CE＝，∴sin∠BCE＝＝＝．（2）∵∠CED＝B＝，∴∠DEA＝∠BCE，∴cos∠DEA＝＝＝＝．∵A＝，∴△AED為直角三角形，又AE＝5，∴ED＝＝＝2．在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×＝49．∴CD＝7． 

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