y＝Asin（ωx＋φ）的圖像及應(yīng)用授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第309頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1．將函數(shù)y＝sin的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度，則所得函數(shù)圖像的解析式為（　　）A．y＝sin　　　 B．y＝sinC．y＝sin  D．y＝sin解析：函數(shù)y＝sin的圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得y＝sin的圖像，再將所得圖像向右平移個(gè)單位長度得y＝sin＝sin的圖像．答案：B2．（2020·高考全國卷Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）＝cos在[－π，π]的圖像大致如下圖，則f（x）的最小正周期為（　　）A．  B．C．  D．解析：由題圖知解得＜T＜，排除選項(xiàng)A，D．法一：若T＝，則|ω|＝＝，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)f≠0，排除選項(xiàng)B．故選C．法二：由題圖知－是函數(shù)的零點(diǎn)，且圖像在零點(diǎn)附近上升，所以－ω＋＝2kπ－，k∈Z，得ω＝－＋，k∈Z．當(dāng)T＝時(shí)，|ω|＝＝，此時(shí)k?Z，排除選項(xiàng)B．當(dāng)T＝時(shí)，|ω|＝＝，此時(shí)k＝0，符合題意．答案：C3．（2021·衡水模擬）設(shè)函數(shù)f（x）＝2cos（ωx＋φ）對(duì)任意的x∈R，都有f＝f，若函數(shù)g（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）＋2，則g的值是（　?。?/span>A．2  B．0C．2或4  D．1或3解析：∵f＝f，∴f（x）的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱．∴f＝2cos＝±2，即cos＝±1．∴g＝cos＋2．當(dāng)cos＝1時(shí)，原式＝3；當(dāng)cos＝－1時(shí)，原式＝1．答案：D4．（2021·湖南株洲模擬）若函數(shù)f（x）＝cos－a恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3的取值范圍是（　　）A．  B．C．  D．解析：由題意得方程cos＝a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．畫出函數(shù)y＝cos的大致圖像，如圖所示． 由圖像得，當(dāng)≤a<1時(shí)，方程cos＝a恰好有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z．當(dāng)k＝0時(shí)，x＝．不妨設(shè)x1<x2<x3，由題意得點(diǎn)（x1，0），（x2，0）關(guān)于直線x＝對(duì)稱，所以x1＋x2＝．又結(jié)合圖像可得π≤x3<，所以≤x1＋x2＋x3<．故x1＋x2＋x3的取值范圍為．答案：A5．（2021·河南鄭州三測）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的部分圖像如圖所示，要使f（a＋x）－f（a－x）＝0成立，則a的最小正值為（　?。?/span> A．  B．C．  D．解析：由函數(shù)圖像可得，函數(shù)的最大值為2，即A＝2．因?yàn)楹?/span>數(shù)圖像過點(diǎn)（0，1），即f（0）＝1，所以sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝．故f（x）＝2sin．因?yàn)楹瘮?shù)圖像過點(diǎn)，所以f＝0，即2sin＝0，又x＝在函數(shù)f（x）的增區(qū)間內(nèi)，所以令ω＋＝2kπ（k∈Z），解得ω＝（k∈Z）．由函數(shù)圖像可得最小正周期T>，即>，解得ω<．又ω>0，故k＝1，從而ω＝＝2．所以f（x）＝2sin．由f（a＋x）－f（a－x）＝0，得f（a＋x）＝f（a－x），所以該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x＝a．令2a＋＝nπ＋（n∈Z），解得a＝π＋（n∈Z）．要求a的最小正值，只需n＝0，得a＝．答案：B6．（2021·衡水中學(xué)調(diào)考）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0）的部分圖像如圖所示，其中M（m，0），N（n，2），P（π，0），且mn<0，則f（x）在下列區(qū)間中具有單調(diào)性的是（　?。?/span>A．B．C．D．解析：因?yàn)?/span>mn<0，所以m，n異號(hào)，根據(jù)圖像可得m<0，n>0，又P（π，0），所以T>π且<π，即π<T<；①當(dāng)周期無限接近π時(shí)，圖中的最低點(diǎn)自左向右無限接近，所以f（x）在區(qū)間上先減后增，不單調(diào)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；②當(dāng)周期無限接近又小于時(shí)，圖中最高點(diǎn)N的橫坐標(biāo)大于0小于，所以f（x）在區(qū)間上先增后減，不單調(diào)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；圖中最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于小于，f（x）在區(qū)間上先減后增，不單調(diào)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．答案：B7．（2021·福州期末測試）將函數(shù)y＝2sin x＋cos x的圖像向右平移φ個(gè)單位長度，得到函數(shù)y＝2sin x－cos x的圖像，則sin φ的值為_________．解析：因?yàn)?/span>y＝2sin x＋cos x＝sin（x＋θ），所以y＝2sin x－cos x＝sin（x－θ），其中cos θ＝，sin θ＝，所以φ＝2θ，所以sin φ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝．答案：8．（2021·揚(yáng)州七校聯(lián)考）設(shè)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分圖像如圖所示，則A＋ω＋φ＝_________．解析：由題圖可知A＝2，＝－，則T＝2π，ω＝1．再根據(jù)f＝2，得sin＝1，則＋φ＝＋2kπ（k∈Z），即φ＝＋2kπ（k∈Z）．又－<φ<，所以φ＝．因此A＋ω＋φ＝3＋．答案：3＋9．已知函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖像過點(diǎn)P，圖像上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．解析：（1）依題意得A＝5，周期T＝4＝π，所以ω＝＝2．故y＝5sin（2x＋φ），又圖像過點(diǎn)P，所以5sin＝0，由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，因?yàn)?/span>|φ|<，所以φ＝－，所以y＝5sin．（2）由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）．10．已知函數(shù)f（x）＝sin＋sin2x．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）若函數(shù)g（x）對(duì)任意x∈R，有g（x）＝f，求函數(shù)g（x）在上的值域．解析：（1）f（x）＝sin＋sin2x＝＋sin2x＝sin 2x＋cos 2x＋sin2x＝sin 2x＋cos2x－＋sin2x＝sin 2x＋1－＝sin 2x＋，所以f（x）的最小正周期T＝＝π．（2）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）對(duì)任意x∈R，有g（x）＝f，所以g（x）＝sin＋＝sin＋．當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈，則－≤sin≤1，則－×＋≤g（x）≤＋，即≤g（x）≤1．綜上所述，函數(shù)g（x）在上的值域?yàn)?/span>．[B組　能力提升練]1．若將函數(shù)f（x）＝sin圖像上的每一個(gè)點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長度，得到g（x）的圖像，則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　?。?/span>A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）解析：將函數(shù)f（x）＝sin圖像上的每一個(gè)點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）＝sin＝sin（2x＋π）＝－sin 2x的圖像，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），可得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），因此函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）．答案：A2．將函數(shù)g（x）＝2sin x＋1的圖像向左平移個(gè)單位長度，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)f（x）的圖像，若f（x1）＝f（x2）＝3，且－π≤x2<x1≤π，則x1－2x2的值為（　?。?/span>A．π  B．C．  D．解析：易求得f（x）＝2sin＋1，因?yàn)?/span>f（x1）＝f（x2）＝3，即sin＝1，所以2x＋＝2kπ＋（k∈Z），所以x＝＋kπ（k∈Z），由－π≤x2<x1≤π，得x2＝－，x1＝，則x1－2x2＝－2×＝．答案：D3．設(shè)ω>0，函數(shù)y＝sin（ωx＋φ）（－π<φ<π）的圖像向左平移個(gè)單位長度后，得到如圖所示的圖像，則ω，φ的值為（　?。?/span>A．ω＝2，φ＝  B．ω＝2，φ＝－C．ω＝1，φ＝－  D．ω＝1，φ＝解析：函數(shù)y＝sin（ωx＋φ）（－π<φ<π）的圖像向左平移個(gè)單位長度后可得y＝sin．由函數(shù)的圖像可知，＝－＝，所以T＝π．根據(jù)周期公式可得ω＝2，所以y＝sin．由圖知當(dāng)y＝－1時(shí)，x＝×＝，所以函數(shù)的圖像過，所以sin＝－1．因?yàn)椋?/span>π<φ<π，所以φ＝．答案：A4．（2021·南昌模擬）將函數(shù)f（x）＝sin  ωx（ω>0）的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖像，若函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于直線x＝ω對(duì)稱且在區(qū)間（－ω，ω）內(nèi)是增加的，則ω的值為（　?。?/span>A．  B．C．  D．解析：由題意得g（x）＝sin．因?yàn)?/span>g（x）在區(qū)間（－ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝ω對(duì)稱，所以g（ω）必是函數(shù)g（x）一個(gè)周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以w2＝＋2kπ，k∈Z，又ω－（－ω）≤，即ω2≤，所以ω2＝，所以ω＝．答案：A5．（2021·長春質(zhì)檢）將函數(shù)f（x）＝sin ωx（其中ω>0）的圖像向右平移個(gè)單位長度，所得圖像經(jīng)過點(diǎn)，則ω的最小值為_________．解析：函數(shù)向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）＝f＝sin＝sin．因?yàn)?/span>g（x）過點(diǎn)，所以sin＝0，即ω＝＝kπ，k∈Z．所以ω＝k，又因?yàn)?/span>ω>0，所以ω的最小值為．答案：6．（2021·武漢調(diào)研）函數(shù)f（x）＝Acos（ωx＋φ）（ω>0）的部分圖像如圖所示，給出以下結(jié)論：①f（x）的最小正周期為2；②f（x）圖像的一條對(duì)稱軸為直線x＝－；③f（x）在，k∈Z上是減函數(shù)；④f（x）的最大值為A．則正確的結(jié)論為_________．（填序號(hào)）解析：由題圖可知，函數(shù)f（x）的最小正周期T＝2×＝2，故①正確；因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖像過點(diǎn)和，所以函數(shù)f（x）圖像的對(duì)稱軸為直線x＝×＋＝＋k（k∈Z），故直線x＝－不是函數(shù)f（x）圖像的對(duì)稱軸，故②不正確；由圖可知，當(dāng)－＋kT≤x≤＋＋kT（k∈Z），即2k－≤x≤2k＋（k∈Z）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，故③正確；若A>0，則最大值是A，若A<0，則最大值是－A，故④不正確．答案：①③7．已知函數(shù)f（x）＝sin（ω>0）的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若將f（x）的圖像向左平移m（m>0）個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)，求當(dāng)m取得最小值時(shí)，g（x）在上的單調(diào)遞增區(qū)間．解析：（1）函數(shù)f（x）的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，得函數(shù)f（x）的最小正周期為T＝2×＝，得ω＝1，故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝sin．（2）將f（x）的圖像向左平移m（m>0）個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）＝sin＝sin的圖像，根據(jù)g（x）的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)，可得sin＝0，即sin＝0，所以2m－＝kπ（k∈Z），m＝＋（k∈Z），因?yàn)?/span>m>0，所以當(dāng)k＝0時(shí)，m取得最小值，且最小值為．此時(shí)，g（x）＝sin．因?yàn)?/span>x∈，所以2x＋∈．當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，g（x）單調(diào)遞增．綜上，g（x）在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間是和．[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]1．（2021·武漢市高三二調(diào)）函數(shù)f（x）＝2sin（ω>0）的圖像在[0，1]上恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（　?。?/span>A．[2π，4π]  B．C．  D．解析：法一：由函數(shù)f（x）在[0，1]上恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)，及正弦函數(shù)的圖像可知ω＋∈，則≤ω<．法二：取ω＝2π，則f（x）＝2sin，故2πx＋＝＋2kπ，k∈Z，得x＝＋k，k∈Z，則在[0，1]上只有x＝，不滿足題意，排除A，B，D．答案：C2．（2021·濟(jì)南模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1．（1）若函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱，且ω∈[0，3]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解析：（1）函數(shù)f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin＋＋b．因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）．（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b．因?yàn)?/span>x∈，所以2x＋∈．當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．又f（0）＝f，所以當(dāng)f>0≥f或f＝0時(shí)，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即sin≤－b－<sin或1＋＋b＝0，所以b∈∪．

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