人教B版 (2019)必修第二冊第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.4 冪函數(shù)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?4.4　冪函數(shù)
學(xué) 習(xí) 任務(wù)
核心素養(yǎng)(教師獨具)
1．掌握冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)．(重點)
2．熟悉α＝1,2,3，，－1時的五類冪函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其特點．(易錯點)
3．能利用冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決綜合問題．(難點)
1．通過冪函數(shù)概念與圖像的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助冪函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng).

給出下列五個問題：
①如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，這里p是w的函數(shù)．
②如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數(shù)．
③如果正方體的棱長為a，那么正方體的體積V＝a3，這里V是a的函數(shù)．
④如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長a＝S，這里a是S的函數(shù)．
⑤如果某人t s內(nèi)騎車行進了1 m，那么他騎車的平均速度v＝t－1 m/s，這里v是t的函數(shù)．
問題：(1)上述5個問題中，若自變量都用x表示，因變量用y表示，則對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式分別是什么？
(2)你能根據(jù)指數(shù)運算的定義，把問題1中的五個函數(shù)改寫成統(tǒng)一形式嗎？
[提示]　(1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝，⑤y＝.
(2)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x，⑤y＝x－1．
知識點1　冪函數(shù)的概念及五個常見的冪函數(shù)
1．冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α是常數(shù)．
冪函數(shù)y＝xα與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)有什么樣的區(qū)別？
[提示]　冪函數(shù)y＝xα的底數(shù)為自變量，指數(shù)是常數(shù)，而指數(shù)函數(shù)正好相反，指數(shù)函數(shù)y＝ax中，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量．
2．五個常見冪函數(shù)的圖像

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)函數(shù)y＝x是冪函數(shù)． (　　)
(2)函數(shù)y＝2－x是冪函數(shù)． (　　)
(3)冪函數(shù)的圖像都不過第二、四象限． (　　)
[提示]　(1)√.函數(shù)y＝x符合冪函數(shù)的定義，所以是冪函數(shù)．
(2)×.冪函數(shù)中自變量x是底數(shù)，而不是指數(shù)，所以y＝2－x不是冪函數(shù)．
(3)×.冪函數(shù)y＝x2過第二象限．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2.下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是(　　)
A．y＝　　　 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
C　[形如y＝xα的函數(shù)為冪函數(shù)，只有C不是．]
知識點2　冪函數(shù)的圖像特征及性質(zhì)
(1)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像，在經(jīng)過點(1,1)且平行于y軸的直線的右側(cè)，按冪指數(shù)由小到大的關(guān)系冪函數(shù)的圖像從下到上分布．
(2)當(dāng)α＞0時，圖像過點(1,1)，(0,0)，且在第一象限隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．
(3)當(dāng)α＜0時，冪函數(shù)的圖像，過點(1,1)，且在第一象限隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且向右無限接近x軸，向上無限接近y軸．
(4)當(dāng)α為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．
3.冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖像一定不經(jīng)過(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
A　[由冪函數(shù)的圖像可知，其圖像一定不經(jīng)過第四象限．]
4.已知冪函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(2，)，則f(4)＝________.
2　[設(shè)f(x)＝xα，∴α＝，∴f(4)＝4＝2.]

類型1　冪函數(shù)的概念
【例1】　函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x是冪函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，求f(x)的解析式．
[解]　根據(jù)冪函數(shù)定義得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
當(dāng)m＝2時，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，不符合要求．
∴f(x)的解析式為f(x)＝x3.

如何判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)？
[提示]　(1)只有形如y＝xα(其中α為任意實數(shù)，x為自變量)的函數(shù)才是冪函數(shù)，否則就不是冪函數(shù)．
(2)判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且①指數(shù)為常數(shù)，②底數(shù)為自變量，③底數(shù)系數(shù)為1．形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函數(shù)都不是冪函數(shù)．反過來，若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也必具有這一形式．

1．已知f(x)＝(m2＋2m)x，m為何值時，f(x)是：
(1)正比例函數(shù)？(2)反比例函數(shù)？
(3)二次函數(shù)？(4)冪函數(shù)？
[解]　(1)若f(x)為正比例函數(shù)，則?m＝1．
(2)若f(x)為反比例函數(shù)，
則?m＝－1．
(3)若f(x)為二次函數(shù)，則?m＝.
(4)若f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，所以m＝－1±.
類型2　冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)
【例2】　(1)冪函數(shù)y＝x(m∈Z)的圖像如圖所示，則m的值為(　　)

A．－1＜m＜4　　 B．0或2
C．1或3 D．0,1,2或3
(2)已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖像關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足(a＋3)