4.5　增長速度的比較學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)(教師獨(dú)具)1．了解和體會函數(shù)模型在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用．(一般)2．理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義以及三種函數(shù)模型性質(zhì)的比較．(重點(diǎn))3．會分析具體的實(shí)際問題，能夠建模解決實(shí)際問題．(難點(diǎn))1．通過三種不同增長的函數(shù)模型差異的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．借助函數(shù)模型的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).杰米是百萬富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一個(gè)叫韋伯的人對他說：“我想和你訂個(gè)合同，我將在整整一個(gè)月中(這個(gè)月有31天)，每天給你10萬元，而你第一天只需給我1分錢，以后你每天給我的錢是前一天的兩倍．”杰米說：“真的？你說話算數(shù)？”合同開始生效了，杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分錢，收入10萬元.第二天杰米支出2分錢，收入10萬元，到了第10天，杰米共得100萬元，而總共才付出10元2角3分.到了第20天，杰米共得200萬元，而韋伯才得1萬多元.杰米想：要是合同訂二、三個(gè)月該多好！可從21天起，情況發(fā)生了轉(zhuǎn)變.第22天杰米支出2萬多，收入10萬，到第28天，杰米支出134萬多，收入10萬.結(jié)果，杰米在一個(gè)月?31天?內(nèi)得到310萬元的同時(shí)，共付給韋伯2千1百多萬元！杰米破產(chǎn)了.問題：?1?寫出杰米總共收到韋伯的錢y?單位：分?與天數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式.?2?寫出杰米每天支出y?單位：分?與天數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式.[提示]　?1?y＝107x?x∈N*?.?2?y＝2x－1?x∈N*?.知識點(diǎn)　函數(shù)值增長速度的比較1．用平均變化率比較函數(shù)值變化的快慢(1)定義：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1＜x2時(shí))或[x2，x1](x1＞x2時(shí))上的平均變化率為＝.(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比．(3)理解：自變量每增加1個(gè)單位，函數(shù)值平均將增加個(gè)單位．(4)應(yīng)用：比較函數(shù)值變化的快慢．2．兩種重要的函數(shù)增長(1)指數(shù)增長；①性質(zhì)：當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax，當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，隨著自變量的增大，f(x)＝ax的函數(shù)值增長的越來越快．②定義：類似指數(shù)函數(shù)的增長稱為指數(shù)增長(或指數(shù)級增長、爆炸式增長)．(2)線性增長：類似一次函數(shù)的增長稱為線性增長(或直線增長)．1．下列說法正確的有________(填序號)．①若f(x)＝2x＋1，自變量每增加1個(gè)單位，函數(shù)值將增加1個(gè)單位；②增長速度是不為0的常數(shù)的函數(shù)模型是線性增長模型；③指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的增長速度一定比線性增長速度大．②　[①自變量每增加1個(gè)單位，函數(shù)值將增加2個(gè)單位．②線性增長的增長速度是不變的．③當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)增長速度比線性增長速度大．]2.下列函數(shù)中，隨x的增大而增大且速度最快的是________(填序號)．①y＝ex；②y＝ln x；③y＝7x；④y＝e－x.[答案]　① 類型1　比較函數(shù)值增加的快慢【例1】　(對接教材P39例1)已知函數(shù)y＝4x，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[1,2]與[3,4]上的平均變化率，并說明，當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值變化的規(guī)律．[解]　因?yàn)?/span>＝＝，所以y＝4x在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為＝12，在區(qū)間[3,4]上的平均變化率為＝192，所以當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，區(qū)間的左端點(diǎn)值越大，函數(shù)值增加越快．1．計(jì)算函數(shù)在不同區(qū)間上的平均變化率，利用平均變化率的大小比較函數(shù)值增加的快慢．2．平均變化率的大小也代表了區(qū)間的端點(diǎn)處的曲線上兩點(diǎn)連線斜率的大小，通過直線可以直觀觀察函數(shù)值的變化對曲線變化趨勢的影響．1．已知函數(shù)y＝x2－2x－3.(1)分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[1,2] 與[3,4]上的平均變化率，分析當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值變化的規(guī)律；(2)記A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，判定直線AB與直線BC斜率的相對大?。?/span>[解]　(1)＝＝x2＋x1－2，所以在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為1，在區(qū)間[3,4]上的平均變化率為5，所以當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，區(qū)間的左端點(diǎn)值越大，函數(shù)值增加越快．(2)直線AB的斜率為1，直線CD的斜率為5，直線AB的斜率小于直線CD的斜率． 類型2　比較不同函數(shù)平均變化率的大小【例2】　已知函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比較這三個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，a＋1](a＞1)上的平均變化率的大?。?/span>[解]　因?yàn)?/span>＝＝2×3a，＝＝2，＝＝log3，又因?yàn)?/span>a＞1，所以2×3a＞2×31＝6，log3＜log3＝log32＜log33＝1＜6，因此在區(qū)間[a，a＋1]上，f(x)的平均變化率最大，h(x)的平均變化率最?。?/span>不同函數(shù)平均變化率大小的比較方法計(jì)算不同的函數(shù)在同一個(gè)區(qū)間上的平均變化率；利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小，一般選取一個(gè)中間值進(jìn)行比較，以確定平均變化率的大?。?/span>2．已知函數(shù)f(x)＝4x，g(x)＝5x，分別計(jì)算這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間[2,3]上的平均變化率，并比較它們的大?。?/span>[解]　＝＝48，＝＝100，所以在區(qū)間[2,3]上f(x)的平均變化率比g(x)的?。?/span> 類型3　三類函數(shù)圖像的比較【例3】　函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖像如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖像，判斷f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大?。?/span>[思路探究]　首先判斷x1，x2的范圍，再判斷6和2 021在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)，從而得到f(6)與g(6)，f(2 021)與g(2 021)的大小．最后四個(gè)值進(jìn)行排序．[解]　(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2 021＞x2.從圖像上可以看出，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)．當(dāng)x＞x2時(shí)，f(x)＞g(x)，∴f(2 021)＞g(2 021)．又∵g(2 021)＞g(6)，∴f(2 021)＞g(2 021)＞g(6)＞f(6)．由圖像判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖像判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖像上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖像最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖像趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．3．(1)若－1＜x＜0，則不等式中成立的是(　　)A．5－x＜5x＜0.5x B．5x＜0.5x＜5－xC．5x＜5－x＜0.5x D．0.5x＜5－x＜5x(2)函數(shù)f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的圖像如圖所示．①試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；②比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖像交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)．(1)B　[畫出y1＝5－x，y2＝5x，y3＝0.5x的圖像如圖，所以5x＜0.5x＜5－x.](2)[解]　①C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lg x.②當(dāng)x＜x1時(shí)，g(x)＞f(x)；當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f(x)＞g(x)；當(dāng)x＞x2時(shí)，g(x)＞f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x).1．我們常用函數(shù)y＝f(x)的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值來表示平均變化率，當(dāng)自變量x由x0改變到x0＋Δx時(shí)，函數(shù)值的改變量Δy等于(　　)A．f(x0＋Δx)　　 B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)D　[∵自變量x由x0改變到x0＋Δx，當(dāng)x＝x0時(shí)，y＝f(x0)，當(dāng)x＝x0＋Δx時(shí)，y＝f(x0＋Δx)，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故選D．]2．函數(shù)f(x)＝x3－ln x在區(qū)間[1，e]上的平均變化率是(　　)A． B．C． D．B　[∵f(e)－f(1)＝e3－1－1＝e3－2，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的平均變化率是，故選B．]3．下列函數(shù)中，增長速度最快的是(　　)A．y＝2 020x B．y＝x2 020C．y＝log2 020x D．y＝2 020xA　[比較冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快，故選A．]4．已知增函數(shù)f(x)的圖像如圖，則它的一個(gè)可能的解析式為(　　)A．y＝2 B．y＝4－C．y＝log3(x＋1) D．y＝x(x≥0)B　[由于過(1,2)點(diǎn)，排除C，D；由圖像與直線y＝4無限接近，y＜4，排除A，所以選B．]5．已知函數(shù)f(x)＝x＋，則f(x)在[1,2]上的平均變化率為________，f(x)在[3,5]上的平均變化率為________．　　[自變量x從1變化到2時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為＝＝.自變量x從3變化到5時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變化率為＝＝.]回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：1．平均變化率的幾何意義是什么？[提示]　設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲線y＝f(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)y＝f(x)的平均變化率＝＝為割線AB的斜率，如圖所示．注意：Δx是變量x2在x1處的改變量，且x2是x1附近的任意一點(diǎn)，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以為正，也可以為負(fù)．2．三類常見不同函數(shù)增長的差異有哪些？[提示]　　　函數(shù)性質(zhì)　　y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)單調(diào)性遞增增長速度不變先慢后快先快后慢圖像變化隨x的增大，圖像均勻上升隨x的增大，圖像上升的速度逐漸變快，當(dāng)x很大時(shí)，呈“爆炸式”增長隨x的增大，圖像上升的速度逐漸變慢

相關(guān)學(xué)案

人教B版 (2019)必修 第二冊第四章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.4 冪函數(shù)學(xué)案：

這是一份人教B版 (2019)必修 第二冊第四章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.4 冪函數(shù)學(xué)案，共12頁。

人教B版 (2019)必修 第二冊4.4 冪函數(shù)學(xué)案及答案：

這是一份人教B版 (2019)必修 第二冊4.4 冪函數(shù)學(xué)案及答案，共7頁。

2021學(xué)年4.1.2 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)案：

這是一份2021學(xué)年4.1.2 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)案，共10頁。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.5 增長速度的比較

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第二冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部