?4.2.3　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像
學(xué) 習(xí) 任 務(wù)
核 心 素 養(yǎng)(教師獨具)
1．理解對數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)．(重點)
2．根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)．(易混點)
3．初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會解與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域、值域問題．(難點)
1．通過對數(shù)函數(shù)定義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).


中科院古脊椎動物與古人類研究所的專家向外界確認，河南汝陽村李錘發(fā)現(xiàn)的“龍骨”實際上是一頭距今已有8 000萬至1億年歷史的黃河巨龍的肋骨．經(jīng)過發(fā)掘、整理、還原模型，專家推斷這條黃河巨龍活著的時候，體重應(yīng)該在60噸左右，是迄今為止亞洲最高大、最肥胖的“亞洲龍王”．
同學(xué)們，你們知道專家是怎樣依據(jù)化石估算出黃河巨龍的生活年代的嗎？那就讓我們學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)模型——對數(shù)函數(shù)來解決這個問題吧！
問題：(1)考古學(xué)家一般通過提取附著在出土文物、古遺址上死亡物體的殘留物，利用t＝logP(P為碳14含量)估算出土文物或古遺址的年代t，那么t是P的函數(shù)嗎？為什么？
(2)函數(shù)t＝logP的解析式與函數(shù)y＝log2x的解析式有什么共同特征？
[提示]　(1)t是P的函數(shù)，因為對于P每取一個確定的值按照對應(yīng)關(guān)系f：t＝logP，都有唯一的t值與之相對應(yīng)，故t是P的函數(shù)．
(2)兩個函數(shù)都是對數(shù)的真數(shù)作為函數(shù)的自變量．
知識點1　對數(shù)函數(shù)的定義
一般地，函數(shù)y＝logax稱為對數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a＞0且a≠1．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)函數(shù)y＝logx是對數(shù)函數(shù)． (　　)
(2)函數(shù)y＝2log3x是對數(shù)函數(shù)． (　　)
(3)函數(shù)y＝log3(x＋1)的定義域是(0，＋∞)． (　　)
[提示]　(1)×.對數(shù)函數(shù)中自變量x在真數(shù)的位置上，且x>0，所以(1)錯；
(2)×.在解析式y(tǒng)＝logax中，logax的系數(shù)必須是1，所以(2)錯；
(3)×.由對數(shù)式y(tǒng)＝log3(x＋1)的真數(shù)x＋1>0可得x>－1，所以函數(shù)的定義域為(－1，＋∞)，所以(3)錯．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
知識點2　對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的性質(zhì)與圖像
定義
y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)
圖像
a＞1
0＜a＜1


性
質(zhì)
定義域
(0，＋∞)
值域
R
單調(diào)性
增函數(shù)
減函數(shù)
過定點
圖像過點(1,0)，即loga1＝0
函數(shù)值
特點
x∈(0,1)時，
y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)時，
y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)時，
y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)時，
y∈(－∞，0]
對稱性
函數(shù)y＝logax與y＝logx的圖像關(guān)于x軸對稱
函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的底數(shù)變化對圖像位置有何影響？
[提示]　觀察圖像，總結(jié)變化規(guī)律：

(1)上下比較：在直線x＝1的右側(cè)，a>1時，a越大，圖像越靠近x軸，00且a≠1)的定義域為{x|x>0}；
選項B中，y＝x的定義域為R，y＝的定義域為{x|x≥0}；
選項C中，函數(shù)的定義域均為{x|x>0}；
選項D中，y＝x2的定義域為R，y＝lg x2的定義域為{x|x∈R且x≠0}．]
3.函數(shù)y＝x＋a與函數(shù)y＝logax的圖像可能是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D
C　[因為a為對數(shù)函數(shù)y＝logax的底數(shù)，所以a>0且a≠1．同時a為直線y＝x＋a在y軸上的截距，所以排除A、D．當(dāng)a>1時，y＝logax為增函數(shù)，y＝x＋a在y軸上的截距大于1，所以排除B．]

類型1　對數(shù)函數(shù)概念的應(yīng)用
【例1】　(1)下列給出的函數(shù)：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)；③y＝log x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx，其中是對數(shù)函數(shù)的為(　　)
A．③④⑤　　　 B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，則a＝______.
(1)D　(2)4　[(1)①中對數(shù)式后面加1，所以不是對數(shù)函數(shù)；②中真數(shù)不是自變量x，所以不是對數(shù)函數(shù)；③和⑥符合對數(shù)函數(shù)概念的三個特征，是對數(shù)函數(shù)；④中l(wèi)og3x前的系數(shù)不是1，所以不是對數(shù)函數(shù)；⑤中底數(shù)是自變量x，而非常數(shù)a，所以不是對數(shù)函數(shù)．故③⑥正確．
(2)由于y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，則有解得a＝4.]

如何判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)？
[提示]　



1．(1)函數(shù)f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝________.
(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則f(－8)＝________.
(1)1　(2)－3　[(1)由a2－a＋1＝1解得a＝1或a＝0，
又a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1．
(2)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.]
類型2　對數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題
【例2】　(1)(對接教材P27例3)求下列函數(shù)的定義域：
①y＝；
②f(x)＝；
③y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
(2)求下列函數(shù)的值域：
①y＝log2(x2＋4)；②y＝log(3＋2x－x2)．
[思路探究]　(1)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?構(gòu)建不等式組?解不等式組．
(2)利用函數(shù)的單調(diào)性及真數(shù)取值范圍求解．
[解]　(1)①由題意得
即也即x≤1．
故函數(shù)y＝的定義域為(－∞，1]．
②由得x0且a≠1)的圖像又過哪一定點呢？
[提示]　對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖像過定點(1,0)；在f(x)＝loga(2x－1)＋2中，令2x－1＝1，即x＝1，則f(1)＝2，所以函數(shù)f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的圖像過定點(1,2)．
2．從左向右，對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖像呈上升趨勢還是下降趨勢？其圖像是上凸還是下凸？
[提示]　當(dāng)01時，對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖像從左向右呈上升趨勢，此時其圖像上凸．
3．如圖，曲線C1，C2，C3，C4分別對應(yīng)y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的圖像，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小關(guān)系嗎？

[提示]　作直線y＝1(圖略)，它與各曲線C1，C2，C3，C4的交點的橫坐標(biāo)就是各對數(shù)的底數(shù)，由此可判斷出各底數(shù)的大小，必有a4>a3>1>a2>a1>0.

【例3】　(1)已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖像如圖，則下列結(jié)論成立的是(　　)

A．a(chǎn)>1，c>1　　　 B．a(chǎn)>1,0

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版本： 人教B版 (2019)

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