1.理解等差數(shù)列的概念,并能利用等差數(shù)列的定義判斷或證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列.
2.掌握等差數(shù)列的通項公式和等差中項的概念.
3.掌握等差數(shù)列的性質(zhì),并能在具體問題中正確應(yīng)用.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
重點： 等差數(shù)列概念的理解、通項公式的應(yīng)用
難點：等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)及等差數(shù)列的函數(shù)特征
1．等差數(shù)列的概念
2 ；前一項 ；同一個常數(shù) ；常數(shù) ；d
2.等差數(shù)列的通項公式
一般地,若等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則通項公式為：an=a1+(n-1)d.
點睛： 等差數(shù)列的通項公式an中共含有四個變量,即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三個量,就可由通項公式求出第四個量.
3.從函數(shù)角度認識等差數(shù)列{an}
若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，
則an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；
(2)這些點的橫坐標每增加1，函數(shù)值增加d
4.等差數(shù)列的性質(zhì)：一般地，如果{an}是等差數(shù)列， 而且正整數(shù)s,t,p,q滿足s+t=p+q
則as+at=ap+aq.
特別地，如果2s=p+q，則2as=ap+aq.
問題探究
問題：觀察下列現(xiàn)實生活中的數(shù)列，回答后面的問題。
我國有用12生肖紀年的習慣，例如.2017年是雞年，從2017年開始，雞年的年份為2017 ，2029， 2041，2053，2065 ，2077，…；①
我國確定鞋號的腳長使用毫米來表示，常用確定鞋號腳長值按從大到小的順序可排列為275，270，265，260，255，250?！?；②
2019年1月中，每個星期日的日期為
6，13 ，20， 27.③
（1）數(shù)列①②③在數(shù)學中都稱為等差數(shù)列，它們有什么共同點？你能給等差數(shù)列下一個定義嗎？
（2）你能總結(jié)出數(shù)列①②③的通項公式并得出一般等差數(shù)列的通項公式嗎？

探究1.你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？
探究2.在等差數(shù)列的通項公式中， an與n的關(guān)系與以前學過的什么函數(shù)有關(guān)?
探究3.如果A為x與y的等差中項，那么A能用x與y表示出來嗎
探究4.設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1，求出a2+a7,a3+a6, 并比較它們的大小。你能由此總結(jié)出一個一般的結(jié)論并給出證明嗎？
二、典例解析
例1.判斷以下數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，指出公差；如果不是，說明理由.
（1）7,13,19,25,31；
（2）2,4,7,11；
（3）-1,-3,-5,-7.
例2.已知等差數(shù)列10,7,4，…
（1）求這個數(shù)列的第10項；
（2） -56是不是這個數(shù)列中的項？-40呢？如果是，求出是第幾項；如果不是，說明理由.
1.等差數(shù)列通項公式的求法
(1)等差數(shù)列的通項公式有兩個基本量:首項a1和公差d,故求通項公式主要是利用方程思想解a1,d.
(2)等差數(shù)列通項公式的另兩種形式:
①an=am+(n-m)d;
②an=kn+b(k,b是常數(shù)).
2.方程思想的應(yīng)用
等差數(shù)列的通項公式是一個等式,且含有a1,an,n,d四個字母,當把任何一個字母看作未知數(shù)時,就構(gòu)成一個方程,從而可以通過解方程的方法求出這四個字母中的任何一個.
跟蹤訓(xùn)練2.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.
例3.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-5，判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列，如果是求出公差，如果不是說明理由.
例4.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,求證:對于任意的正整數(shù)m,n ，有
an=am+n-md
例5.已知等差數(shù)列{an}中，a5=3, a7=9, 求a10.
例6.已知數(shù)列{an}中，
an-1=an+an-22
在n≥3時恒成立，求證： {an}是等差數(shù)列.
例7.如圖所示，已知某梯子共有5級，從上往下數(shù)，第1級的寬為35cm，第5級的寬為43cm，且各級的寬度從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，求其余三級的寬度.
等差數(shù)列的常用性質(zhì)
等差數(shù)列有很多條性質(zhì),但常用的主要有兩條:若{an}為等差數(shù)列,則
(1)當m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)時,總有am+an=ap+aq.
(2)當m+n=2k(m,n,k∈N+)時,總有am+an=2ak.
跟蹤訓(xùn)練4. (1)在等差數(shù)列{an}中,已知a1,a2 021為方程x2-10x+21=0的兩根,則a2+a2 020等于( )
A.10 B.15 C.20 D.40
(2)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7= .
1．數(shù)列{an}的通項公式為an＝5－3n，則此數(shù)列( )
A．是公差為－3的等差數(shù)列
B．是公差為5的等差數(shù)列
C．是首項為5的等差數(shù)列
D．是公差為n的等差數(shù)列
2．等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝( )
A．8 B．12 C．16 D．24
3.已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,則m和n的等差中項是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
4.在等差數(shù)列{an}中,a3=7,a5=a2+6,則a6= .
5.若三個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為9,平方和為59,則這三個數(shù)的積為 .
6．若等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a2是關(guān)于x的方程
x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項公式．
參考答案：
知識梳理
學習過程
問題探究
問題： 不難看出，上述數(shù)列①②③的共同特點是 ：從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于同一個常數(shù).具體地，
數(shù)列① 從第2項起每一項與它前一項之差都等于12；
數(shù)列 ②從第2項起每一項與它前一項之差都等于-5；
數(shù)列 ②從第2項起每一項與它前一項之差都等于7.
探究1.設(shè)一個等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的定義，
可得an+1-an= d
所以a2-a1= d, a3-a2= d, a4-a3= d,…
于是 a2=a1+ d,
a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,
a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,……
歸納可得an=a1+(n-1) d (n≥2)
當n=1時，上式為a1=a1+(1-1) d=a1，這就是說,上式當時也成立。
因此，首項為a1,公差為d的等差數(shù)列an的通項公式為an=a1+(n-1) d
另外根據(jù)等差數(shù)列的定義可得：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d(n≥2)，
將上述(n－1)個式子相加得
an－a1＝(n－1)d(n≥2)，
∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
當n＝1時，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
探究2.因為
an=a1+(n-1) d=nd+a1-d
所以如果記
fx=xd+a1-d
則可以看出an=fn，而且;
（1）當公差d=0時， fx是常數(shù)函數(shù)，此時數(shù)列{an}是常數(shù)列（因此，公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列）；
（2）公差d≠0時，fx是一次函數(shù)，而且fx的增減性依賴于公差的符號，因此，當d>0時， {an}是遞增數(shù)列，當d

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5.2.1 等差數(shù)列

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