15.4分式（單元檢測）  一、單選題1．如果a，b，c為非零有理數且a + b + c = 0，那么的所有可能的值為（　　 A．0 B．1或- 1 C．2或- 2 D．0或- 2【答案】A【分析】根據題意確定出a，b，c中負數的個數，原式利用絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果．【詳解】∵a、b、c為非零有理數，且a+b+c=0∴a、b、c只能為兩正一負或一正兩負．
①當a、b、c為兩正一負時，設a、b為正，c為負，
原式=1+1+（-1）+（-1）=0，
②當a、b、c為一正兩負時，設a為正，b、c為負
原式1+（-1）+（-1）+1=0，
綜上，的值為0，
故答案為：0．【點評】此題考查了絕對值，有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．2．下列是最簡分式的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用最簡分式的定義：分式分子分母沒有公因式，判斷即可．【詳解】A、原式=，不符合題意；B、原式為最簡分式，符合題意；C、原式=，不符合題意；D、原式=，不符合題意.故選B．【點評】此題考查了最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義是解本題的關鍵．3．已知，則的值是（    ）A．2 B． C．或 D．2或【答案】D【分析】先由已知條件得到或，再把通分，并根據完全平方公式變形，然后分兩種情況代入計算即可．【詳解】，或，解得或．原式．當時，原式；當時，原式．原式的值是2或．故選D．【點評】本題考查了分式的化簡求值，以及完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本題的關鍵．4．對于實數、，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數運算．例如：．則方程的解是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題中的新運算法則表達出方程，再根據分式方程的解法解答即可．【詳解】∴方程表達為：解得：，經檢驗，是原方程的解，故選：B．【點評】本題考查了新定義的運算法則的計算、分式方程的解法，解題的關鍵是理解題中給出的新運算法則及分式方程的解法．5．分式與的最簡公分母是（    ）A．x4-y4 B．(x2+y2)(x2﹣y2) C．(x﹣y)4 D．(x+y)2(x﹣y)【答案】D【分析】把第二個分式的分母分解因式，然后根據最簡公分母的確定方法解答．【詳解】∵x2-y2=（x+y）（x-y），∴（x+y）2與x2-y2的最簡公分母為（x+y）2（x-y），故選D．【點評】本題考查了最簡公分母的確定，關鍵在于對分母正確分解因式．6．把實數用小數表示為（）A．0.0612 B．6120 C．0.00612 D．612000【答案】C【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10?n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】6.12×10?3＝0.00612，故選C．【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10?n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．7．將分式中的x、y的值同時擴大3倍，則擴大后分式的值（　?。?/span>A．擴大3倍 B．擴大9倍C．保持不變 D．縮小到原來的【答案】A【分析】根據x、y的值同時擴大3倍后求出分式的值，和原來比較求出結果．【詳解】∵中的x、y的值同時擴大3倍，∴＝3．所以擴大了3倍．故選A．【點評】本題考查分式的基本性質，關鍵是算出x，y都擴大后的結果和原來比較即可求解．8．已知關于的分式方程的解是非正數，則的取值范圍是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程解為正數確定出m的范圍即可【詳解】，方程兩邊同乘以，得，移項及合并同類項，得，分式方程的解是非正數，，，解得，，故選A．【點評】此題考查分式方程的解，解題關鍵在于掌握運算法則求出m的值9．十堰即將跨入高鐵時代，鋼軌鋪設任務也將完成．現還有米的鋼軌需要鋪設，為確保年底通車，如果實際施工時每天比原計劃多鋪設米，就能提前天完成任務．設原計劃每天鋪設鋼軌米，則根據題意所列的方程是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】A【分析】設原計劃每天鋪設鋼軌米，根據如果實際施工時每天比原計劃多鋪設米，就能提前天完成任務可列方程．【詳解】設原計劃每天鋪設鋼軌米，可得：，故選A．【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，關鍵是設出未知數以時間為等量關系列出方程．10．若數a使關于x的不等式組，有且僅有三個整數解，且使關于y的分式方程=1有整數解，則滿足條件的所有a的值之和是（　?。?/span>A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18【答案】B【解析】【分析】利用不等式組和已知條件，確定a的取值范圍，求出分式方程的解，求出滿足有整數解的a的值即可解決問題；【詳解】;
由①得到：x≥-3，
由②得到：x≤，
∵不等式組有且僅有三個整數解，
∴-1≤＜0，
解得-8≤a＜-3．
由分式方程:=1解得y=-，
∵有整數解，
∴a=-8或-4，
-8-4=-12，
故選：B．【點評】本題考查分式方程的解，一元一次不等式組等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．11．A，B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程（　　）A． B．C． +4＝9 D．【答案】A【分析】根據輪船在靜水中的速度為x千米/時可進一步得出順流與逆流速度，從而得出各自航行時間，然后根據兩次航行時間共用去9小時進一步列出方程組即可.【詳解】∵輪船在靜水中的速度為x千米/時，∴順流航行時間為：，逆流航行時間為：，∴可得出方程：，故選：A．【點評】本題主要考查了分式方程的應用，熟練掌握順流與逆流速度的性質是解題關鍵．12．下列變形從左到右一定正確的是(    )．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分式的基本性質依次計算各項后即可解答．【詳解】選項A，根據分式的基本性質，分式的分子和分母都乘以或除以同一個不是0的整式，分式的值不變，分式的分子和分母都減去2不一定成立，選項A錯誤；選項B，當c≠0時，等式才成立，即，選項B錯誤；選項C，隱含著x≠0，由等式的右邊分式的分子和分母都除以x，根據分式的基本性質得出，選項C正確；選項D，當a=2，b=-3時，左邊≠右邊，選項D錯誤．故選C．【點評】本題考查了分式的基本性質的應用，主要檢查學生能否正確運用性質進行變形，熟練運用分式的基本性質是解決問題的關鍵．  二、填空題13．用換元法解方程﹣＝1，設y＝，那么原方程可以化為關于y的整式方程為_____．【答案】y2+y﹣2＝0【分析】可根據方程特點設y＝，則原方程可化為﹣y＝1，化成整式方程即可．【詳解】方程﹣＝1，若設y＝，把設y＝代入方程得：﹣y＝1，方程兩邊同乘y，整理得y2+y﹣2＝0．故答案為：y2+y﹣2＝0．【點評】本題主要考查用換元法解分式方程，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應注意總結能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．14．代數式有意義時，x應滿足的條件為______．【答案】 【詳解】代數式有意義，則 ，解得： ．故答案為 ． 15．分式的值是整數，負整數m的值為_______．【答案】－1或－3【解析】分析：根據分式的性質即可求出答案．詳解：由題意可知： m?1=-1或-2或-4，當m?1=-1時，∴m=0，不符合題意，當m?1=-2時，∴m=-1，符合題意，當m?1=-4時，∴m=-3，符合題意，綜上所述，m=－1或－3，故答案為－1或－3點睛：此題考查了分式的值，分式的值為0，當且僅當A=0，B≠0；分式的值為1，當且僅當A=B≠0；分式的值為-1，當且僅當A=-B≠0.16．甲、乙兩輛汽車同時從地出發(fā)，開往相距的地，甲、乙兩車的速度之比是，結果乙車比甲車早分鐘到達地，則甲車的速度為_____．【答案】80【分析】設甲車的速度為，則乙車的速度為，根據乙車比甲車早30分鐘到達B地列方程求解即可.【詳解】設甲車的速度為，則乙車的速度為，依題意，得，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，故答案為80.【點評】本題考查了分式方程的應用，弄清題意，找準等量關系列出方程是解題的關鍵.注意分式方程要驗根. 三、解答題17．某服裝店到廠家選購A、B兩種品牌的兒童服裝，每套A品牌服裝進價比B品牌服裝每套進價多25元，已知用2000元購進A種服裝的數量是用750元購進B種服裝數量的2倍．    （1）求A、B兩種品牌服裝每套進價分別為多少元？    （2）若A品牌服裝每套售價為130元，B品牌服裝每套售價為95元，服裝店老板決定，購進B品牌服裝的數量比購進A品牌服裝的數量的2倍還多4套，兩種服裝全部售出后，要使總利潤不少于1200元，則最少購進A品牌的服裝多少套？【答案】（1）A、B兩種品牌服裝的進價分別為100元和75元；（2）最少購進A品牌的服裝16套【分析】（1）首先設A品牌服裝每套進價為x元，則B品牌服裝每套進價為(x-25)元，根據關鍵語句“用2000元購進A種服裝數量是用750元購進B種服裝數量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先設購進A品牌的服裝a套，則購進B品牌服裝(2a+4)套，根據“可使總的獲利超過1200元”可得不等式(130-100)a+(95-75)(2a+4)≥1200，再解不等式即可．【詳解】（1）設B品牌服裝每套進價為x元種，則A品牌服裝每套進價為(x+25)元 根據題意得： ， 解得：x=75 經檢驗：x=75 是原方程的解，x+25=100，答：A、B兩種品牌服裝的進價分別為100元和75元；（2）設購買A種品牌服裝a件，則購買B種品牌服裝(2a+4)件，根據題意得： (130-100) a+(95-75) (2a+4)1200，解得：，∴a取最小值是16，答：最少購進A品牌的服裝16套．【點評】本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用，弄清題意，表示出A、B兩種品牌服裝每套進價，根據購進的服裝的數量關系列出分式方程，求出進價是解決問題的關鍵．18．某校利用暑假進行田徑場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進場施工，計劃用40天時間完成整個工程：當一號施工隊工作5天后，承包單位接到通知，有一大型活動要在該田徑場舉行，要求比原計劃提前14天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施工隊共同完成剩余工程，結果按通知要求如期完成整個工程.(1)若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？(2)若此項工程一號、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要多少天？【答案】（1）60天；（2）24天.【解析】分析：（1）設二號施工隊單獨施工需要x天，根據題意可知一號施工隊5天工作總量與一號施工隊和二號施工隊合作工作總量之和=1列出方程求解即可；（2）根據工作總量÷工作效率=工作時間求解即可. 詳解：（1）設二號施工隊單獨施工需要x天，依題可得   解得x=60，  經檢驗，x=60是原分式方程的解，  ∴由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要60天．（2）由題可得（天），∴若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要24天.點睛：本題考查了列分式方程解應用題，靈活運用和掌握工作總量÷工作效率=工作時間是解題關鍵.19．先化簡：﹣÷，并在x＝﹣3，﹣1，0，1中選一個合適的值代入求值．【答案】，2【分析】先根據分式的混合運算化簡原式，再代入使原分式有意義的值進行計算．【詳解】原式＝∵x＝﹣3或±1時，原式無意義，∴取x＝0時，原式＝2．【點評】此題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則是解題關鍵．20．解分式方程(1)=0 ；(2).【答案】（1）x=﹣1；（2）x=.【分析】（1）先乘以最簡公分母去分母，再加減運算求出x并檢驗即可；（2）先乘以最簡公分母去分母，再加減運算求出x并檢驗即可.【詳解】（1）去分母得：x﹣2﹣3x=0，解得：x=﹣1，經檢驗x=-1是分式方程的解．（2）去分母得，x﹣1+2（x﹣2）=﹣3，3x﹣5=﹣3，解得x=，檢驗：把x=代入x﹣2≠0，所以x=是原方程的解．【點評】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練的掌握分式方程的運算法則.21．有一種用來畫圓的工具板（如圖所示），工具板長，上面依次排列著大小不等的五個圓（孔），其中最大圓的直徑為，其余圓的直徑從左到右依次遞減．最大圓的左側距工具板左側邊緣，最小圓的右側距工具板右側邊緣，相鄰兩圓的間距d均相等．（1）用含x的代數式表示其余四個圓的直徑；（2）若最大圓與最小圓的直徑之比為，求相鄰兩圓的間距．【答案】（1）其余四個圓的直徑從大到小依次為，，，．（2）．【分析】（1）根據題意：最大圓的直徑為，其余圓的直徑從左到右依次遞減解答即可；（2）先根據最大圓與最小圓的直徑之比為列出方程求出x，再根據5個圓的直徑+4d+3=21即可列出方程，解方程即得結果．【詳解】（1）其余四個圓的直徑從大到小依次為，，，；（2）由題意可知，解得：．經檢驗，是所列分式方程的解，．．答：相鄰兩圓的間距為．【點評】本題考查了據題意列出代數式和分式方程的簡單應用，正確理解題意、熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵．22．某商場用24 000元購入一批空調，然后以每臺3 000元的價格銷售，因天氣炎熱．空調很快售完；商場又用52 000元再次購入一批該種型號的空調，數量是第一次購入的2倍，但購入的單價上調了200元，每臺的售價也上調了200元．（1）商場第一次購入的空調每臺進價是多少元？（2）商場既要盡快售完第二次購入的空調，又要在第二次空調銷售中獲得的利潤率不低于20%，打算將第二次購入的部分空調按每臺九五折出售，最多可將多少臺空調打折出售？【答案】（1）2400元；（2）10臺【分析】（1）設商場第一次購入的空調每臺進價是x元，根據題目條件“商場又以52000元的價格再次購入該種型號的空調，數量是第一次購入的2倍，但購入的單價上調了200元，每臺的售價也上調了200元”列出分式方程解答即可；（2）設將y臺空調打折出售，根據題目條件“在這兩次空調銷售中獲得的利潤率不低于20%，打算將第二次購入的部分空調按每臺九五折出售”列出不等式并解答即可．【詳解】（1）設商場第一次購入的空調每臺進價是x元，由題意列方程得：＝，解得：x＝2400，經檢驗x＝2400是原方程的根，答：商場第一次購入的空調每臺進價是2400元；（2）設將y臺空調打折出售，根據題意，得：（3000+200）×0.95y+（3000+200）×（﹣y）≥52000×（1+20%），解得：y≤10，答：最多將10臺空調打折出售．【點評】本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用．利用分式方程解應用題時，一般題目中會有兩個相等關系，這時要根據題目所要解決的問題，選擇其中的一個相等關系作為列方程的依據，而另一個則用來設未知數．解答分式方程時，還要一定要注意驗根．23．某商場購進甲、乙兩種商品，甲種商品共用了元，乙種商品共用了元．已知乙種商品每件進價比甲種商品每件進價多元，且購進的甲、乙兩種商品件數相同．求甲、乙兩種商品的每件進價；該商場將購進的甲、乙兩種商品進行銷售，甲種商品的銷售單價為元，乙種商品的銷售單價為元，銷售過程中發(fā)現甲種商品銷量不好，商場決定：甲種商品銷售一定數量后，將剩余的甲種商品按原銷售單價的九折銷售；乙種商品銷售單價保持不變．要使兩種商品全部售完后共獲利不少于元，問甲種商品按原銷售單價至少銷售多少件？【答案】（1）甲種商品的每件進價為50元，乙種商品的每件進價為60元；（2）甲種商品按原銷售單價至少銷售20件．【分析】（1）設甲種商品的每件進價為元，則乙種商品的每件進價為元，根據購進兩種商品件數相同列分式方程即可得答案；（2）先求出兩種商品的數量，根據商品全部售完后共獲利不少于元列不等式即可得答案.【詳解】設甲種商品的每件進價為元，則乙種商品的每件進價為元．根據題意，得，，解得．經檢驗，是原方程的解．∴x+10=60，答：甲種商品的每件進價為元，乙種商品的每件進價為元.甲、乙兩種商品的數量為．設甲種商品按原銷售單價銷售件，∵商品全部售完后共獲利不少于元，∴，解得．答：甲種商品按原銷售單價至少銷售件．【點評】本題考查分式方程的應用及一元一次不等式的應用，正確找出等量關系及不等關系是解題關鍵.24．已知a、b、c均不等于0，且++=0，求證：a2+b2+c2=（a+b+c）2．【答案】證明見解析【解析】試題分析：先將＝0兩邊乘以abc去掉分母得bc＋ac＋ab＝0，然后計算右邊＝(a＋b＋c)2＝ a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，然后將bc＋ac＋ab＝0代入即可得出結論．試題解析：解：由＝0，得bc＋ac＋ab＝0∴右邊＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2∴右邊＝a2＋b2＋c2＝左邊，∴等式成立．  

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