?13.3.2等邊三角形


一、單選題
1．如圖，點(diǎn)F在正五邊形的內(nèi)部，為等邊三角形，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB=BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根據(jù)角的和差關(guān)系可得出∠FBC的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠BFC的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．
【詳解】∵是正五邊形，
∴∠ABC==108°，AB=BC，
∵為等邊三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC==66°，
∴=∠AFB+∠BFC=126°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查多邊形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
2．如圖，是等邊三角形，是邊上的中線，點(diǎn)在上，且，則（ ）

A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【分析】由是等邊三角形，可得∠B=60°，由是邊上的中線，可得BD=CD=，AD⊥BC，由，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性質(zhì)可求∠AFC=105°．
【詳解】∵是等邊三角形，
∴∠B=60°，AB=AC，
∵是邊上的中線，
∴BD=CD=，AD⊥BC，
∵，
∴ED=CD，∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．
故選擇：B．
【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形性質(zhì)，等式性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握等邊三角形性質(zhì)，等式性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．如圖，在等邊中，，點(diǎn)E在中線上，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P沿著折線運(yùn)動(dòng)，且在上的速度是4單位/秒，在上的速度是2單位/秒，當(dāng)點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到C所用時(shí)間最少時(shí)，長為（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】作于點(diǎn)，求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則最短時(shí)滿足題意．
【詳解】作于點(diǎn)，
則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，

，
，
，
當(dāng)，，共線時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，
為三角形中線，點(diǎn)為重心，
，，
，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考等邊三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形重心將中線分成1：2兩部分．
4．已知銳角∠AOB，如圖：
（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作弧MN，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；
（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接CP，DP；
（3）作射線OP交CD于點(diǎn)Q．
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，有如下結(jié)論：①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．其中正確的有（　?。?br />
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．③
【答案】B
【分析】根據(jù)作法可得△POC≌△POD，從而可判斷③正確，根據(jù)作法知：PC＝PD，OC＝OD，根據(jù)線段垂直平分線的判定知④正確，由作法知△PCD是等邊三角形，及CD⊥OP，可得②正確，至于①則不一定正確．
【詳解】由作圖可知，OC＝OD，CP＝DP，
在△POC和△POD中，
，
∴△POC≌△POD（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，故③正確，
由作圖可知，PC＝CD＝PD，
∴△PCD是等邊三角形，
∴∠CPD＝60°，
∵PC＝PD，OC＝OD，
∴OP⊥CD，故④正確，
∵∠CPQ＝∠DPQ＝30°，
∴CP＝2QC，故②正確，
∵∠ODC顯然不一定是60°，
∴PC與OD顯然不平行，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的定義與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，尺規(guī)作圖等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)作圖得出題目的條件．
5．如圖，在中，，，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)E，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算．
【詳解】垂直平分，
，
，
，
(cm) ，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形判定和性質(zhì)以及30°直角三角形的性質(zhì)．掌握在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題關(guān)鍵．
6．下列命題的逆命題是真命題的是（ ）
A．同位角相等，兩直線平行 B．等邊三角形是銳角三角形
C．若兩個(gè)角是直角，則它們相等 D．全等三角形的對應(yīng)角相等
【答案】A
【分析】先寫出逆命題，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等邊三角形的定義、全等三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】A、逆命題：兩直線平行，同位角相等，
此逆命題是真命題，此項(xiàng)符合題意；
B、逆命題：銳角三角形是等邊三角形，
此逆命題是假命題，此項(xiàng)不符題意；
C、逆命題：若兩個(gè)角相等，則它們是直角，
此逆命題是假命題，此項(xiàng)不符題意；
D、逆命題：三個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形，
此逆命題是假命題，此項(xiàng)不符題意；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了命題與逆命題、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的定義、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，正確寫出各命題的逆命題是解題關(guān)鍵．
7．如圖，直角梯形紙片對邊，是直角，將紙片沿著EF折疊，DF的對應(yīng)邊交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H平分交AC于點(diǎn)H，則結(jié)論：①；②；③；④，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，由折疊的性質(zhì)可得∠GFE=∠EFD，可得∠AGF=2∠GFE，∠GEF=∠GFE=∠EFD，可判斷①和②，由角平分線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可得∠GFE+∠D'FH=90°，由余角的性質(zhì)可得∠CHF=∠GFE，可判斷③，由折疊的性質(zhì)可求∠BEF的值，可求∠GFE=∠GEF=55°，可判斷④，即可求解．
【詳解】∵AB∥CD，
∴∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，
∵將紙片沿著EF折疊，DF的對應(yīng)邊D'F交AB于點(diǎn)G，
∴∠GFE=∠EFD，
∴∠AGF=2∠GFE，故①正確；
∵∠GEF=∠GFE=∠EFD，
∴GE=GF，
∵無法證明△GEF是等邊三角形，
∴GE≠EF，
∴∠EGF≠∠GFE；故②錯(cuò)誤；
∵FH平分∠CFD'，
∴∠CFH=∠D'FH，
∵∠D'FC+∠D'FD=180°，
∴∠GFE+∠D'FH=90°，
又∵∠CHF+∠HFC=90°，
∴∠CHF=∠GFE，故③正確；
∵將紙片沿著EF折疊，DF的對應(yīng)邊D'F交AB于點(diǎn)G，
∴∠BEF=∠B'EF，
∴∠BEF==125°，
∴∠GEF=55°=∠GFE，故④正確，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換，梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
8．如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（ ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ是等邊三角形；
③平分；
④△BPO≌△EDO．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．
【詳解】∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，
∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴①的說法是正確的；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，
∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，
∴△CPQ是等邊三角形；
∴②的說法是正確的；
∵△PCD≌△QCE，
∴PD=QE，，

過點(diǎn)C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，
∴，
∴CG=CH，
∴平分，
∴③的說法是正確的；
無法證明△BPO≌△EDO．
∴④的說法是錯(cuò)誤的；
故答案為①②③，
故選B．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，靈活進(jìn)行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．


二、填空題
9．在中，，，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)；再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圈心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)D．則與的數(shù)量關(guān)系是____．

【答案】
【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可知平分，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的定義可得，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，由此即可得出答案．
【詳解】在中，，，
，
由角平分線的尺規(guī)作圖可知，平分，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖、等腰三角形的定義、含角的直角三角形，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．
10．如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，，若，則_______．

【答案】75°
【分析】作于點(diǎn)，連結(jié)，作于點(diǎn)，則，，根據(jù)三角形的外角定理得到，從而得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出，最后得到．
【詳解】作于點(diǎn)，連結(jié)，作于點(diǎn)，

設(shè)，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題考查了等腰直角三角形和含角的直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟記相應(yīng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在邊長為6的菱形中，為其對角線，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且．連接、、，交于點(diǎn)．則點(diǎn)到直線的距離的最大值為________．


【答案】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到為等邊三角形，再證明，繼而證明是等邊三角形，當(dāng)時(shí)，作于，結(jié)合含30°角的直角三角形解得的長，在中，由勾股定理解得的長．
【詳解】
【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形、勾股定理、四邊形中線段最短等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
12．如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從市的北偏東60°方向直線延伸，測繪員在處測得要安裝天然氣的小區(qū)在市北偏東30°方向，測繪員沿主輸氣管道步行2000米到達(dá)處，測得小區(qū)位于的北偏西60°方向．當(dāng)在主輸氣管道上尋找支管道連接點(diǎn)，使到該小區(qū)鋪設(shè)的管道最短時(shí)，的長為______．

【答案】1500米
【分析】過M作MN⊥AC交于N點(diǎn)，即MN最短，根據(jù)方向角可以證得∠AMC＝90°，根據(jù)三角函數(shù)即可求得MC，進(jìn)而求得AN的長．
【詳解】如圖，過M作MN⊥AC交于N點(diǎn)，即MN最短，

∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，
∴∠CAM＝30°，
∴∠AMN＝60°，
又∵C處看M點(diǎn)為北偏西60°，
∴∠FCM＝60°，
∴∠MCB＝30°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝30°，
∴∠MCA＝∠MCB＋∠BCA＝60°，
∴在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，
∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，
∴NC＝MC＝500，
∵AC＝2000米，
∴AN＝AC?NC＝2000?500＝1500（米）．
故答案是：1500米．
【點(diǎn)評】本題主要考查了方向角的含義，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出高線，證明△AMC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
13．如圖1，正的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正，再把正的各邊延長一倍得到正（如圖2），如此進(jìn)行下去，......，則（1）正的面積為______；（2）正的面積為______（用含有的式子表示，為正整數(shù)）．

【答案】7
【分析】先根據(jù)已知條件求出及的面積，再根據(jù)兩三角形的倍數(shù)關(guān)系求解即可．
【詳解】△ABC與△A1AB1底相等（AC=AA1），高為1：2（AB1=2AB），
∴面積比為1：2，
∵△ABC面積為1，∴．
同理可得，的面積=的面積=2
∴的面積=的面積+的面積+的面積+的面積=2+2+2+1=7；
同理可證的面積=7的面積=49，
∴如此下去，則正AnBnCn的面積=7n．
故答案為：7，7n．
【點(diǎn)評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及三角形的面積，根據(jù)題意得出找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
14．如圖，等邊△ABC中，AB＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AC的延長線上，且DE＝DF，∠EDF＝120°，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，若DG＝GF，則BE+CF＝_____________．

【答案】
【分析】作DM⊥AB于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和求得∠GDC＝30°，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】作DM⊥AB于M，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝2，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD＝DC＝1，
∵DG⊥AF，
∴∠GDC＝30°，
∴GC＝DC＝，DG＝GC＝，
∵DG＝GF，
∴GF＝，
∴CF＝，
∵DG＝GF，
∴GDF＝45°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠EDG＝75°，
∴∠EDC＝105°，
∴∠BDE＝75°，
∴∠BED＝45°，
∵DM⊥AB，
∴∠MED＝∠MDE＝45°，
∴ME＝MD，
∵∠B＝60°，
∴BM＝BD＝，MD＝，
∴ME＝，
∴BE＝，
∴BE+CF＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．

三、解答題
15．如圖，，，．求證：．

【答案】證明見解析
【分析】先證△ADE≌△ABC（AAS），得AE＝AC，再證△ACE是等邊三角形，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
16．如圖a，已知點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，和都是等邊三角形．

（1）求證：；
（2）如圖b，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在上時(shí)．
①求的長及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②在x軸上是否存在點(diǎn)P，使為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
③如圖c，點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)B，C除外），過點(diǎn)M作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？簡要說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）①，；②存在，，或；③不會(huì)變化，見解析
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，求得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①由點(diǎn)，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求得，過E作軸于F，角三角形即可得到結(jié)論；②存在，如圖d，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；③不會(huì)變化，如圖c，連接，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
在與中，

∴，
∴；
（2）解：①∵點(diǎn)，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
過E作軸于F，

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
②存在，如圖d，當(dāng)時(shí)，

∵，
∴，，
∴，；
當(dāng)，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，重合，
∴當(dāng)為等腰三角形時(shí)，，或；
③不會(huì)變化，如圖c，連接，

∵，
∵，
∴，
∴的值不會(huì)發(fā)生變化．
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題型，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于點(diǎn)E．
（1）求證：AD＝EB；
（2）若∠DCE＝15°，AB＝2，請直接寫出DE的長．

【答案】（1）見詳解；（2）4-2
【分析】（1）此題根據(jù)直角梯形的性質(zhì)和CE⊥BD可以得到全等條件，證明△ABD≌△ECB，然后利用全等三角形的性質(zhì)證明題目的結(jié)論．
（2）根已知條件得到：∠CBE＝∠ADB＝30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得BD和AD的長度，再結(jié)合△ABD≌△ECB，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵∠A＝90°，CE⊥BD于E，
∴∠A＝∠CEB＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠ADB．
又∵BD＝BC，
∴△ABD≌△ECB（AAS），
∴BE＝AD；
（2）解：∵∠DCE＝15°，CE⊥BD于E，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠BCE＝60°，∠CBE＝∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AB＝2．
∴BD＝4，AD＝2，
∵△ABD≌△ECB，
∴BE=DA=2，
∴DE=BD- BE=4-2．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，此題把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決問題，是關(guān)鍵．
18．將兩個(gè)完全相同的含角直角三角板如圖所示放置，

（1）求證：；
（2）連接，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）30°
【分析】（1）欲證△ADF≌△CDE，已知有∠E=∠F=30°，∠EDC=∠FDA，因此還差一條邊對應(yīng)相等；由已知有BE=BF，根據(jù)直角三角形中30°角的性質(zhì)，可得BC=BF，AB=BE，則必有EC=FA，從而可證得結(jié)論成立；
（2）由（1）可得CD=AD，又DC⊥BE，DA⊥BF，由角平分線的判定定理即可得BD平分∠ABC，從而可求得∠ABD的度數(shù)．
【詳解】（1）∵三角板ABE、三角板CBF是兩塊一樣的直角三角板
∴BE=BF，∠E=∠F=30°，∠EAB=∠FCB=90°
∴ BC=BF，AB=BE
∴BC=AB
∴BE?BC=BF?AB
∴EC=FA
在△ADF和△CDE中

∴ △ADF≌△CDE（AAS）
（2）∵△ADF≌△CDE
∴AD=CD
∵∠EAB=∠FCB=90°
∴BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠ABC
∵∠ABC=90°?∠E=60°
∴∠ABD=30°
【點(diǎn)評】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理、直角三角形30°的性質(zhì)；關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)得出BC= AB ．
19．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，，垂足分別為，，且，，求證：是等邊三角形．

【答案】證明見解析
【分析】用HL證△BED≌△CFD，得出∠B=∠C,再證∠B=60°即可．
【詳解】證明：∵，，
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵，
∴∠B=60°，
是等邊三角形．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用直角三角形的全等判定定理證明等腰，再依據(jù)等邊三角形的判定進(jìn)行證明．
20．如圖，等邊△ABC的邊長為．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→B→A→C的方向運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A→C的方向運(yùn)動(dòng)，速度為，兩個(gè)點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：
（1）當(dāng)時(shí)，BP= （用含的式子表示）；
（2）當(dāng)= 時(shí)，PQ//BC，此時(shí)，△APQ是 三角形；
（3）當(dāng)時(shí)，求的值．

【答案】（1） ；（2） ，等邊；（3）當(dāng)時(shí)，或．
【分析】（1）根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”可判斷當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在邊AB上，即可求解；
（2）由平行線的性質(zhì)可求∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，可證△APQ是等邊三角形，可得AP＝AQ，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由BP＝2cm，列出方程可求解．
【詳解】（1）解：由題意得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在邊AB上，
∴BP=（cm），
故答案為： ；
（2）如圖，∵PQ∥BC，
∴∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴AP＝AQ，
∴20﹣4x＝3x﹣10，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，PQ∥BC，此時(shí)△APQ是等邊三角形；

故答案為：，等邊；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，
∴10﹣4x＝2，
∴x＝2，
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，
∴4x﹣10＝2，
∴x＝3，
∴當(dāng)BP＝2cm時(shí)，x＝2或3．
【點(diǎn)評】本題為等邊三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，利用分類討論思想解決問題是解決問題的關(guān)鍵．
21．如圖．已知點(diǎn)和點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)和點(diǎn)在的同側(cè)，，，和相交于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）當(dāng)時(shí)，猜想的形狀，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）是等邊三角形，見解析
【分析】（1）由“SAS”可證△ABC≌△EDF；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠HDB＝∠HBD，由外角性質(zhì)可得∠HDB＝∠HBD＝60°，可證△HDB是等邊三角形．
【詳解】（1）證明：，
，
．
又，，
，
；
（2）是等邊三角形；
理由：∵，
∴，
，
．
，
，
是等邊三角形．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，證明△ABC≌△EDF是本題的關(guān)鍵．
22．如圖，是等邊三角形，D是上一點(diǎn)，延長到E，使，連接，．

（1）如圖，若D是的中點(diǎn)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系是______．
（2）若D是AC上任意一點(diǎn)，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并畫圖證明．
【答案】（1）BD=DE；（2）結(jié)論為：=，證明見詳解．
【分析】（1）由是等邊三角形，可得∠ABC=∠ACB=60°，由D是的中點(diǎn)，可得BD平分∠ABC，AD=DC，∠DBC=，由AD=CE，可得CD=CE，可求∠E=∠CDE=，可得∠DBC=∠E=30°即可；
（2）結(jié)論為：=，過D作DF∥BC交AB于F，可證△AFD為等邊三角形，可證△BFD≌△DCE（SAS）即可；
【詳解】（1）∵是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵D是的中點(diǎn)，
∴BD平分∠ABC，AD=DC，
∴∠DBC=，
∵AD=CE，
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE=，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE，
故答案為：BD=DE；
（2）結(jié)論為：=過D作DF∥BC交AB于F，
∴∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°，
∴△AFD為等邊三角形，
∴FD=AD=CE=AF，
∴BF=AB-AF=AC-AD=CD，
∴∠BFD=180°-60°=∠DCE，
在△BFD和△DCE中，
，
∴△BFD≌△DCE（SAS），
∴BD=DE．

【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題關(guān)鍵．


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