一、軸對稱相關定義和性質
(1)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫作____________，這條直線就是它的_________.
(2)如果一個圖形沿一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱,這條直線就是它的對稱軸.
(3)軸對稱圖形的________，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
(1)關于某直線對稱的兩個圖形是全等圖形;
(2)如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的__________；
三、平面直角坐標系中軸對稱
點（x, y）關于x軸對稱的點的坐標為 .
點（x, y）關于y軸對稱的點的坐標為 .
四、等腰三角形的性質及判定
二、垂直平分線的性質和判定
性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離______.
判定：與線段兩個______距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
(4)___________、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”
(1)有兩邊相等的三角形是等腰三角形;
(2)如果一個三角形中有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“____________”）.
(3)兩個_______相等，簡稱“等邊對等角”;
(2)軸對稱圖形,等腰三角形的頂角平分線所在的直線是它的對稱軸;
五、等邊三角形的性質及判定
⑴等邊三角形的三邊都相等;
⑵等邊三角形的三個內角都相等,并且每一個角都等于________;
⑶是軸對稱圖形，對稱軸是三條高所在的直線;
⑷任意角平分線、角對邊上的中線、對邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”.
⑴三條邊都相等的三角形是等邊三角形.
⑵三個角都相等的三角形是等邊三角形.
⑶有一個角是60°的___________是等邊三角形.
1.過已知直線外的一點作該直線的垂線
2.作線段的垂直平分線
3.最短路徑：(1)牧人飲馬問題；(2)造橋選址馬問題
例1 下列“禁止行人通行、注意危險、禁止非機動車通行、限速60”四個交通標志圖中，為軸對稱圖形的是（　?。?br/>例2 按要求完成作圖：(1)作△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；(2)在x軸上找出點P，使PA+PC最小，并直接寫出P點的坐標：
解析：(1)先找出點A、B、C關于y軸的對稱點，再依次連線即可.(2)找出點A關于x軸的對稱點A'，連接A'C，A'C與x軸的交點即是點P的位置.
坐標軸中作軸對稱圖形，一般先根據點關于坐標軸對稱的點的特征，找出對稱點，而后連線即可.點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標為(x,-y) ，關于y軸對稱的點的坐標為(-x,y).
例3 在△ABC中，AD是高，在線段DC上取一點E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.求證：E點在線段AC的垂直平分線上．
解析：要證明點E在線段AC的垂直平分線上，即要證明AE=EC.根據題意及線段垂直平分線的定義，得出AB=AE.而后根據AB+BD=DC，進行等量變換，可到AE=EC.
證明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直線是線段BE的垂直平分線，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴點E在線段AC的垂直平分線上．
線段的垂直平分線一般會與中點、90°角、等腰三角形一同出現，在求角度、三角形的周長，或證明線段之間的等量關系時，要注意角或線段之間的轉化.
例4 如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證： ∠BAC=2∠DBC.
解析：根據等腰三角形“三線合一”的性質，可作頂角∠BAC的平分線，來獲取角的數量關系.
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.
∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠ 2= ∠DBC.
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
在涉及等腰三角形的有關計算和證明中，常用的作輔助線的方法是作頂角的角平分線，而后利用等腰三角形三線合一的性質，可以實現線段或角之間的相互轉化.
例5 等腰三角形的一個內角是另一個內角的2倍，求該等腰三角形的頂角的度數.
解：設該等腰三角形中，小角的度數為x,則大角的度數為2x.
當x為底角時， x +x+ 2x=180° 解得 x=45°，則2x=90°.
當x為頂角時， x +2x+ 2x=180° 解得x =36°.
故該等腰三角形頂角的度數為90°或36°.
在等腰三角形中，常用到分類討論思想，一般有如下情況：(1)在求角度時，未指明底角和頂角；(2)在求三角形周長時，未指明底邊和腰；(3)未給定圖形時，有時需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論.
5.如圖， △ABC中，∠A=36 °，AB=AC, BD平分∠ABC交AC于點D,則圖中的等腰三角形共有 個.
6.如圖，已知等邊△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點B落在B1處，DB1,EB1分別交邊AC于M、H點，若∠ADM=50 °,則∠EHC的度數為 .
7.如圖,在△ABC中,AD是角平分線,AC=AB+BD.求證∠B=2∠C.
證明：在AC上截取AE=AB，連結DE.
∵AD是角平分線，∴∠EAD=∠BAD.
又∵AD=AD，∴△EAD≌△BAD，∴DE=DB，∠AED=∠B.
∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC，∴CE=ED.
∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C，即∠B=2∠C.
想一想：還有別的證明方法嗎？
提示：延長AB至F，使BF=BD，連結DF
8.如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F．求證：BF=2CF．
證明：連接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F，∴CF=AF，∴∠FAC=∠C=30°，∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，在Rt△ABF中，∠B=30°，∴BF=2AF，∴BF=2CF．

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