第二十一章  一元二次方程21.3  實(shí)際問題與一元二次方程第2課時(shí) 平均變化率問題與一元二次方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握建立數(shù)學(xué)模型以解決增長率與降低率問題.2.正確分析問題中的數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型.重點(diǎn)：通過建立數(shù)學(xué)模型來解決增長率與降低率問題.難點(diǎn)：正確分析問題中的數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型.一、知識鏈接小明學(xué)習(xí)非常認(rèn)真，學(xué)習(xí)成績直線上升，第一次月考數(shù)學(xué)成績是75分，第二次月考增長了20%，第三次月考又增長了20%，問他第三次數(shù)學(xué)成績是多少？     二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：平均變化率問題與一元二次方程探究兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000 元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600 元.哪種藥品成本的年平均下降率較大？      典例精析例1  前年生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品的成本是3600元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品的成本是1764元，試求甲種藥品成本的年平均下降率是多少？   注意：下降率不可為負(fù)，且不大于1.變式：某藥品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來的一半.已知兩次降價(jià)的百分率一樣，求每次降價(jià)的百分率.（精確到0.1%）    例2  為做好延遲開學(xué)期間學(xué)生的在線學(xué)習(xí)服務(wù)工作，鹽城市教育局推出“中小學(xué)延遲開學(xué)期間網(wǎng)絡(luò)課堂”，為學(xué)生提供線上學(xué)習(xí)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生20萬人次，第三批公益課受益學(xué)生24.2萬人次．如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長率相同，求這個(gè)增長率；  注意：增長率不可為負(fù)，但可以超過1. 問題  你能總結(jié)出有關(guān)增長率和降低率的有關(guān)數(shù)量關(guān)系嗎？方法歸納：若平均增長(或降低)百分率為x，增長(或降低)前的是a，增長(或降低)n次后的量是b，則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(其中增長取“+”，降低取“－”). 例3  某公司去年的各項(xiàng)經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個(gè)增長率．    探究點(diǎn)2：營銷問題與一元二次方程練一練  1.假設(shè)某種商品的成本為每件2元，售價(jià)為3元時(shí)，可賣100件.(1)此時(shí)的利潤w=     元；  (2)若售價(jià)漲了1元，每件利潤為     元，同時(shí)少賣了10件，銷售量為     件，利潤w=     元；(3)若售價(jià)漲了2元，每件利潤為     元，同時(shí)少賣了20件，銷售量為     件，利潤w=     元；(4)若售價(jià)漲了3元，每件利潤為     元，同時(shí)少賣了30件，銷售量為     件，利潤w=     元；(5)若售價(jià)漲了x元，每件利潤為     元，同時(shí)少賣了     件，銷售量為     件，利潤w=            元. 想一想 若想售賣這種商品獲取利潤300元，則每件商品應(yīng)漲價(jià)多少元？   變式訓(xùn)練 假設(shè)某種糖的成本為每千克8元，售價(jià)為12元時(shí)，可賣100千克.若售價(jià)漲了1元，則少賣了5千克，要想售賣這種糖果獲取利潤640元，且售價(jià)不高于成本價(jià)的2.5倍，則每千克糖應(yīng)漲價(jià)多少元？   注意：題目中有限定條件時(shí)，要注意取舍. 例4  某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？    變式訓(xùn)練 增加條件：為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施. 若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？      方法歸納： 用一元二次方程解決營銷問題的一般步驟1.設(shè)未知數(shù)x,用含x的代數(shù)式表示銷量、單件利潤；2.根據(jù)利潤=銷量×單件利潤列方程；3.解方程；4.根據(jù)題意，如限制利潤率、減少庫存、讓利于民等條件，進(jìn)行取舍.5.作答.三、課堂小結(jié)平均變化率問題增長率問題a(1+x)2=b，其中a為增長前的量，x為增長率，2為增長次數(shù)，b為增長后的量.降低率問題a(1－x)2=b，其中a為降低前的量，x為降低率，2為降低次數(shù)，b為降低后的量.注意1與x位置不可調(diào)換.營銷問題總利潤=單件利潤×銷量=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷量  1.某廠今年一月份的總產(chǎn)量為500噸，三月份的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長率是x，列方程(     )A.500(1+2x)=720       B.500(1+x)2=720         C.500(1+x2)=720          D.720(1+x)2=5002.某校去年對實(shí)驗(yàn)器材的投資為2萬元，預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬元，若設(shè)該校今明兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長率是x，則可列方程為              .3.青山村種的水稻去年平均每公頃產(chǎn)7200千克，今年平均每公頃產(chǎn)8712千克，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率.   4.百佳超市將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元出售時(shí)，能賣500個(gè)，已知該商品要漲價(jià)1元，其銷售量就要減少10個(gè)，為了賺8000元利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨為多少個(gè)？    5.菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜，計(jì)劃以每千克5元的價(jià)格對外批發(fā)銷售.由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該蔬菜滯銷，李偉為了加快銷售，減少損失，對價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的價(jià)格對外批發(fā)銷售.(1)求平均每次下調(diào)的百分率；(2)小華準(zhǔn)備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一，打九折銷售；方案二，不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元.試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠？請說明理由.    能力提升為促進(jìn)新舊功能轉(zhuǎn)換，提高經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，每臺設(shè)備成本價(jià)為25萬元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該設(shè)備的月銷售量y（臺）和銷售單價(jià)x（萬元）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求月銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于35萬元，如果該公司想獲得130萬元的月利潤，那么該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是多少萬元？        參考答案自主學(xué)習(xí)知識鏈接75×（1+20%）（1+20%）=108（分），即小明第三次數(shù)學(xué)成績是108分.課堂探究二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：平均變化率問題與一元二次方程探究  解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元，兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)2元，于是有5000(1-x)2=3000，解方程，得x1≈0.225， x2≈1.775.根據(jù)問題的實(shí)際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為y，則一年后甲種藥品成本為6000(1-y)元，兩年后乙種藥品成本為6000(1-y)2元，于是有6000(1-y)2=3600，解方程，得y1≈0.225， y2≈1.775.根據(jù)問題的實(shí)際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.由上可知，甲乙兩種藥品的下降額不同，但是下降率相同. 典例精析例1  解：設(shè)甲種藥品的年平均下降率為x.根據(jù)題意，列方程，得 5000(1-x)2= 3000，解方程，得x1≈0.225=22.5%，x2≈1.775.根據(jù)問題的實(shí)際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.變式：設(shè)原價(jià)為1個(gè)單位，每次降價(jià)的百分率為 x.根據(jù)題意，得 解這個(gè)方程，得 （舍去），答：每次降價(jià)的百分率為29.3%.  例2  解：設(shè)增長率為x，根據(jù)題意，得20（1+x）2=24.2.解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．答：增長率為10%. 例3  解：設(shè)這個(gè)增長率為x.根據(jù)題意，得200+200(1+x) +200(1+x)2=950.整理方程，得4x2+12x-7=0，這個(gè)方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%．答：這個(gè)增長率為50%. 探究點(diǎn)2：營銷問題與一元二次方程練一練  （1）100   （2）2   90   180  （3）3  80  240（4）4  70  280  （5）(1+x)  10x   (100-10x)   (1+x)(100-10x)想一想  解：設(shè)售價(jià)漲了x元，依題意得(1+x)(100-10x)=300，解得x1=4,x2=5.即當(dāng)每件商品漲價(jià)4元或5元時(shí)，能獲得300元利潤.變式訓(xùn)練 解：設(shè)售價(jià)漲了x元，依題意得(4+x)(100-5x)=640，解得x1=4,x2=12.∵售價(jià)不高于成本價(jià)的2.5倍，即x+12≤2.5×8.∴x≤8.∴x=4.即每千克糖應(yīng)漲價(jià)4元.例4  解：設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，根據(jù)題意得（40-x)(20+2x)=1200， 整理得x2-30x+200=0. 解方程得x1=10，x2=20. 答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元或20元.變式訓(xùn)練 解：設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，根據(jù)題意得（40-x)(20+2x)=1200，整理得，x2-30x+200=0. 解方程得x1=10，x2=20. 因?yàn)橐M快減少庫存，所以x=10舍去.答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元.當(dāng)堂檢測1.B  2.2(1+x)+2(1+x)2=83.解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長率為x,根據(jù)題意，得7200(1+x)2=8712，系數(shù)化為1得(1+x)2=1.21.直接開平方得，1+x=1.1，1+x=-1.1.則x1=0.1= 10%，x2=-2.1(舍去).答：水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為10%.4.解：設(shè)每個(gè)商品漲價(jià)x元，則銷售價(jià)為(50+x)元，銷售量為(500－10x)個(gè)，則(500－10x)· [(50+x)－40]=8000，整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合題意.當(dāng)x=10時(shí)，50+x =60，500－10 x=400；當(dāng)x=30時(shí)，50+x =80， 500－10 x=200.答：要想賺8000元，售價(jià)為60元或80元；若售價(jià)為60元，則進(jìn)貨量應(yīng)為400；若售價(jià)為80元，則進(jìn)貨量應(yīng)為200個(gè). 5.解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x， 由題意，得5(1－x)2=3.2，解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）∴平均每次下調(diào)的百分率為20%；（2）解：小華選擇方案一購買更優(yōu)惠，理由如下：方案一所需費(fèi)用為：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需費(fèi)用為：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小華選擇方案一購買更優(yōu)惠. 能力提升 解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，依題意得解得 所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-5x+200．（2）依題知（x-25）（-5x+200）=130．整理方程，得x2-65x+1026=0．解得x1=27，x2=38．∵此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于35萬元，∴x2=38（舍），所以x=27．答：該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是27 萬元．    

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4.1 一元二次方程

版本： 青島版

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