（1）定義：一般地，在定義域不同的部分，有不同的解析式，像這樣的函數(shù)叫作分段函數(shù).
（2）理解：?。┓侄魏瘮?shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)
ⅱ）寫(xiě)分段函數(shù)的定義域時(shí)，區(qū)間的端點(diǎn)位置要不重不漏
ⅲ）處理分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，先要確定自變量的取值屬于哪一段，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
ⅳ)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集；分段函數(shù)的值域是分別求出各段上的值域后取并集；分段函數(shù)的最大（?。┲祫t是分別在每段上求出最大（小）值，然后在各段的最大（?。┲抵腥∽畲螅ㄐ。┲?
（3）分段函數(shù)的圖象
分段函數(shù)有幾段，它的圖像就由幾條曲線組成.在同一直角坐標(biāo)系中，根據(jù)每段定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫(huà)圖像，要注意每段圖像的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn)，將每段圖像組合到一起就得到整個(gè)分段函數(shù)的圖象.
題型二：分段函數(shù)的應(yīng)用
1.分段函數(shù)求值問(wèn)題
（1）分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求解，對(duì)于多層“”的問(wèn)題，要按照“由內(nèi)到外”的順序逐層處理
（2）已知函數(shù)值，求自變量的值時(shí)，將“”脫掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的方程求解
例1．已知?jiǎng)t（ ）
A．7B．2C．10D．12
已知函數(shù)，則_________．
例3：已知函數(shù).（1）求的值；（2）若，求.
例4．已知函數(shù)，若，則 ______________.
變式訓(xùn)練
1．已知函數(shù)，則_______，若，則______．
2．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)___________.
3．已知函數(shù)，則_________．
4．設(shè)若，則________．
2.分段函數(shù)與不等式
分段函數(shù)的不等式的解集問(wèn)題，一般都要通過(guò)分類討論求解，每一類中條件與解得的范圍取交集，而各類之間取并集.
已知函數(shù)，求使成立的值組成的集合
變式訓(xùn)練
函數(shù)，若，則的取值范圍
若函數(shù)，則不等式的解集為
3．已知，若，則的取值范圍是___________.
分段函數(shù)的值域問(wèn)題
分段函數(shù)值域是各段函數(shù)值域的并集。
例1．已知函數(shù)，則 的最大值是（ ）
A．0B．2C．D．1
變式訓(xùn)練
1．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的值域是__________．
基礎(chǔ)鞏固
1．已知函數(shù)，則f(f(4))＝（ ）
A．－2B．0C．4D．16
2．函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
4．已知函數(shù)，則__________；若，則_________．
5．已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為（ ）
A．B．C．或D．
6．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，若，求的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，則（ ）
A．B．C．D．
9．已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
10．若定義運(yùn)算，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
11．已知函數(shù)，.
(1) 當(dāng)時(shí)，求；
(2) 當(dāng)時(shí)，求的解析式；
(3) 求方程的解.
能力提升
12．已知函數(shù)f（2x+3）＝4x+5，且f（a）＝3，則a＝______________
13．設(shè)函數(shù)，則________，使得的實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
14．已知函數(shù)，若，則的值域是___________；若的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.
15．已知，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
16．設(shè)集合，，函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
17．（多選題）已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)镽B．的值域?yàn)?br>C．若，則x的值是D．的解集為
18．如圖，已知，，點(diǎn)P從B點(diǎn)沿直線BC運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，過(guò)P做BC的垂線l，記直線l左側(cè)部分的多邊形為Ω，設(shè)，Ω的面積為，Ω的周長(zhǎng)為．
（1）求和的解析式；
（2）記，求的最大值．
參考答案
1．C
【詳解】
函數(shù)，(4)，(4).故選：.
2．C
【詳解】
由題意，∴．故選：C．
3．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）
當(dāng)時(shí)，，得，解得或（舍去）綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：
4．15 -3
【詳解】
解：由題意，函數(shù)，則，
所以；
當(dāng)時(shí)，可得，解得：，
當(dāng)時(shí)，可得，解得：（舍去）.故答案為：15；-3.
5．A
【詳解】
若，，則，，
，，不合題意；
若，，則，，
，，綜上，．故選：A．
6．C
要使的值域?yàn)镽，則應(yīng)滿足，解得.故選：C.
7．D
【詳解】
若，則，，，
即，，解得；
若，則，，，
即，，解得；
若，，，滿足，
綜上所述，，的取值范圍為，故選：D.
8．B
【詳解】
解：令，，
，即．
；．故選：．
9．C
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，，成立，
當(dāng)時(shí)，，得，得，不成立；所以.故選：C
10．A
【詳解】
由，得，
當(dāng)，，當(dāng)，
，
可得故選：A.
11．（1）（2）（3）或
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，
故．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，，故．
當(dāng)時(shí)，，，故．
所以當(dāng)時(shí)，的解析式為．
（3），，
所以方程即為：解得或．
12．2
【詳解】
函數(shù)f（2x+3）＝4x+5，設(shè)，則，
，，解得.故答案為：2.
13．
【詳解】
因?yàn)?，所以，因此?br>當(dāng)時(shí)，可化為，即顯然恒成立，所以；
當(dāng)時(shí)，，解得；綜上，.故答案為；.
14．
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，
所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
所以值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)，
是的子集，所以，解得，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
此時(shí)值域?yàn)椋环项}意，當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，
此時(shí)值域?yàn)椋环项}意，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，
令，可得，
令解得：或，
若的值域?yàn)閯t，
又因?yàn)槭堑淖蛹?br>所以解得，所以.
故答案為：；.
15．C
【詳解】
時(shí)，滿足題意，
時(shí)，，，∴
綜上滿足的的范圍是，下面解不等式，
時(shí)，，解得，∴，
時(shí)，，，恒成立，∴，
綜上．故選：C
16．C
【詳解】
當(dāng)時(shí)，則，由，解得，
又，所以.故選：C
17．BC
【詳解】
函數(shù)，定義分和兩段，定義域是，故A錯(cuò)誤；
時(shí)，值域?yàn)?，時(shí)，，值域?yàn)?，故的值域?yàn)?，故B正確；
由值的分布情況可知，在上無(wú)解，故，即，得到，故C正確；
時(shí)令，解得，時(shí)，令，解得，故的解集為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）作的高，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，計(jì)算得到與；從而計(jì)算和；當(dāng)時(shí)根據(jù)，計(jì)算得到，，從而計(jì)算和；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果分別計(jì)算和時(shí)的最值，再比較大小可得.
【詳解】
（1）作的高，，，
當(dāng)，，所以，，，.
當(dāng)，，所以，，；
（2）當(dāng)，，最大值為.
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，又，故最大值為．
第四課時(shí)：函數(shù)圖像及其應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的圖象變換
函數(shù)圖像的變換；
作函數(shù)圖像的基本步驟：列表；描點(diǎn)；連線.
函數(shù)的圖像與函數(shù)及函數(shù)的圖像有怎樣的關(guān)系呢？我們先來(lái)看一個(gè)例子.
作出函數(shù)的圖像，觀察它們之間有怎樣的關(guān)系.
在同一平面直角坐標(biāo)系中，它們的圖像如圖所示：
觀察圖像可知，函數(shù)的圖像可以由函數(shù)的圖像向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到；函數(shù)的圖像可以由函數(shù)的圖像向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到.
由此得到如下規(guī)律：
函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像沿軸向左或向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，即“左加右減”；
函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像沿軸向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，即“上加下減”；
歸納為：平移（左加右減，上加下減，只對(duì)自變量x而言）：
向左平移個(gè)單位
向右平移個(gè)單位
向上平移個(gè)單位
向下平移個(gè)單位
（2）函數(shù)圖像的對(duì)稱變換
函數(shù)的圖像與函數(shù)，函數(shù)及函數(shù)的圖象又有怎樣的關(guān)系呢？我們來(lái)看一個(gè)例子.
作出函數(shù)，，，的圖像，觀察它們之間有怎樣的關(guān)系.
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出①，②，③，④的圖像的一部分，如圖所示.
觀察圖像可知：函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作軸的對(duì)稱變換得到；
函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作軸的對(duì)稱變換得到；
函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱變換得到。
由此可得如下規(guī)律.函數(shù)圖像的對(duì)稱變換包括以下內(nèi)容：
函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作關(guān)于軸的對(duì)稱變換得到；
函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作關(guān)于軸的對(duì)稱變換得到；
（3）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像作關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱變換得到；
對(duì)稱：
圖像關(guān)于軸對(duì)稱
圖像關(guān)于軸對(duì)稱
圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
（3）函數(shù)的翻折變換
函數(shù)圖像的翻折的變換是指函數(shù)與的圖像間的關(guān)系.
作出函數(shù)及的圖像，觀察它們與函數(shù)圖像之間有怎樣的關(guān)系.
事實(shí)上，，
.
在不同的平面直角坐標(biāo)系中，分別作出及的圖像，如圖所示：
通過(guò)觀察兩個(gè)圖像可知，
的圖像可由經(jīng)過(guò)下列變換得到：保持的圖像在軸上及其上方的部分不變，將軸下方的部分沿軸翻折上去，即可得到的圖形.
的圖像可由下列變換得到：保持的圖像在軸上及右側(cè)的圖像不變，軸左側(cè)的圖像換成將軸右側(cè)的圖像沿軸翻折而成的圖形，則這兩部分就構(gòu)成了的圖像.
由此可得如下規(guī)律：
（1）要作的圖像，可先作的圖像，然后將軸及其上方的部分保持不變，軸下方的部分沿軸對(duì)稱地翻折上去即可.
（2）要作的圖像，可先作的圖像，然后保持軸上及其右側(cè)圖像不變，軸左側(cè)的圖像換成軸右側(cè)的圖像沿軸翻折的圖像即可.
翻折：
保留軸上方的圖像，再把軸下方的圖像對(duì)稱到軸上方
刪去軸左邊的圖像，保留軸右邊的圖像，再把軸右邊的圖像對(duì)稱到軸左邊.
題型一：作函數(shù)的圖像
例1.作出下列函數(shù)的圖像
（1） （2） （3）
例2.已知函數(shù)
（1）作出函數(shù)的圖像；（2）判斷關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)
例3：若函數(shù)，則函數(shù)的最大值為（ ）.
2 B. 1 C. -1 D.無(wú)最大值
變式訓(xùn)練
1：函數(shù)的大致圖形是（ ）
2：作出下列函數(shù)的圖像并求函數(shù)的值域：
；
.
3：11.已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像為（ ）.
4：若方程有四個(gè)互補(bǔ)相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 .
5：
（1）．用表示兩個(gè)數(shù)中的最小值．設(shè)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
（2）．設(shè)函數(shù)，.用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（ ）
A．1B．3C．0D．
（3）．對(duì)于a，bR，記Max｛a，b｝= ，函數(shù)f（x）=Max｛，｝（xR）的最小值是（ ）
A．B．1C．D．2
（4）．已知設(shè)，則函數(shù)的最大值是（ ）
A．8B．7C．6D．5

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5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）

版本： 人教A版 (2019)

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