教學(xué)內(nèi)容
1．圓周角的概念．
2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弦所對的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應(yīng)用．
教學(xué)目標(biāo)
1．了解圓周角的概念．
2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3．理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用．
設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實際問題．
重難點、關(guān)鍵
1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題．
2．難點：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理．
3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在．
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動）請同學(xué)們口答下面兩個問題．
1．什么叫圓心角？
2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？
老師點評：（1）我們把頂點在圓心的角叫圓心角．
（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等．
剛才講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題．
二、探索新知
問題：如圖所示的⊙O，我們在射門游戲中，設(shè)E、F是球門，設(shè)球員們只能在所在的⊙O其它位置射門，如圖所示的A、B、C點．通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ECF這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題．
1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？
2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？
3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？
（學(xué)生分組討論）提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言．
老師點評：
1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個．
2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的．
3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半．
下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．”
（1）設(shè)圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑，如圖所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
（2）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成這道題的說明過程．
老師點評：連結(jié)BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成證明．
老師點評：連結(jié)OA、OC，連結(jié)BO并延長交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC
現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的．
從（1）、（2）、（3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目．
例1．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？
分析：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連結(jié)AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．
解：BD=CD
理由是：如圖24-30，連接AD
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、鞏固練習(xí)
1．教材P92 思考題．
2．教材P93 練習(xí)．
四、應(yīng)用拓展
例2．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A、∠B、∠C的對邊分別設(shè)為a，b，c，⊙O半徑為R，求證：===2R．
分析：要證明===2R，只要證明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明顯要在直角三角形中進(jìn)行．
證明：連接CO并延長交⊙O于D，連接DB
∵CD是直徑
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
在Rt△DBC中，sinD=，即2R=
同理可證：=2R，=2R
∴===2R
五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評）
本節(jié)課應(yīng)掌握：
1．圓周角的概念；
2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都相等這條弧所對的圓心角的一半；
3．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊電子課本

24.1.4 圓周角

版本： 人教版

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