1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
2.在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：
3.三角形常用面積公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．
【知識拓展】
1．三角形內(nèi)角和定理：
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
變形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；(4)cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；
c＝bcs A＋acs B.
【思考辨析】
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比．( × )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，則A＞B.( √ )
(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．( × )
(4)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC為銳角三角形．( × )
(5)在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(a＋b－c,sin A＋sin B－sin C).( √ )
(6)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．( √ )
1．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cs 120°，化簡得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故選A.
2．(教材改編)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，則c等于( )
A．5eq \r(2)B．10eq \r(2)
C.eq \f(10\r(6),3)D．5eq \r(6)
答案 C
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，即eq \f(10,\f(\r(3),2))＝eq \f(c,\f(\r(2),2))，
∴c＝eq \f(10\r(6),3).
3．在△ABC中，若sin B·sin C＝cs2eq \f(A,2)，且sin2B＋sin2C＝sin2A，則△ABC是( )
A．等邊三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
答案 D
解析 sin B·sin C＝eq \f(1＋cs A,2)，
∴2sin B·sin C＝1＋cs A＝1－cs(B＋C)，
∴cs(B－C)＝1，
∵B、C為三角形的內(nèi)角，∴B＝C，
又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，
綜上，△ABC為等腰直角三角形．
4．(2016·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，則角C＝.
答案 eq \f(2π,3)
解析 因為3sin A＝5sin B，
所以由正弦定理可得3a＝5b.
因為b＋c＝2a，所以c＝2a－eq \f(3,5)a＝eq \f(7,5)a.
令a＝5，b＝3，c＝7，
則由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，
得49＝25＋9－2×3×5cs C，
解得cs C＝－eq \f(1,2)，所以C＝eq \f(2π,3).
5．(2016·濟南模擬)在△ABC中，a＝3eq \r(2)，b＝2eq \r(3)，cs C＝eq \f(1,3)，則△ABC的面積為．
答案 4eq \r(3)
解析 ∵cs C＝eq \f(1,3)，0

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