1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念
2.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點
如下表所示：
3.函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象的步驟如下：
【知識拓展】
1．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移eq \f(φ,ω)個單位長度而非φ個單位長度．
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標．
【思考辨析】
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的圖象是由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的圖象向右平移eq \f(π,2)個單位得到的．( √ )
(2)將函數(shù)y＝sin ωx的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，得到函數(shù)y＝sin(ωx－φ)的圖象．( × )
(3)利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致．( × )
(4)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期為T＝eq \f(2π,ω).( × )
(5)把y＝sin x的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的eq \f(1,2)，所得圖象對應的函數(shù)解析式為y＝sin eq \f(1,2)x.( × )
(6)若函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期為T，則函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為eq \f(T,2).( √ )
1．(教材改編)y＝2sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,3))的振幅，頻率和初相分別為( )
A．2,4π，eq \f(π,3)B．2，eq \f(1,4π)，eq \f(π,3)
C．2，eq \f(1,4π)，－eq \f(π,3)D．2,4π，－eq \f(π,3)
答案 C
解析 由題意知A＝2，f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)＝eq \f(1,4π)，初相為－eq \f(π,3).
2．(2015·山東)要得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象( )
A．向左平移eq \f(π,12)個單位B．向右平移eq \f(π,12)個單位
C．向左平移eq \f(π,3)個單位D．向右平移eq \f(π,3)個單位
答案 B
解析 ∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))，
∴要得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象向右平移eq \f(π,12)個單位．
3．(2016·青島模擬)將函數(shù)y＝sin x的圖象上所有的點向右平行移動eq \f(π,10)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是( )
A．y＝sin(2x－eq \f(π,10)) B．y＝sin(2x－eq \f(π,5))
C．y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,10)) D．y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,20))
答案 C
解析 y＝sin x
y＝sin(x－eq \f(π,10))eq \(―――――→,\s\up7(橫坐標伸長到),\s\d5(原來的2倍))y＝sin(eq \f(1,2)x－eq \f(π,10))．
4．(2016·臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acs(ωx＋θ)的圖象如圖所示，f(eq \f(π,2))＝－eq \f(2,3)，則f(－eq \f(π,6))＝________.
答案 －eq \f(2,3)
解析 由題圖知，函數(shù)f(x)的周期
T＝2(eq \f(11π,12)－eq \f(7π,12))＝eq \f(2π,3)，
所以f(－eq \f(π,6))＝f(－eq \f(π,6)＋eq \f(2π,3))＝f(eq \f(π,2))＝－eq \f(2,3).
5．若將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,4))的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關于y軸對稱，則φ的最小正值是________．
答案 eq \f(3π,8)
解析 ∵函數(shù)f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,4))的圖象向右平移φ個單位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋eq \f(π,4)]＝sin(2x＋eq \f(π,4)－2φ)，
又∵g(x)是偶函數(shù)，∴eq \f(π,4)－2φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴φ＝－eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)．
當k＝－1時，φ取得最小正值eq \f(3π,8).
題型一 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
例1 (2015·湖北)某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|0)個單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一個對稱中心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．
解 (1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq \f(π,6).數(shù)據(jù)補全如下表：
且函數(shù)解析式為f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
(2)由(1)知f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
得g(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2θ－\f(π,6))).
因為函數(shù)y＝sin x圖象的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－eq \f(π,6)＝kπ，解得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ，k∈Z.
由于函數(shù)y＝g(x)的圖象關于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))成中心對稱，
所以令eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)－θ＝eq \f(5π,12)，解得θ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z.
由θ>0可知，當k＝1時，θ取得最小值eq \f(π,6).
引申探究
在本例(2)中，將f(x)圖象上所有點向左平移eq \f(π,6)個單位長度，得到g(x)的圖象，求g(x)的解析式，并寫出g(x)圖象的對稱中心．
解 由(1)知f(x)＝5sin(2x－eq \f(π,6))，
因此g(x)＝5sin[2(x＋eq \f(π,6))－eq \f(π,6)]＝5sin(2x＋eq \f(π,6))．
因為y＝sin x的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)，k∈Z.
即y＝g(x)圖象的對稱中心為(eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)，0)，k∈Z.
思維升華 (1)五點法作簡圖：用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z＝ωx＋φ，由z取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．
(2)圖象變換：由函數(shù)y＝sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”．
把函數(shù)y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，再把所得函數(shù)圖象向左平移eq \f(π,4)個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式是( )
A．y＝cs 2xB．y＝－sin 2x
C．y＝sin(2x－eq \f(π,4)) D．y＝sin(2x＋eq \f(π,4))
答案 A
解析 由y＝sin x圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，所得圖象的解析式為y＝sin 2x，再向左平移eq \f(π,4)個單位得y＝sin2(x＋eq \f(π,4))，即y＝cs 2x.
題型二 由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|0)的圖象的一部分如圖所示．
(1)求f(x)的表達式；
(2)試寫出f(x)的對稱軸方程．
解 (1)觀察圖象可知A＝2且點(0,1)在圖象上，
∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝eq \f(1,2).
∵|φ|0，ω>0)解析式的步驟
(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq \f(M－m,2)，B＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入．
②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．具體如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；“第五點”為ωx＋φ＝2π.
(2016·太原模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|

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