在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC的外接圓半徑，則
2.在△ABC中，若已知角A，B所對(duì)的邊a，b和角A，則解的情況如下：
3.三角形中常用的面積公式
△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.則：
（1）S＝12ah（h表示邊a上的高）；
（2）S＝12absin C＝? 12acsinB ＝? 12bcsinA ；
（3）S＝12r（a＋b＋c）（r表示三角形? 內(nèi)切圓 的半徑）.
常用結(jié)論
三角形中的常見(jiàn)結(jié)論
（1）在△ABC中，A＋B＋C＝π.變形：A＋B2＝π2－C2.
（2）在△ABC中，a＞b?A＞B?sinA＞sin B?csA＜cs B.
（3）任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.
（4）在△ABC中，sin（A＋B）＝sin C；cs（A＋B）＝－cs C；tan（A＋B）＝－tan C；sinA＋B2＝cs C2；csA＋B2＝sin C2.
（5）在△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列?B＝π3，A＋C＝2π3.
（6）在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tanB·tanC.
（7）在△ABC中，a＝bcsC＋ccsB；b＝acsC＋ccsA；c＝bcsA＋acsB（射影定理）.
1.以下說(shuō)法正確的是（ A ）
A.在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要條件
B.在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則△ABC為銳角三角形
C.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則△ABC為等腰三角形
D.三角形中的三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比
解析 易知A正確；對(duì)于B，當(dāng)b2＋c2－a2＞0時(shí)，只能說(shuō)明角A為銳角，△ABC不一定為銳角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若sin 2A＝sin 2B，則2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，三角形中的三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的正弦值之比，故D錯(cuò)誤.
2.[2021全國(guó)卷甲]在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，則BC＝（ D ）
A.1B.2C.5D.3
解析 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5（舍去）.故選D.
3.[多選]記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則符合下列條件的△ABC有且只有一個(gè)的是（ AC ）
A.a＝2，b＝1，A＝45°B.a＝1，b＝2，c＝3
C.b＝c＝1，B＝45°D.a＝1，b＝2，A＝100°
解析 對(duì)于A，由正弦定理得1sinB＝2sin45°，所以sin B＝12，又a＞b，所以B＝30°，所以滿足條件的三角形只有一個(gè)；
對(duì)于B，a＋b＝c，構(gòu)不成三角形；
對(duì)于C，b＝c＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°，所以滿足條件的三角形只有一個(gè)；
對(duì)于D，a＜b，所以A＜B，而A＝100°，所以沒(méi)有滿足條件的三角形.
4.已知2a＋1，a，2a－1是鈍角三角形的三邊，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （2，8） .
解析 ∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三邊，∴2a+1>0，a>0，2a－1>0，解得a＞12.顯然2a＋1是三角形的最大邊，則要使2a＋1，a，2a－1構(gòu)成三角形，需滿足a＋2a－1＞2a＋1，解得a＞2.設(shè)最大邊對(duì)應(yīng)的角為θ（鈍角），則cs θ＝a2＋（2a－1）2－（2a+1）22a（2a－1）＜0，
∴a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，即a2－8a＜0，解得0＜a＜8.
又a＞2，∴a的取值范圍是（2，8）.
5.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，則△ABC的面積等于 23 .
解析 設(shè)△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.
由題意及余弦定理得cs A＝b2＋c2－a22bc＝16+c2－122×4×c＝12，解得c＝2，所以S△ABC＝12bcsin A＝12×4×2×sin 60°＝23.
研透高考 明確方向
命題點(diǎn)1 利用正、余弦定理解三角形
例1 （1）[2023全國(guó)卷乙]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若acsB－bcsA＝c，且C＝π5，則B＝（ C ）
A.π10B.π5C.3π10D.2π5
解析 因?yàn)閍csB－bcsA＝c，所以由正弦定理得sin A·csB－sin BcsA＝sin C＝sin（B＋A），則2sin BcsA＝0.在△ABC中，sin B≠0，則cs A＝0，A＝π2，所以B＝π－A－C＝π－π2－π5＝3π10，故選C.
（2）[2021全國(guó)卷乙]記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，則b＝ 22 .
解析 由題意得S△ABC＝12acsin B＝34ac＝3，則ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accs B＝12－2×4×12＝8，則b＝22.
方法技巧
應(yīng)用正、余弦定理的解題技巧
（1）求邊：利用正弦定理變形公式a＝bsinAsinB等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A等求解.
（2）求角：利用正弦定理變形公式sin A＝asinBb等或余弦定理變形公式cs A＝b2＋c2－a22bc等求解.
（3）利用式子的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化：若出現(xiàn)a2＋b2－c2＝λab的形式，則用余弦定理；若等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式，則用正弦定理.
訓(xùn)練1 （1）[全國(guó)卷Ⅰ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csin C，cs A＝－14，則bc＝（ A ）
A.6B.5C.4D.3
解析 由題意及正弦定理得b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cs A＝b2＋c2－a22bc＝－3c22bc＝－14，得bc＝6.故選A.
（2）[全國(guó)卷Ⅰ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A·（sin C－cs C）＝0，a＝2，c＝2，則C＝（ B ）
A.π12B.π6C.π4D.π3
解析 因?yàn)閟in B＋sin A（sin C－cs C）＝0，所以sin（A＋C）＋sin A·sinC－sin A·csC＝0，所以sin AcsC＋cs Asin C＋sin Asin C－sin AcsC＝0，整理得sin C（sin A＋cs A）＝0.因?yàn)閟in C≠0，所以sin A＋cs A＝0，所以tan A＝－1.因?yàn)锳∈（0，π），所以A＝3π4，由正弦定理得sin C＝c·sinAa＝2×222＝12，又0＜C＜π4，所以C＝π6.故選B.
命題點(diǎn)2 判斷三角形的形狀
例2 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，c－a2c＝sin2B2，則△ABC的形狀為（ A ）
A.直角三角形
B.等邊三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析 由cs B＝1－2sin2B2，得sin2B2＝1－csB2，所以c－a2c＝1－csB2，即cs B＝ac.
解法一 由余弦定理得cs B＝a2＋c2－b22ac＝ac，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC為直角三角形，但無(wú)法判斷兩直角邊是否相等.
解法二 由正弦定理得cs B＝sinAsinC，又sin A＝sin（B＋C）＝sin BcsC＋cs BsinC，所以cs BsinC＝sin BcsC＋cs BsinC，即sin BcsC＝0，又sin B≠0，所以cs C＝0，又角C為△ABC的內(nèi)角，所以C＝π2，所以△ABC為直角三角形，但無(wú)法判斷兩直角邊是否相等.
命題拓展
[變條件]將例2中的條件“c－a2c＝sin2B2”改為“sinAsinB＝ac，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc”，則△ABC的形狀為 等邊三角形 .
解析 因?yàn)閟inAsinB＝ac，所以由正弦定理得ab＝ac，所以b＝c.又（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理得cs A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因?yàn)锳∈（0，π），所以A＝π3，所以△ABC是等邊三角形.
方法技巧
判斷三角形形狀的方法
（1）化為邊：通過(guò)正、余弦定理將角化邊，利用因式分解、配方等得出邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.判斷技巧：
（2）化為角：通過(guò)正、余弦定理將邊化角，通過(guò)三角恒等變換公式、三角形的內(nèi)角和定理得出角的大小或角之間的關(guān)系.
注意 （1）不能隨意約掉公因式，要移項(xiàng)、提取公因式，否則會(huì)有遺漏一種形狀的可能.（2）注意挖掘隱含條件，在變形過(guò)程中注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響.
訓(xùn)練2 [2021新高考卷Ⅱ]在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
（1）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面積.
（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求a；若不存在，說(shuō)明理由.
解析 （1）由2sin C＝3sin A及正弦定理，得2c＝3a.
又c＝a＋2，所以a＝4，c＝6，
所以b＝a＋1＝5.
由余弦定理，得cs A＝b2＋c2－a22bc＝25+36－162×5×6＝34.
又A∈（0，π），所以sin A＝74，
所以S△ABC＝12bcsin A＝12×5×6×74＝1574.
（2）存在.
由題意知c＞b＞a，要使△ABC為鈍角三角形，需cs C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋（a+1）2－（a+2）22×a×（a+1）＝a－32a＜0，
得0＜a＜3.
因?yàn)閍為正整數(shù)，所以a＝1或a＝2.
當(dāng)a＝1時(shí)，b＝2，c＝3，此時(shí)不能構(gòu)成三角形；
當(dāng)a＝2時(shí)，b＝3，c＝4，滿足題意.
綜上，存在正整數(shù)a＝2，使得△ABC為鈍角三角形.
命題點(diǎn)3 與面積、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題
角度1 面積問(wèn)題
例3 [2023全國(guó)卷乙]在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
（1）求sin∠ABC；
（2）若D為BC上一點(diǎn)，且∠BAD＝90°，求△ADC的面積.
解析 （1）由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC＝22＋12＋2×2×1×12＝7，得BC＝7.
由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，則sin∠ABC＝1×327＝2114.
（2）解法一 如圖，由sin∠ABC＝2114，得tan∠ABC＝35，
又tan∠ABC＝DAAB＝DA2，所以DA＝235，
故△ADC的面積為12DA·AC·sin（120°－90°）＝12×235×1×12＝310.
解法二 S△ABC＝12AC·AB·sin∠BAC＝12×1×2×32＝32，S△ADCS△BAD＝12AC·AD·sin∠CAD12AB·AD·sin∠BAD＝sin30°2×sin90°＝14，
故△ADC的面積為15S△ABC＝15×32＝310.
方法技巧
與面積有關(guān)問(wèn)題的解題思路
1.利用面積公式S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A求面積，一般是已知哪個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.
2.與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.
角度2 周長(zhǎng)問(wèn)題
例4 [2022全國(guó)卷乙]記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）.
（1）證明：2a2＝b2＋c2；
（2）若a＝5，cs A＝2531，求△ABC的周長(zhǎng).
解析 （1）解法一 由sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）可得，sin CsinAcsB－
sin CcsAsin B＝sin B·sinCcsA－sin BcsCsinA，
結(jié)合正弦定理asinA＝bsinB＝csinC可得accsB－bccsA＝bccsA－abcsC，即accsB＋
abcsC＝2bccs A.
由余弦定理得a2＋c2－b22＋a2＋b2－c22＝b2＋c2－a2，整理得2a2＝b2＋c2.
解法二 因?yàn)锳＋B＋C＝π，
所以sin Csin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2Acs2B－cs2Asin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin2B.
同理有sin Bsin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
（2）由（1）及a2＝b2＋c2－2bccs A得，a2＝2bccs A，所以2bc＝31.
因?yàn)閎2＋c2＝2a2＝50，
所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，
所以△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝14.
方法技巧
與周長(zhǎng)有關(guān)問(wèn)題的解題思路
（1）若邊長(zhǎng)易求，直接求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出周長(zhǎng)；
（2）若邊長(zhǎng)不易求，可利用整體思想，構(gòu)造以兩邊長(zhǎng)的和為未知數(shù)的方程求解，進(jìn)而求出周長(zhǎng).
訓(xùn)練3 [2022北京高考]在△ABC中，sin 2C＝3sin C.
（1）求∠C；
（2）若b＝6，且△ABC的面積為63，求△ABC的周長(zhǎng).
解析 （1）因?yàn)閟in 2C＝3sin C，
所以2sin C cs C＝3sin C.
因?yàn)镃∈（0，π），所以sin C≠0，所以cs C＝32，C＝π6.
（2）因?yàn)椤鰽BC的面積S＝12absin C＝12×a×6×12＝63，所以a＝43.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcs C＝48＋36－72＝12，所以c＝23，所以△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝43＋6＋23＝6（3＋1）.課標(biāo)要求
命題點(diǎn)
五年考情
命題分析預(yù)測(cè)
借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.
利用正、余弦定理解三角形
2023新高考卷ⅠT17；2023新高考卷ⅡT17；2023全國(guó)卷乙T4；2023全國(guó)卷甲T16；2022新高考卷ⅠT18；2022新高考卷ⅡT18；2022全國(guó)卷甲T16；2021全國(guó)卷甲T8；2021全國(guó)卷乙T15；2021新高考卷ⅠT19；2021浙江T14；2020全國(guó)卷ⅠT16；2020全國(guó)卷ⅡT17；2020全國(guó)卷ⅢT7；2020新高考卷ⅠT17；2019全國(guó)卷ⅠT17；2019全國(guó)卷ⅡT15；2019全國(guó)卷ⅢT18
本講每年必考，主要考查正、余弦定理的應(yīng)用，如求解三角形的邊長(zhǎng)、角度、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題，也會(huì)作為方法求解其他章節(jié)問(wèn)題，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，備考時(shí)要重視正、余弦定理的應(yīng)用.
判斷三角形的形狀
2021新高考卷ⅡT18
與面積、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題
2023全國(guó)卷乙T18；2022全國(guó)卷乙T17；2022新高考卷ⅡT18；2022北京T16；2021北京T16；2021新高考卷ⅡT18；2020全國(guó)卷ⅡT17；2019全國(guó)卷ⅢT18
定理
余弦定理
正弦定理
內(nèi)容
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝① c2＋a2－2cacsB ；
c2＝② a2＋b2－2abcsC .
asinA＝bsinB＝csinC＝③ 2R .
變形
cs A＝b2＋c2－a22bc；
cs B＝④ c2＋a2－b22ac ；
cs C＝⑤ a2＋b2－c22ab .
（1）a＝2Rsin A，b＝⑥ 2RsinB ，c＝⑦ 2RsinC ；
（2）sin A＝a2R，sin B＝⑧ b2R ，sin C＝⑨ c2R ；
（3）a∶b∶c＝⑩sinA∶sinB∶sinC；
（4）a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝2R.
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
a＜bsinA
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的個(gè)數(shù)
無(wú)解
? 一解
? 兩解
? 一解
一解
無(wú)解
a2＋b2＜c2
cs C＜0
C為鈍角
三角形為鈍角三角形
a2＋b2＝c2
cs C＝0
C為直角
三角形為直角三角形
a2＋b2＞c2
cs C＞0
C為銳角
無(wú)法判斷（只有C為最大角時(shí)才可得出三角形為銳角三角形）

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