【知識重溫】
一、必記3個知識點
1．正弦定理
①____________________，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：(1)a?b?c＝②______________________；(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，③________；(3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝④________等形式，以解決不同的三角形問題．
2．余弦定理
a2＝⑤________________，b2＝⑥____________________，c2＝⑦________________________.余弦定理可以變形為：cs A＝⑧________________，cs B＝⑨____________________，cs C＝⑩________________.
3．三角形面積公式
S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R、r.
二、必明2個易誤點
1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角時易忽視解的判斷．
2．在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解．
【小題熱身】
一、判斷正誤
1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．
(1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，則△ABC為銳角三角形．( )
(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，則∠B＝45°或∠B＝135°.( )
(4)若滿足條件C＝60°，AB＝eq \r(3)，BC＝a的△ABC有兩個，則實數(shù)a的取值范圍是(eq \r(3)，2)．( )
(5)在△ABC中，若acs B＝bcs A，則△ABC是等腰三角形．( )
(6)在△ABC中，若tan A＝a2，tan B＝b2，則△ABC是等腰三角形．( )
二、教材改編
2．[必修5·P10T4改編]在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是( )
A．有一解 B．有兩解
C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定

三、易錯易混
4．在△ABC中，若A＝eq \f(π,3)，B＝eq \f(π,4)，BC＝3eq \r(2)，則AC＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．4eq \r(5)
5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cs 2A＝sin A，bc＝2，則△ABC的面積為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C．1 D．2
四、走進高考
6．[2020·全國卷Ⅲ]在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，則cs B＝( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
eq \x(考點一) 利用正、余弦定理解三角形[自主練透型]
考向一：用正弦定理解三角形
1．[2021·北京朝陽區(qū)模擬]在△ABC中，B＝eq \f(π,6)，c＝4，cs C＝eq \f(\r(5),3)，則b＝( )
A．3eq \r(3) B．3 C.eq \f(3,2) D.eq \f(4,3)
2．[2021·丹東模擬]在△ABC中，C＝60°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)，則A＝( )
A．15° B．45° C．75° D．105°

考向二：用余弦定理解三角形
3．在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．[2018·全國卷Ⅱ]在△ABC中，cseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝( )
A．4eq \r(2) B.eq \r(30) C.eq \r(29) D．2eq \r(5)
5．[2021·貴陽模擬]平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，則BD＝( )
A．4 B.eq \r(10) C.eq \r(19) D.eq \r(7)

考向三：綜合利用正、余弦定理解三角形
6．[2020·天津卷]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a＝2eq \r(2)，b＝5，c＝eq \r(13).
(1)求角C的大小；
(2)求sin A的值；
(3)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))的值．
悟·技法
(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.
考點二 利用正弦、余弦定理邊角互化
[互動講練型]
[例1] (1)[2021·長沙市四校高三年級模擬考試]設△ABC的內(nèi)角，A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知2b－acs C＝0，sin A＝3sin(A＋C)，則eq \f(bc,a2)＝( )
A.eq \f(\r(7),4) B.eq \f(\r(14),9) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(6),9)
(2)[2019·全國卷Ⅰ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
悟·技法
1.應用正、余弦定理轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系的技巧
2.利用正、余弦定理判斷三角形形狀的基本方法
(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．
(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結(jié)論.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
1．[2021·湖北省部分重點中學高三起點考試]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且eq \f(cs A,a)＋eq \f(cs B,b)＝eq \f(sin C,c)，若b2＋c2－a2＝eq \f(8,5)bc，則tan B的值為( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－3 D．3
2．[2021·福州市高三畢業(yè)班適應性練習卷]已知△ABC的內(nèi)角，A，B，C的對邊分別為a，b，c.若cs A(sin C－cs C)＝cs B，a＝2，c＝eq \r(2)，則角C的大小為________．

考點三 與三角形面積有關(guān)的問題[分層深化型]
[例2] 在△ABC中，a＋b＝11，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面積．
條件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)；
條件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16).
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
悟·技法
三角形面積公式的應用原則
(1)對于面積公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式．
(2)已知三角形的面積解三角形．與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化.
[同類練]——(著眼于觸類旁通)
3．[2021·江西省名校高三教學質(zhì)量檢測]在△ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對邊，(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B.
(1)求角C的大??；
(2)若bcs C＋ccs B＝4，B＝eq \f(π,4)，求△ABC的面積．
[變式練]——(著眼于舉一反三)
4．[2021·長沙市四校高三年級模擬考試]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin A－csin C＝(b－eq \f(2,3)c)sin B.
(1)求sin A；
(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值．
[拓展練]——(著眼于遷移應用)
5．[2019·全國卷Ⅲ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asineq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．
第六節(jié) 正弦定理和余弦定理
【知識重溫】
①eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R ②sin A?sin B?sin C ③c＝2Rsin C ④eq \f(c,2R) ⑤b2＋c2－2bccs A ⑥a2＋c2－2accs B ⑦a2＋b2－2abcs C ⑧eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ⑨eq \f(a2＋c2－b2,2ac)
⑩eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
【小題熱身】
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
(5)√ (6)×
2．解析：在△ABC中，設AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cs ∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，
由A∈(0，π)，得A＝eq \f(2π,3)，即∠BAC＝eq \f(2π,3).
答案：C
3．解析：由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，所以sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1，所以角B不存在，既滿足條件的三角形不存在．故選C項．
答案：C
4．解析：由正弦定理得：eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)，
即有AC＝eq \f(BC·sin B,sin A)＝eq \f(3\r(2)×sin\f(π,4),sin\f(π,3))＝2eq \r(3).
答案：C
5．解析：由cs 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝eq \f(1,2)(負值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面積S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).故選A.
答案：A
6．解析：由cs C＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)得eq \f(2,3)＝eq \f(16＋9－AB2,2×4×3)，∴AB＝3，∴cs B＝eq \f(BA2＋BC2－AC2,2BA·BC)＝eq \f(9＋9－16,2×3×3)＝eq \f(1,9)，故選A.
答案：A
課堂考點突破
考點一
1．解析：因為cs C＝eq \f(\r(5),3)，C∈(0，π)，所以sin C＝ eq \r(1－cs2C)＝eq \f(2,3).又因為B＝eq \f(π,6)，c＝4，所以由正弦定理得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(4×\f(1,2),\f(2,3))＝3.
答案：B
2．解析：在△ABC中，C＝60°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)，
由正弦定理得sinB＝eq \f(ACsin C,AB)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2).
因為AB>AC，所以C>B，
所以B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以B＝45°，又C＝60°，
所以A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.
答案：C
3．解析：設AC＝x，由余弦定理得，cs 120°＝eq \f(x2＋9－13,2×3x)＝－eq \f(1,2)，∴x2－4＝－3x，即x2＋3x－4＝0.∴x＝1或－4(舍去)．∴AC＝1，選A.
答案：A
4．解析：∵ cseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，
∴ cs C＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，
∴ AB＝eq \r(32)＝4eq \r(2).
故選A.
答案：A
5．解析：如圖所示，
在△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝3，AC＝4，由余弦定理得
cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(4＋9－16,2×2×3)＝－eq \f(1,4)，
所以cs∠DAB＝－cs∠ABC＝eq \f(1,4)，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cs∠DAB＝32＋22－2×3×2×eq \f(1,4)＝10.
所以BD＝eq \r(10).
答案：B
6．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2eq \r(2)，b＝5，c＝eq \r(13)，有cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(2),2).又因為C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,4).
(2)在△ABC中，由正弦定理及C＝eq \f(π,4)，a＝2eq \r(2)，c＝eq \r(13)，可得sin A＝eq \f(asin C,c)＝eq \f(2\r(13),13).
(3)由a

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