2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第06講函數(shù)y=Asin(wx+ψ)的圖象及其應(yīng)用(知識+真題+6類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc17998" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc17998 \h 2
\l "_Tc6845" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc6845 \h 2
\l "_Tc14267" 高頻考點一：函數(shù)的圖象變換 PAGEREF _Tc14267 \h 2
\l "_Tc13462" 高頻考點二：根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式 PAGEREF _Tc13462 \h 4
\l "_Tc6773" 高頻考點三：五點法作圖 PAGEREF _Tc6773 \h 8
\l "_Tc2998" 高頻考點四：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc2998 \h 11
\l "_Tc26311" 高頻考點五：三角函數(shù)的零點（方程的根）的問題 PAGEREF _Tc26311 \h 15
\l "_Tc17098" 高頻考點六：三角函數(shù)模型 PAGEREF _Tc17098 \h 19
\l "_Tc14857" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc14857 \h 22
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)在正弦函數(shù),的圖象上,五個關(guān)鍵點是:
(2)在余弦函數(shù),的圖象上,五個關(guān)鍵點是:
2、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法
(1)先平移后伸縮 (2)先伸縮后平移
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
2．（2022·全國·高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）
A．B．C．D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數(shù)的圖象變換
典型例題
例題1．（2024·河南·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為（）
A．B．C．D．
例題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）
A．B．C．D．
例題3．（多選）（22-23高一上·陜西渭南·期末）要得到的圖象，可以將函數(shù)圖象上所有的點（）
A．向右平移個單位，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
B．向右平移個單位，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
C．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位
D．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位
練透核心考點
1．（2020高三·全國·專題練習(xí)）將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.
A．B．
C．D．
2．（多選）（2024·云南·一模）為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）
A．向左平行移動個單位B．向左平行移動個單位
C．向右平行移動個單位D．向右平行移動個單位
3．（23-24高三上·上海寶山·開學(xué)考試）函數(shù)（其中，）的圖像如圖所示，為了得到的圖像，則需將的圖象向右最小平移個長度單位．

高頻考點二：根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式
典型例題
例題1．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，現(xiàn)有如下說法：

①函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于軸對稱；
③當(dāng)時，，
則正確命題的個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
例題2．（2024·天津·一模）已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，有以下結(jié)論：
① ②函數(shù)為偶函數(shù)
③ ④在上單調(diào)遞增
所有正確結(jié)論的序號是（）
A．①②B．①③④C．③④D．①④
例題3．（多選）（2024·廣東·一模）已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后到函數(shù)的圖象（如圖所示），則（）
A．
B．在上為增函數(shù)
C．當(dāng)時，函數(shù)在上恰有兩個不同的極值點
D．是函數(shù)的圖象的一條對稱軸
例題4．（23-24高一上·山西·期末）如圖，已知函數(shù)的圖象與軸相交于點，圖象的一個最高點為．
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的所有零點之和．
練透核心考點
1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）函數(shù)的部分圖像如圖所示，把函數(shù)的圖像向右平移得到，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
2．（多選）（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）
A．的圖象關(guān)于中心對稱
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．在上有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是
D．將的圖象向右平移個單位長度，可以得到函數(shù)的圖象
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象．

(1)若方程在上有解，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
4．（23-24高一上·云南德宏·期末）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，，求實數(shù)的取值范圍，并求的值．
高頻考點三：五點法作圖
典型例題
例題1．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．用“五點法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的大致圖象.

例題2．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最大值及取得最大值時對應(yīng)的的取值集合；
(2)用“五點法”畫出在上的圖象.
例題3．（23-24高一上·福建三明·期末）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：
(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
練透核心考點
1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函數(shù)周期為，其中．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)請運用“五點法”，通過列表、描點、連線，在所給的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在上的簡圖．
2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函數(shù)．

(1)填寫下表，并用“五點法”畫出在上的圖象；
(2)將的圖象橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍，再向左平移個單位后，得到的圖象，求的對稱中心．
3．（23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數(shù)．
(1)用“五點法”作出函數(shù)在上的圖象；
(2)解不等式．
高頻考點四：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的對稱中心及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變成原來2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，若，且，求．
例題2．（2024高一下·湖南株洲·競賽）已知向量，，函數(shù)．
(1)若，且，求的值；
(2)將圖象上所有的點向右平移個單位，然后再向下平移1個單位，最后使所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，求函數(shù)的單增區(qū)間，及函數(shù)在的值域．
例題3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，已知，且.
(1)求的解析式；
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若存在，使得，求的取值范圍.
例題4．（23-24高一上·云南昭通·期末）函數(shù)的一段圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)要得到函數(shù)的圖象，可由正弦曲線經(jīng)過怎樣的變換得到?
(3)若不等式在上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.
練透核心考點
1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其圖象關(guān)于點中心對稱．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后再向右平移個單位長度得到的圖象．若，，求的值．
2．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求的最小值和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，求的取值范圍．
3．（2024·甘肅·一模）如圖，角的始邊為軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，過點作軸的垂線，垂足為到直線的距離為.若將關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系記為.

(1)求的解析式；
(2)將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞增區(qū)間.
4．（23-24高一下·廣西南寧·開學(xué)考試）已知函數(shù)，
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)把的圖象向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值為3，求實數(shù)的取值范圍．
高頻考點五：三角函數(shù)的零點（方程的根）的問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）給出以下三個條件：①直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，②，③對任意的，．請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整，并求解．已知函數(shù)，，______．
(1)求的表達式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
例題2．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求的最小值和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，求的取值范圍．
例題3．（23-24高一上·福建三明·期末）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：
(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
例題4．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）將函數(shù)的圖象進行如下變換：向下平移個單位長度將所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.
(1)當(dāng)時，方程有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有2022個零點，求的所有可能取值.
練透核心考點
1．（23-24高一上·山西·期末）如圖，已知函數(shù)的圖象與軸相交于點，圖象的一個最高點為．
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的所有零點之和．
2．（23-24高一上·云南德宏·期末）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，，求實數(shù)的取值范圍，并求的值．
3．（23-24高一下·浙江溫州·開學(xué)考試）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若將函數(shù)的圖象上的所有點向右平移，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在有零點，求實數(shù)的取值范圍．
例題2．（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）在校園美化、改造活動中，甲、乙兩所學(xué)校各要修建一個矩形的觀賽場地．
(1)甲校決定在半徑為30m的半圓形空地的內(nèi)部修建一矩形觀賽場地．如圖所示，求出觀賽場地的最大面積；
(2)乙校決定在半徑為30m、圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一矩形觀賽場地，如圖所示，設(shè)中點為M，連接交于N，記，請你確定B點的位置，使觀賽場地的面積最大，并求出最大面積．
例題3．（23-24高一上·廣西賀州·期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟時按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周需要30．
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為m，已知H關(guān)于t的函數(shù)解析式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動一周的函數(shù)解析式；
(2)若甲、乙兩人分別坐1號和9號座艙（即甲乙中間間隔7個座艙），在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：m）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值．
練透核心考點
1．（23-24高一下·上?！ら_學(xué)考試）如圖所示，某市政府決定在以政府大樓為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓．設(shè)扇形的半徑，與之間的夾角為．

(1)當(dāng)時，求邊的長.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
(2)求矩形的面積最大值是多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
2．（2024高一下·上海·專題練習(xí)）某旅游景區(qū)擬建一廣告牌，將邊長為米的正方形和邊長為米的正方形在點處焊接，、、、均用加強鋼管支撐，其中支撐鋼管、垂直地面于點和點，且、、長度相等，（不計焊接點大?。?
(1)若時，求焊接點離地面距離；
(2)若記為，求加強鋼管最長為多少？
3．（23-24高一上·浙江寧波·期末）已知一個半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米，且按順時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每秒轉(zhuǎn)動一圈.如果以水輪上點從水面浮現(xiàn)時（圖中點位置）開始計時，記點距離水面的高度關(guān)于時間的函數(shù)解析式為.
(1)在水輪轉(zhuǎn)動的一周內(nèi)，求點距離水面高度關(guān)于時間的函數(shù)解析式；
(2)在水輪轉(zhuǎn)動的一周內(nèi)，求點在水面下方的時間段.
第四部分：新定義題
1．（22-23高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；
(2)記向量的伴隨函數(shù)為，求當(dāng)且時，的值；
(3)已知將（2）中的函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象，若存在，使成立，求a的取值范圍.0
0
2
0
0
x
0
1
0
0
0
2
0
0
第06講函數(shù)的圖象及其應(yīng)用
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31741" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc31741 \h 1
\l "_Tc17998" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc17998 \h 2
\l "_Tc6845" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc6845 \h 3
\l "_Tc14267" 高頻考點一：函數(shù)的圖象變換 PAGEREF _Tc14267 \h 3
\l "_Tc13462" 高頻考點二：根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式 PAGEREF _Tc13462 \h 6
\l "_Tc6773" 高頻考點三：五點法作圖 PAGEREF _Tc6773 \h 17
\l "_Tc2998" 高頻考點四：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc2998 \h 24
\l "_Tc26311" 高頻考點五：三角函數(shù)的零點（方程的根）的問題 PAGEREF _Tc26311 \h 34
\l "_Tc17098" 高頻考點六：三角函數(shù)模型 PAGEREF _Tc17098 \h 45
\l "_Tc14857" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc14857 \h 52
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)在正弦函數(shù),的圖象上,五個關(guān)鍵點是:
(2)在余弦函數(shù),的圖象上,五個關(guān)鍵點是:
2、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法
(1)先平移后伸縮 (2)先伸縮后平移
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．
【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．
故選：D.
2．（2022·全國·高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.
【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，
解得，又，故當(dāng)時，的最小值為.
故選：C.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數(shù)的圖象變換
典型例題
例題1．（2024·河南·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用平移規(guī)律求函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解的值.
【詳解】由題意可知，，
因為函數(shù)關(guān)于原點對稱，所以，
則，,得，且，
所以.
故選：D
例題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用兩角差的余弦公式化簡，再由誘導(dǎo)公式及圖象平移即可得解.
【詳解】因為，
，
所以把的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象，
則的最小值為，
故選：B．
例題3．（多選）（22-23高一上·陜西渭南·期末）要得到的圖象，可以將函數(shù)圖象上所有的點（）
A．向右平移個單位，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
B．向右平移個單位，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
C．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位
D．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位
【答案】BC
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移規(guī)律可得答案.
【詳解】將圖象上所有點向右平移個單位得到的圖象，
再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，
得到的圖象，故B正確，A錯誤；
將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變得到的圖象，再將圖象上所有點向右平移個單位得到的圖象，故C正確，D錯誤；
故選：BC.
練透核心考點
1．（2020高三·全國·專題練習(xí)）將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合對函數(shù)圖象的影響可得.
【詳解】將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，得到函數(shù)即的圖象，
再把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，就得到函數(shù)的圖象，
然后再把函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍，就得到函數(shù)的圖象.
故選：A.
2．（多選）（2024·云南·一模）為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）
A．向左平行移動個單位B．向左平行移動個單位
C．向右平行移動個單位D．向右平行移動個單位
【答案】ACD
【分析】根據(jù)已知條件，逐項分析各個選項，利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式即可判斷.
【詳解】A選項，向左平行移動個單位，有，A正確；
B選項，向左平行移動個單位，有，B錯誤；
C選項，向右平行移動個單位，有，
，C正確；
D選項，向右平行移動個單位，有，
，D正確；
故選：ACD
3．（23-24高三上·上海寶山·開學(xué)考試）函數(shù)（其中，）的圖像如圖所示，為了得到的圖像，則需將的圖象向右最小平移個長度單位．

【答案】/
【分析】首先根據(jù)函數(shù)的圖象確定、、的值，進一步確定解析式，然后利用函數(shù)圖象的平移變換求得結(jié)果．
【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象：，，所以，
由于，所以,故，
由于，取，得：
因此
要得到的圖象，則需將的圖象向右最小平移個單位即可．
故答案為：
高頻考點二：根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式
典型例題
例題1．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，現(xiàn)有如下說法：

①函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于軸對稱；
③當(dāng)時，，
則正確命題的個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】通過圖象求出的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷即得.
【詳解】由題意可知，，，
，，，，
，∵，∴，∴.
①因此，當(dāng)，即時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，與有交集，故錯誤；
②的圖象向右平移個單位長度可得，，關(guān)于軸對稱，故正確；
③當(dāng)時，，，故錯誤.
綜上，只有命題②正確，
故選：.
例題2．（2024·天津·一模）已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，有以下結(jié)論：
① ②函數(shù)為偶函數(shù)
③ ④在上單調(diào)遞增
所有正確結(jié)論的序號是（）
A．①②B．①③④C．③④D．①④
【答案】B
【分析】借助圖象可得解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性等逐項判斷即可得.
【詳解】由圖可得，，
且，則，即，
，即，
又，故，即，
對①：，由時，函數(shù)取最大值，
故是函數(shù)的最大值，故①正確；
對②：，故②錯誤；
對③：，
則，故③正確；
對④：當(dāng)時，，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故④正確.
故選：B.
例題3．（多選）（2024·廣東·一模）已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后到函數(shù)的圖象（如圖所示），則（）
A．
B．在上為增函數(shù)
C．當(dāng)時，函數(shù)在上恰有兩個不同的極值點
D．是函數(shù)的圖象的一條對稱軸
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)圖象求出解析式，由平移可得解析式即可判斷A，根據(jù)所給自變量范圍及正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷B，根據(jù)自變量范圍及參數(shù)范圍，確定的范圍即可判斷C，由三角恒等變換化簡，由正弦型函數(shù)的對稱性判斷D.
【詳解】根據(jù)平移性質(zhì)，可設(shè)，
由圖象可得，即，解得，
所以，又，
所以，即，
對于A，則，即，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)單調(diào)性知，在上為增函數(shù)，故B正確；
對于C，，當(dāng)時，，
因為，所以，
顯然能取到，不能取到，所以函數(shù)在上恰有兩個不同的極值點，故C正確；
對于D，因為，
所以當(dāng)時，取得最大值，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故D正確.
故選：BCD
例題4．（23-24高一上·山西·期末）如圖，已知函數(shù)的圖象與軸相交于點，圖象的一個最高點為．
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的所有零點之和．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出周期，即可求得，再將點代入解析式求出即可；
（2）先根據(jù)函數(shù)平移的性質(zhì)求出，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的問題，根據(jù)函數(shù)的對稱性求解.
【詳解】（1）設(shè)的最小正周期為，則，
所以，所以，
又因為函數(shù)的圖象的一個最高點為，
所以，所以，
所以，
因為，所以，所以．
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，
所以，
令，得，
考慮與圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和，
函數(shù)與的圖象都關(guān)于點對稱，
令，解得，
函數(shù)與的圖象如圖所示：
故兩函數(shù)的圖象有且僅有9個交點從左到右分別為，
所以，，，，
所以，故函數(shù)的所有零點之和為9.
練透核心考點
1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）函數(shù)的部分圖像如圖所示，把函數(shù)的圖像向右平移得到，則的解析式為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用函數(shù)圖象求得函數(shù)的解析式為，再由平移規(guī)則即可得.
【詳解】根據(jù)圖像可知，可得，即；
又，可得，
解得，由可知；
即可得，
把函數(shù)的圖像向右平移得到；
即.
故選：A
2．（多選）（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）
A．的圖象關(guān)于中心對稱
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．在上有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是
D．將的圖象向右平移個單位長度，可以得到函數(shù)的圖象
【答案】AD
【分析】不妨設(shè)，根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，逐項驗證即可.
【詳解】不妨設(shè)，則，
解得．又，
所以，
解得，，
取符合條件的的一個值，不妨令，
則．
對于A選項，因為．
所以的圖像關(guān)于中心對稱，故A選項正確；
對于B選項，令，
解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為:
，
取，得的一個單調(diào)遞增區(qū)間為．
因為，
所以在上不具有單調(diào)性，故B選項錯誤；
對于C選項，因為，
所以，
所以，解得，
故C選項錯誤；
對于D選項，將的圖象向右平移個單位長度得到:
的圖象，
故D選項正確，
故選:AD．
3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象．

(1)若方程在上有解，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)給定的圖象求出函數(shù)的解析式，進而求出，再求出在的值域即可得解.
（2）由（1）求出及在上的值域，再換元并分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最大值得解.
【詳解】（1）觀察函數(shù)圖象知，，函數(shù)的周期，則，即，
由，即，得，而，則，
因此，，
則，
由，得，
當(dāng)時，，，于是，
所以實數(shù)的取值范圍是．
（2）由（1）知，由，得，則，，
令，則，，不等式恒成立，
等價于，不等式恒成立，
當(dāng)時，不等式恒成立，則；
當(dāng)時，不等式恒成立，，
而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，于是，
所以的取值范圍為.
4．（23-24高一上·云南德宏·期末）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，，求實數(shù)的取值范圍，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可；
（2）先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性可判定的取值范圍與的值.
【詳解】（1）由圖可知，，
∵ ， ∴ ，，
又， ∴ ，，
解得，，由可得，
∴．
（2）將向右平移個單位，得到，
再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，
令，則當(dāng)時，；
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，∴；
由對稱性可知，
∴ ，∴，
∴ .
高頻考點三：五點法作圖
典型例題
例題1．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．用“五點法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的大致圖象.

【答案】作圖見解析
【分析】通過列表得函數(shù)在內(nèi)的關(guān)鍵點以及端點值，在所給的坐標(biāo)系中，描點連線畫出圖.
【詳解】列表：
描點，連線，畫出在上的大致圖象如圖：

例題2．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的最大值及取得最大值時對應(yīng)的的取值集合；
(2)用“五點法”畫出在上的圖象.
【答案】(1)4；
(2)答案見解析
【分析】
（1）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）首先列表，再根據(jù)“五點法”作圖，即可畫出圖象.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
則的最大值為4.
此時，
解得.
故當(dāng)取得最大值時，對應(yīng)的的取值集合為.
（2）列表如下：

例題3．（23-24高一上·福建三明·期末）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：
(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)
【分析】
（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，不難看出值和周期特征，易得值，代入一組對應(yīng)值與，易求出，再整體處理，計算得到遞增區(qū)間；
（2）先根據(jù)三角伸縮平移變換并化簡得到，將方程有根問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象在給定區(qū)間上的交點個數(shù)問題解決.
【詳解】（1）
由表中數(shù)據(jù)可得，，
因為，所以，則，
當(dāng)時，，則，
所以．
由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）
將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，
再將圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則
如圖，當(dāng)時，方程恰有兩個實數(shù)根，等價于函數(shù)，的圖象與直線有兩個交點，
故可得：．
練透核心考點
1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函數(shù)周期為，其中．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)請運用“五點法”，通過列表、描點、連線，在所給的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在上的簡圖．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）先利用周期求出函數(shù)解析式，再利用單調(diào)性可得答案；
（2）利用五點法畫圖可得答案.
【詳解】（1）由題意可得，所以；
令，，解得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）
描點，連線，其簡圖如下
2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函數(shù)．

(1)填寫下表，并用“五點法”畫出在上的圖象；
(2)將的圖象橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍，再向左平移個單位后，得到的圖象，求的對稱中心．
【答案】(1)表格及圖象見解析
(2)，
【分析】
（1）直接根據(jù)五點作圖法補全表格，然后描點畫圖；
（2）先通過圖象變換得到，然后令可得對稱中心．
【詳解】（1）
，列表如下：
圖象如圖：

（2）
的圖象橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍得，
再向左平移個單位后，得，
令，，得，，
所以函數(shù)的對稱中心為，．
3．（23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數(shù)．
(1)用“五點法”作出函數(shù)在上的圖象；
(2)解不等式．
【答案】(1)圖象見解析
(2)
【分析】（1）利用“五點作圖法”即可得解；
（2）利用整體代入法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）列表
又當(dāng)時，，當(dāng)時，，
描點作圖，如圖所示：
（2）因為，
所以，，
解得，，
故不等式的解集為.
高頻考點四：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的對稱中心及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變成原來2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，若，且，求．
【答案】(1)對稱中心為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）借助三角恒等變換可將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)計算即可得；
（2）結(jié)合題意，得到解析式后，可得，借助所給角的范圍可計算出，借助計算即可得解.
【詳解】（1）
，
令，解得，
令，解得，
故的對稱中心為，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由題意可得，
由，即，即，
由，故，
由，故，
即，
則
.
例題2．（2024高一下·湖南株洲·競賽）已知向量，，函數(shù)．
(1)若，且，求的值；
(2)將圖象上所有的點向右平移個單位，然后再向下平移1個單位，最后使所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，求函數(shù)的單增區(qū)間，及函數(shù)在的值域．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為,在的值域為.
【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換公式化簡，依題意可得，即可求出，最后由利用兩角差的余弦公式計算可得.
（2）根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)計算可得.
【詳解】（1）因為，
所以若則，所以.
因為，所以，所以，
所以，
故.
（2）將圖象上所有的點向右平移個單位得到
然后再向下平移1個單位得到，最后使所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫胶瘮?shù)的圖象，則，
由，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
由，則函數(shù)在，即上單調(diào)遞增，在，即上單調(diào)遞減.
因為，
所以在的值域為.
例題3．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，已知，且.
(1)求的解析式；
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若存在，使得，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】
（1）由已知不等式及函數(shù)的最值，可得周期與的關(guān)系，從而建立的等量關(guān)系求解可得；
（2）結(jié)合余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，由整體角范圍求解單調(diào)增區(qū)間；
（3）先由圖象平移關(guān)系得的解析析，再由不等式有解，可得，求出函數(shù)在上的最值即可得解.
【詳解】（1）由知，，
則，又已知，
所以，
故中恰有一個取最大值，而另一個取最小值.
所以有，
則，
故，則.
因為，且，所以，，
則.
（2）令，
解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）由題意可得.
∵，∴，
此時，，
由題意，要使有解，可得，
即，解得，
故所求的取值范圍是.
例題4．（23-24高一上·云南昭通·期末）函數(shù)的一段圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)要得到函數(shù)的圖象，可由正弦曲線經(jīng)過怎樣的變換得到?
(3)若不等式在上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）由圖象直接得到，求出函數(shù)的周期，即可求出，利用圖象經(jīng)過，結(jié)合的范圍求出的值，即可得到的解析式；
（2）由三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，結(jié)合平移與伸縮的順序采用方法一或方法二推出結(jié)果；
（3）根據(jù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出的最大值，由題意得到的不等式，求解即可．
【詳解】（1）由圖象知，，，，
將圖象上的點代入中，得，
結(jié)合圖象可知，則，，
又，所以，故.
（2）法一：將的圖象向左平移個單位，得到的圖象；
再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象；
再將所得圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖象.
法二：將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象；
再將所得圖象向左平移個單位，得到的圖象；
再將所得圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖象.
（3）∵，∴，
∴當(dāng)，即時，取最大值3.
又不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，
故，即，即或.
∴t的取值范圍為.
練透核心考點
1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其圖象關(guān)于點中心對稱．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后再向右平移個單位長度得到的圖象．若，，求的值．
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）通過三角恒等變換得到，再根據(jù)圖像關(guān)于點中心對稱求得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）先利用圖象變換得到，再得到，然后利用兩角差的余弦公式求解.
【詳解】（1），
，
因為圖象關(guān)于點中心對稱，
，，
，
，，，
，
令，
，
的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由題意得：，
，，
，，
，
，
.
2．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求的最小值和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)最小值為，遞增區(qū)間位，
(2)
【分析】由題意，利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出的取值范圍．
【詳解】（1）函數(shù)
，
的最小值為．
令，，
求得，，
可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，
可得的圖象；
再將所得的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，
得到函數(shù)的圖象．
若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，
即在上有且僅有兩個解．
而，則，求得．
故的取值范圍為
3．（2024·甘肅·一模）如圖，角的始邊為軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，過點作軸的垂線，垂足為到直線的距離為.若將關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系記為.

(1)求的解析式；
(2)將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)
(2)和
【分析】
（1）根據(jù)條件得到直線的方程，利于點到直線的距離公式進行計算即可;
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)則得到函數(shù)解析式后，整體代入法求解單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】（1）可知，
又直線的方程為，
故根據(jù)點到直線距離公式，
即.
（2）可知，
由，
得，
所以當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和
4．（23-24高一下·廣西南寧·開學(xué)考試）已知函數(shù)，
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)把的圖象向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值為3，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）由正弦型函數(shù)的周期公式可得其周期，將看成整體角，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解不等式即得；
（2）根據(jù)平移變換求出，取，由求得，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，須使解之即得.
【詳解】（1）
的最小正周期．
由得
的單調(diào)遞增區(qū)間是
（2）把的圖象向右平移個單位得到，
再向上平移2個單位長度，得到的圖象.
由，得，取，則，
因為在區(qū)間上的最大值為3，
所以在區(qū)間上的最大值為1.
作出在區(qū)間上的圖象，可知須使，即，
所以的取值范圍為．
高頻考點五：三角函數(shù)的零點（方程的根）的問題
典型例題
例題1．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）給出以下三個條件：①直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，②，③對任意的，．請從這三個條件中任選一個將下面的題目補充完整，并求解．已知函數(shù)，，______．
(1)求的表達式；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先進行三角恒等變換求出，再分別選三個條件，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，分別求解，即可得出函數(shù)解析式；
（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)律得到解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出在區(qū)間上的單調(diào)性，求出區(qū)間端點函數(shù)值，依題意函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上有且只有一個交點，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因為
，
若選條件①，直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，
則，解得，則；
若選條件②，則，則，，
因此，，又，所以，則，
若選條件③，對任意的，，
則有，，解得，，
又，所以當(dāng)時，則．
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，
再將的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到．
由，，解得，，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
又，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減；
因為，，，
因為關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，
所以函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上有且只有一個交點，
則或.
例題2．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求的最小值和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)最小值為，遞增區(qū)間位，
(2)
【分析】由題意，利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出的取值范圍．
【詳解】（1）函數(shù)
，
的最小值為．
令，，
求得，，
可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，
可得的圖象；
再將所得的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，
得到函數(shù)的圖象．
若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，
即在上有且僅有兩個解．
而，則，求得．
故的取值范圍為
例題3．（23-24高一上·福建三明·期末）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：
(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)
【分析】
（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，不難看出值和周期特征，易得值，代入一組對應(yīng)值與，易求出，再整體處理，計算得到遞增區(qū)間；
（2）先根據(jù)三角伸縮平移變換并化簡得到，將方程有根問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象在給定區(qū)間上的交點個數(shù)問題解決.
【詳解】（1）
由表中數(shù)據(jù)可得，，
因為，所以，則，
當(dāng)時，，則，
所以．
由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）
將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，
再將圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則
如圖，當(dāng)時，方程恰有兩個實數(shù)根，等價于函數(shù)，的圖象與直線有兩個交點，
故可得：．
例題4．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）將函數(shù)的圖象進行如下變換：向下平移個單位長度將所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.
(1)當(dāng)時，方程有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有2022個零點，求的所有可能取值.
【答案】(1)
(2)2022或2023或1348
【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)的圖象變換求的解析式，再利用數(shù)形結(jié)合的思想求參數(shù)的取值范圍；
（2）采用換元法，先把問題轉(zhuǎn)化成為二次函數(shù)的零點分布問題，再結(jié)合三角函數(shù)的周期性求的可能值.
【詳解】（1）由題意的圖象向下平移個單位，得：；再將所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）得：；再把所得函數(shù)圖象向左平移個單位，可得，
因為
所以，
如圖：
方程有兩個不等實根時，的圖象與直線有兩個不同的交點，
作圖可得.
故實數(shù)的取值范圍為.
（2）由題意可得，
設(shè)，，則函數(shù)等價為，
由，得.
因為，所以有兩個不等的實數(shù)根，
當(dāng)時，，此時在上恰有3個零點，
因為，所以，
所以；
當(dāng)時，因為，.
所以，.
此時在上恰有2個零點，
因為，所以或，
或2023.
綜上所述，的可能取值為2022或2023或1348.
練透核心考點
1．（23-24高一上·山西·期末）如圖，已知函數(shù)的圖象與軸相交于點，圖象的一個最高點為．
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的所有零點之和．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出周期，即可求得，再將點代入解析式求出即可；
（2）先根據(jù)函數(shù)平移的性質(zhì)求出，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的問題，根據(jù)函數(shù)的對稱性求解.
【詳解】（1）設(shè)的最小正周期為，則，
所以，所以，
又因為函數(shù)的圖象的一個最高點為，
所以，所以，
所以，
因為，所以，所以．
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，
所以，
令，得，
考慮與圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和，
函數(shù)與的圖象都關(guān)于點對稱，
令，解得，
函數(shù)與的圖象如圖所示：
故兩函數(shù)的圖象有且僅有9個交點從左到右分別為，
所以，，，，
所以，故函數(shù)的所有零點之和為9.
2．（23-24高一上·云南德宏·期末）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，，求實數(shù)的取值范圍，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可；
（2）先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性可判定的取值范圍與的值.
【詳解】（1）由圖可知，，
∵ ， ∴ ，，
又， ∴ ，，
解得，，由可得，
∴．
（2）將向右平移個單位，得到，
再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，
令，則當(dāng)時，；
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，∴；
由對稱性可知，
∴ ，∴，
∴ .
3．（23-24高一下·浙江溫州·開學(xué)考試）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若將函數(shù)的圖象上的所有點向右平移，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在有零點，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，依次求得的值，從而求得的解析式.
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得，根據(jù)在區(qū)間上的值域求得正確答案.
【詳解】（1）由圖可知，，，
，由于，
所以，所以.
（2）將函數(shù)的圖象上的所有點向右平移，得到，
再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，
由得，此時，
所以要使函數(shù)在有零點，則.
4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若實數(shù)滿足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化簡函數(shù)得到，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，根據(jù)題意，得到為函數(shù)的最值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）解：將函數(shù)的圖形向左平移個單位長度，
得到，
再將得到的函數(shù)圖象向上平移1個單位長度，可得，
由實數(shù)滿足，則為函數(shù)的最值，
不妨設(shè)，
則，
解得，
則，
當(dāng)或時，此時.
高頻考點六：三角函數(shù)模型
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）深圳別稱“鵬城”，“灣區(qū)之光”摩天輪位于深圳，是目前亞洲最大的摩天輪.游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.已知某摩天輪的直徑為，最高點距離地面高度為，摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，摩天輪運行時按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要．

(1)游客甲從最低點坐上摩天輪的座艙，轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)已知游客在距離地面時的高度能夠獲得最佳視覺效果，記某游客從坐上摩天輪后達到最佳視覺效果的時刻依次為，求．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由題意以摩天輪中心為原點，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系求出解析式即可；
（2）令，解出時間，即為達到最佳視覺效果的時刻，求解即可.
【詳解】（1）以摩天輪中心為原點，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系．

由題意，摩天輪的角速度
所以甲所在的位置的縱坐標(biāo)
則．
所以關(guān)于的函數(shù)解析式
（2）令，則．
或，
或，
可得當(dāng)時，，．當(dāng)時，，
綜上所述，該游客坐上摩天輪后第四次達到最佳視覺效果的時刻．
例題2．（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）在校園美化、改造活動中，甲、乙兩所學(xué)校各要修建一個矩形的觀賽場地．
(1)甲校決定在半徑為30m的半圓形空地的內(nèi)部修建一矩形觀賽場地．如圖所示，求出觀賽場地的最大面積；
(2)乙校決定在半徑為30m、圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一矩形觀賽場地，如圖所示，設(shè)中點為M，連接交于N，記，請你確定B點的位置，使觀賽場地的面積最大，并求出最大面積．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，矩形的面積最大，最大值為.
【分析】（1）首先設(shè)，得到，，從而得到，再利用三角函數(shù)圖象的性質(zhì)即可得到面積的最大值.
（2）首先，得到，，，，從而得到，再利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得到面積的最大值.
【詳解】（1）如圖所示：
設(shè)，則，且，，
易知為的中點，所以，
當(dāng)，即時，.
故觀賽場地的面積的最大值為.
（2）如圖所示：
，則，且，，
，，
，
當(dāng)，即時，，
此時.
故當(dāng)時，矩形的面積最大，最大值為.
例題3．（23-24高一上·廣西賀州·期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟時按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周需要30．
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為m，已知H關(guān)于t的函數(shù)解析式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動一周的函數(shù)解析式；
(2)若甲、乙兩人分別坐1號和9號座艙（即甲乙中間間隔7個座艙），在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：m）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值．
【答案】(1)，（）
(2)，，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為55米
【分析】（1）根據(jù)周期以及即可求解，
（2）根據(jù)和差角公式以及三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)時，游客甲位于，得到以為終邊的角為，
根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30，可知座艙轉(zhuǎn)動的速度約為，
由題意可得，，（），
（2）甲、乙兩人的位置分別用點、表示，則，
經(jīng)過后，甲距離地面的高度為，
點相對于始終落后，
此時乙距離地面的高度，
則甲、乙高度差為
，，
所以當(dāng)（或）時，的最大值為55，
所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為55米
練透核心考點
1．（23-24高一下·上海·開學(xué)考試）如圖所示，某市政府決定在以政府大樓為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓．設(shè)扇形的半徑，與之間的夾角為．

(1)當(dāng)時，求邊的長.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
(2)求矩形的面積最大值是多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題先用表示出，進而表示出,從而得解；
（2）利用（1）中結(jié)論用表示，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）由題意可知，點為的中點，所以，，
記與的交點為，，

則，，
則，
當(dāng)時，
.
（2）因為
，．
因為，則．
所以當(dāng)，即時，有最大值．
．
故當(dāng)時，矩形的面積有最大值.
2．（2024高一下·上海·專題練習(xí)）某旅游景區(qū)擬建一廣告牌，將邊長為米的正方形和邊長為米的正方形在點處焊接，、、、均用加強鋼管支撐，其中支撐鋼管、垂直地面于點和點，且、、長度相等，（不計焊接點大小）.
(1)若時，求焊接點離地面距離；
(2)若記為，求加強鋼管最長為多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求得邊長的值，再計算離地面的距離；
（2）在中，由余弦定理得的表達式，在中，由正弦定理求出，結(jié)合得出，即可求解．
【詳解】（1）支撐鋼管垂直地面于點和點，且長度相等，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，求出該函數(shù)的最小正周期，可得出的值，再由，結(jié)合的取值范圍，可得出的值，由此可得出函數(shù)的解析式；
（2）在時，解不等式即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：由題意知的最大值為，最小值為，
所以，，解得，
由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，
則，所以.
當(dāng)時，，即，可得，
又，所以，所以，.
（2）解：令，得.
由，得，所以，解得，
即在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點在水面下方的時段是秒到秒.
第四部分：新定義題
1．（22-23高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；
(2)記向量的伴隨函數(shù)為，求當(dāng)且時，的值；
(3)已知將（2）中的函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象，若存在，使成立，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡變形，然后由函數(shù)的伴隨向量的定義可求得結(jié)果，
（2）由定義求出，由得，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得，然后由化簡可得答案，
（3）先利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，由可求得，令，則可化為，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論可求得結(jié)果.
【詳解】（1）
，
所以.
（2）
依題意，
由得，
，所以，
所以.
（3）將圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得，
再把整個圖象向右平移個單位長度，得，
所以，
若，則，所以
令，則可化為，
即，
因為函數(shù)是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，
所以時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
又當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以；
因為存在，使成立，
所以存在使成立，
因此只需. -
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)的綜合問題，考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對三角函數(shù)恒等變換公式的正確應(yīng)用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于較難題.0

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