高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第4章第3節(jié)三角函數(shù)圖像及性質(zhì)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，(eq \f(π,2)，1)，(π，0)，(eq \f(3π,2)，－1)，(2π，0)．
余弦函數(shù)y＝cs x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，(eq \f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq \f(3π,2)，0)，(2π，1)．
2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【知識拓展】
1．對稱與周期
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq \f(1,4)個(gè)周期．
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個(gè)周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．
【思考辨析】
判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函數(shù)．( × )
(2)常數(shù)函數(shù)f(x)＝a是周期函數(shù)，它沒有最小正周期．( √ )
(3)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．( × )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.( × )
(5)y＝sin |x|是偶函數(shù)．( √ )
(6)若sin x>eq \f(\r(2),2)，則x>eq \f(π,4).( × )
1．函數(shù)f(x)＝cs(2x－eq \f(π,6))的最小正周期是( )
A.eq \f(π,2)B．π
C．2π D．4π
答案 B
解析最小正周期為T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π.故選B.
2．(教材改編)函數(shù)f(x)＝3sin(2x－eq \f(π,6))在區(qū)間[0，eq \f(π,2)]上的值域?yàn)? )
A．[－eq \f(3,2)，eq \f(3,2)] B．[－eq \f(3,2)，3]
C．[－eq \f(3\r(3),2)，eq \f(3\r(3),2)] D．[－eq \f(3\r(3),2)，3]
答案 B
解析當(dāng)x∈[0，eq \f(π,2)]時(shí)，2x－eq \f(π,6)∈[－eq \f(π,6)，eq \f(5π,6)]，
sin(2x－eq \f(π,6))∈[－eq \f(1,2)，1]，
故3sin(2x－eq \f(π,6))∈[－eq \f(3,2)，3]，
即f(x)的值域?yàn)閇－eq \f(3,2)，3]．
3．函數(shù)y＝tan 2x的定義域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,8)，k∈Z))))D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))
答案 D
解析由2x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定義域?yàn)閑q \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)))).
4．(2016·開封模擬)已知函數(shù)f(x)＝4sin(eq \f(π,3)－2x)，x∈[－π，0]，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A．[－eq \f(7,12)π，－eq \f(π,12)]
B．[－π，－eq \f(π,2)]
C．[－π，－eq \f(7,12)π]，[－eq \f(π,12)，0]
D．[－π，－eq \f(5,12)π]，[－eq \f(π,12)，0]
答案 C
解析 f(x)＝4sin(eq \f(π,3)－2x)＝－4sin(2x－eq \f(π,3))．
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得
－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5,12)π＋kπ(k∈Z)．
所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是[－eq \f(π,12)＋kπ，eq \f(5,12)π＋kπ](k∈Z)．
因?yàn)閤∈[－π，0]，
所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是[－π，－eq \f(7,12)π]，[－eq \f(π,12)，0]．
5．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，對于任意x都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))，則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值為________．
答案 2或－2
解析 ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))，
∴x＝eq \f(π,6)是函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一條對稱軸．
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝±2.
題型一三角函數(shù)的定義域和值域
例1 (1)函數(shù)f(x)＝－2tan(2x＋eq \f(π,6))的定義域是____________．
(2)(2017·鄭州月考)已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋eq \f(π,6))，其中x∈[－eq \f(π,3)，a]，若f(x)的值域是[－eq \f(1,2)，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (1){x|x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z} (2)[eq \f(π,3)，π]
解析 (1)由2x＋eq \f(π,6)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z，
所以f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z}．
(2)∵x∈[－eq \f(π,3)，a]，∴x＋eq \f(π,6)∈[－eq \f(π,6)，a＋eq \f(π,6)]，
∵x＋eq \f(π,6)∈[－eq \f(π,6)，eq \f(π,2)]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇－eq \f(1,2)，1]，
∴由函數(shù)的圖象知eq \f(π,2)≤a＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，∴eq \f(π,3)≤a≤π.
思維升華 (1)三角函數(shù)定義域的求法
求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．
(2)三角函數(shù)值域的不同求法
①利用sin x和cs x的值域直接求；
②把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
③通過換元，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．
(1)函數(shù)y＝lg(sin x)＋eq \r(cs x－\f(1,2))的定義域?yàn)?.
(2)函數(shù)y＝2sin(eq \f(πx,6)－eq \f(π,3)) (0≤x≤9)的最大值與最小值的和為__________．
答案 (1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))
(2)2－eq \r(3)
解析 (1)要使函數(shù)有意義必須有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＞0，,cs x－\f(1,2)≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＞0，,cs x≥\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＜x＜π＋2kπ?k∈Z?，,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπ?k∈Z?，))
∴2kπ＜x≤eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，
∴函數(shù)的定義域?yàn)閑q \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).
(2)∵0≤x≤9，∴－eq \f(π,3)≤eq \f(πx,6)－eq \f(π,3)≤eq \f(7π,6)，
∴－eq \f(\r(3),2)≤sin(eq \f(πx,6)－eq \f(π,3))≤1，
故－eq \r(3)≤2sin(eq \f(πx,6)－eq \f(π,3))≤2.
即函數(shù)y＝2sin(eq \f(πx,6)－eq \f(π,3))(0≤x≤9)的最大值為2，最小值為－eq \r(3).
∴最大值與最小值的和為2－eq \r(3).
題型二三角函數(shù)的單調(diào)性
例2 (1)函數(shù)f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)
(2)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________．
答案 (1)B (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,4)))
解析 (1)由kπ－eq \f(π,2)＜2x－eq \f(π,3)＜kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)＜x＜eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)，故選B.
(2)由eq \f(π,2)＜x＜π，ω＞0，得eq \f(ωπ,2)＋eq \f(π,4)＜ωx＋eq \f(π,4)＜ωπ＋eq \f(π,4)，
又y＝sin x的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3π,2)]，k∈Z，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ，,ωπ＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ，)) k∈Z，
解得4k＋eq \f(1,2)≤ω≤2k＋eq \f(5,4)，k∈Z.
又由4k＋eq \f(1,2)－(2k＋eq \f(5,4))≤0，k∈Z且2k＋eq \f(5,4)>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[eq \f(1,2)，eq \f(5,4)]．
引申探究
本例(2)中，若已知ω>0，函數(shù)f(x)＝cs(ωx＋eq \f(π,4))在(eq \f(π,2)，π)上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是____________．
答案 [eq \f(3,2)，eq \f(7,4)]
解析函數(shù)y＝cs x的單調(diào)遞增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥－π＋2kπ，,ωπ＋\f(π,4)≤2kπ，)) k∈Z，
解得4k－eq \f(5,2)≤ω≤2k－eq \f(1,4)，k∈Z，
又由4k－eq \f(5,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,4)))≤0，k∈Z且2k－eq \f(1,4)＞0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(7,4))).
思維升華 (1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．
(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)．先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解．
(1)函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))的單調(diào)減區(qū)間為________．
(2)若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間[0，eq \f(π,3)]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]上單調(diào)遞減，則ω等于( )
A.eq \f(2,3)B.eq \f(3,2)
C．2 D．3
答案 (1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))，k∈Z (2)B
解析 (1)已知函數(shù)可化為f(x)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)增區(qū)間．
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z.
故所給函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)．
(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)過原點(diǎn)，
∴當(dāng)0≤ωx≤eq \f(π,2)，即0≤x≤eq \f(π,2ω)時(shí)，
y＝sin ωx是增函數(shù)；
當(dāng)eq \f(π,2)≤ωx≤eq \f(3π,2)，即eq \f(π,2ω)≤x≤eq \f(3π,2ω)時(shí)，
y＝sin ωx是減函數(shù)．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，知eq \f(π,2ω)＝eq \f(π,3)，
∴ω＝eq \f(3,2).
題型三三角函數(shù)的周期性、對稱性
命題點(diǎn)1 周期性
例3 (1)在函數(shù)①y＝cs|2x|，②y＝|cs x|，③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，④y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期為π的所有函數(shù)為( )
A．①②③B．①③④
C．②④D．①③
(2)若函數(shù)f(x)＝2tan(kx＋eq \f(π,3))的最小正周期T滿足1

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