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1.理解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式)．
2．掌握數(shù)列的通項公式及應(yīng)用．(難點)
3．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).
[教材要點]
知識點一 數(shù)列的概念及一般形式
數(shù)列的項與項數(shù)一樣嗎？
[提示] 不一樣．
知識點二 數(shù)列的分類
知識點三 數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項an與________之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式________來表示，那么這個________叫做這個數(shù)列的通項公式．
eq \x(狀元隨筆) 數(shù)列一定有通項公式嗎？
[提示] 不一定．
知識點四 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表：
eq \x(狀元隨筆) 數(shù)列所對應(yīng)的圖像是連續(xù)的嗎？
[提示] 不連續(xù)．
[基礎(chǔ)自測]
1．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq \f(2,n2＋n)，那么eq \f(1,10)是它的( )
A．第4項 B．第5項
C．第6項 D．第7項
2．下列四個數(shù)中，哪個是數(shù)列{n(n＋1)}中的一項( )
A．380 B．392
C．321 D．232
3．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq \f(1＋?－1?n＋1,2)，則該數(shù)列的前4項依次為( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，0 D．2,0,2,0
4．下列說法正確的是________(填序號)．
①{0,1,2,3,4,5}是有窮數(shù)列；
②從小到大的自然數(shù)構(gòu)成一個無窮遞增數(shù)列；
③數(shù)列1,2,3,4，…，2n是無窮數(shù)列．
題型一 數(shù)列的概念及分類
例1 已知下列數(shù)列：
①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；
②1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…；
③1，－eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，…，eq \f(?－1?n－1·n,2n－1)，…；
④1,0，－1，…，sineq \f(nπ,2)，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________．(填序號)
eq \x(狀元隨筆) 緊扣有窮數(shù)列，無窮數(shù)列，遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列及擺動數(shù)列的定義求解．
方法歸納
1．與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項的性質(zhì)具有以下特點：
(1)確定性：一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項是確定的，集合中的元素也具有確定性；
(2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性)；
(3)有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素沒有順序(即無序性)；
(4)數(shù)列中的每一項都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物．
2．判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點．對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項的個數(shù)有限還是無限．
跟蹤訓(xùn)練1 給出下列數(shù)列：
①2011～2018年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,119,129,130,132,135.
②無窮多個eq \r(3)構(gòu)成數(shù)列eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)，….
③－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構(gòu)成數(shù)列－2,4，－8，16，－32，….
其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________．
題型二 由數(shù)列的前幾項求通項公式
例2 寫出下列數(shù)列的一個通項公式：
(1)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…；
(2)9,99,999,9 999，…；
(3)eq \f(22－1,1)，eq \f(32－2,3)，eq \f(42－3,5)，eq \f(52－4,7)，…；
(4)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，….
eq \x(狀元隨筆) 先觀察各項的特點，注意前后項間的關(guān)系，分子與分母的關(guān)系，項與序號的關(guān)系，每一項符號的變化規(guī)律，然后歸納出通項公式．
方法歸納
1．根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相鄰項的變化特征；
(3)拆項后的特征；
(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想．
2．觀察、分析問題的特點是最重要的，觀察要有目的，觀察出項與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．
跟蹤訓(xùn)練2 寫出下列數(shù)列的一個通項公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1eq \f(1,2)，2eq \f(2,3)，3eq \f(3,4)，4eq \f(4,5)，…；
(4)1,11,111,1 111，….
題型三 數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用
eq \x(狀元隨筆)
1．數(shù)列eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…的通項公式是什么？該數(shù)列的第7項是什么？eq \f(255,256)是否為該數(shù)列中的一項？為什么？
[提示] 由數(shù)列各項的特點可歸納出其通項公式為an＝eq \f(2n－1,2n)，當n＝7時，a7＝eq \f(27－1,27)＝eq \f(127,128)，若eq \f(255,256)為該數(shù)列中的一項，則eq \f(2n－1,2n)＝eq \f(255,256)，解得n＝8，所以eq \f(255,256)是該數(shù)列中的第8項．
2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n2＋2n＋1，該數(shù)列的圖像有何特點？試利用圖像說明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項．
[提示] 由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列{an}的圖像是分布在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋1圖像上的離散的點，如圖所示，從圖像上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列，且前兩項為正數(shù)項，從第3項往后各項為負數(shù)項．
例3 已知函數(shù)f(x)＝x－eq \f(1,x).數(shù)列{an}滿足f(an)＝－2n，且an>0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)判斷數(shù)列{an}的增減性．
eq \x(狀元隨筆) 先根據(jù)已知條件解方程求an，再利用作差法或作商法判斷數(shù)列{an}的增減性．
方法歸納
1．由通項公式寫出數(shù)列的指定項，主要是對n進行取值，然后代入通項公式，相當于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值．
2．判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項，其方法是可由通項公式等于這個數(shù)求方程的根，根據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個數(shù)是否為數(shù)列中的項．
3．判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法
(1)作差(或商)法；
(2)目標函數(shù)法：寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去，由于數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)圖像是離散型的點，故其單調(diào)性不同于函數(shù)的單調(diào)性，本例(2)在求解時常因誤用二次函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)致求錯實數(shù)k的取值范圍．
在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意它的定義域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})這一約束條件．
跟蹤訓(xùn)練3 已知數(shù)列的通項公式為an＝n2＋2n－5.
(1)寫出數(shù)列的前三項；
(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．
題型四 數(shù)列的最大(小)項的求法
例4 已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n(n∈N＋)，試問數(shù)列{an}有沒有最大項？若有，求最大項和最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由．
方法歸納
求數(shù)列的最大(小)項的兩種方法
一是利用判斷函數(shù)增減性的方法，先判斷數(shù)列的增減情況，再求數(shù)列的最大項或最小項；如本題利用差值比較法來探討數(shù)列的單調(diào)性，以此求解最大項．
二是設(shè)ak是最大項，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1,ak≥ak＋1))對任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式組即可．
跟蹤訓(xùn)練4 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4.
(1)數(shù)列中有多少項是負數(shù)？
(2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值．
教材反思
1．本節(jié)課的重點是數(shù)列的概念、通項公式以及數(shù)列通項公式的求法．難點是根據(jù)數(shù)列的若干項寫出數(shù)列的一個通項公式．
2．要掌握由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式的方法以及由數(shù)列的通項公式求項或判斷一個數(shù)是否為數(shù)列中的某一項的方法．
易錯點 要注意以下兩個易錯點：
1．并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式，例如，π的不同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個數(shù)列3,3.1,3.14,3.141，…，它沒有通項公式．
2．如果一個數(shù)列有通項公式，則它的通項公式可以有多種形式．
eq \x(溫馨提示：請完成課時分層作業(yè)?一?)
第五章 數(shù)列
5．1 數(shù)列基礎(chǔ)
5．1.1 數(shù)列的概念
新知初探·自主學(xué)習
知識點一
每一個數(shù) 第一位 {an}
知識點二
有限 無限 大于 小于 相等 大于
知識點三
n an＝f(n) 公式
知識點四
從小到大依次取正整數(shù)值 列表 圖像
[基礎(chǔ)自測]
1．解析：設(shè)eq \f(1,10)是數(shù)列中的第n項，則eq \f(1,10)＝eq \f(2,n2＋n)，解得n＝4或n＝－5.∵－5?N＋，∴n＝－5應(yīng)舍去，故n＝4.
答案：A
2．解析：因為19×20＝380，
所以380是數(shù)列{n(n＋1)}中的第19項．應(yīng)選A.
答案：A
3．解析：當n分別等于1,2,3,4時，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
答案：A
4．解析：因為{0,1,2,3,4,5}是集合，而不是數(shù)列，所以①錯誤；②正確；數(shù)列1,2,3,4，…，2n共有2n項，是有窮數(shù)列，所以③錯誤．
答案：②
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1 解析：①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、擺動數(shù)列；④是擺動數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列．
答案：①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
跟蹤訓(xùn)練1 解析：①為有窮數(shù)列；②③是無窮數(shù)列，同時①也是遞增數(shù)列；②為常數(shù)列；③為擺動數(shù)列．
答案：① ②③ ① ② ③
例2 解析：(1)數(shù)列的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…，所以，它的一個通項公式為an＝eq \f(n2,2)(n∈N＋)．
(2)各項加1后，變?yōu)?0,100,1 000,10 000，…此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的通項公式為an＝10n－1(n∈N＋)．
(3)數(shù)列中每一項由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，可用2n－1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是減去一個自然數(shù)，可用n表示，綜上，原數(shù)列的通項公式為an＝eq \f(?n＋1?2－n,2n－1)(n∈N＋)．
(4)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是an＝(－1)n·eq \f(1,n?n＋1?)(n∈N＋)．
跟蹤訓(xùn)練2 解析：(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一個通項公式是an＝n2－1(n∈N＋)．
(2)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
(3)此數(shù)列的整數(shù)部分為1,2,3,4，…恰好是序號n，分數(shù)部分與序號n的關(guān)系為eq \f(n,n＋1)，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝n＋eq \f(n,n＋1)＝eq \f(n2＋2n,n＋1)(n∈N＋)．
(4)原數(shù)列的各項可變?yōu)閑q \f(1,9)×9，eq \f(1,9)×99，eq \f(1,9)×999，eq \f(1,9)×9 999，…，易知數(shù)列9,99,999,9 999，…的一個通項公式為an＝10n－1.所以原數(shù)列的一個通項公式為an＝eq \f(1,9)(10n－1)(n∈N＋)．
例3 解析：(1)∵f(x)＝x－eq \f(1,x)，f(an)＝－2n，
∴an－eq \f(1,an)＝－2n，即aeq \\al(2,n)＋2nan－1＝0，
解得an＝－n±eq \r(n2＋1)，
∵an>0，∴an＝eq \r(n2＋1)－n.
(2)法一(作差法)
∵an＋1－an＝eq \r(?n＋1?2＋1)－(n＋1)－(eq \r(n2＋1)－n)
＝eq \r(?n＋1?2＋1)－eq \r(n2＋1)－1
＝eq \f([\r(?n＋1?2＋1)－\r(n2＋1)][\r(?n＋1?2＋1)＋\r(n2＋1)],\r(?n＋1?2＋1)＋\r(n2＋1))－1
＝eq \f(?n＋1?＋n,\r(?n＋1?2＋1)＋\r(n2＋1))－1，
又eq \r(?n＋1?2＋1)>n＋1, eq \r(n2＋1)>n，
∴eq \f(?n＋1?＋n,\r(?n＋1?2＋1)＋ \r(n2＋1))9時，an＋1－an

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

5.1.1 數(shù)列的概念

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